初二数学上册秋季班培优讲义 第4讲 辅助线添加初步和倍长中线

  辅助线添加初步和倍长中线                模块一  辅助线添加初步    模块二  倍长中线   
模块一  辅助线添加初步1．添加辅助线的目的：凸显和集散2．添加辅助线的基本作图方法：（1）连接两点：连接**；（2）作延长线：延长**交**的延长线于*；（3）作平行线：过点*，作**的平行线，与**交于点*；（4）作垂线：过点*，作**的垂线，垂足为*；模块二  倍长中线1．作法：延长**到*，使**＝**，连接**；如图，在三角形ABC中，AM为中线，则延长AM到点T，使，连接BT(CT)．2．目的：产生一对SAS的全等三角形，得到对应边相等，对应角相等．3．两个重要总结：（1）倍长中线不重要，重要的是倍长过中点的线．如图，在三角形ABC中，M点为BC的中点，N点为AC上任意一点，则延长NM到点T，使TM=NM，连接BT．（2）倍长中线后，连接哪个点不重要，重要的是构造二次全等．我们在小学已经学过，有两条边相等的三角形的是等腰三角形，等腰三角形中有条重要的性质：等边对等角，等角对等边．（1）已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C．（2）已知：如图2，在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC．                      图1                                          图2 【解析】（1）作AD垂直BC于点D，则(HL)，∴∠B=∠C．（2）作AD垂直BC于点D，则(AAS)，∴AB=AC．【教师备课提示】通过这道题可以讲解辅助线的作用．
 （1）如图1-1，已知，，，求证：． （2）如图1-2，，，，点F是CD的中点．求证：．          　　　　　     图1-1                                   图1-2 【解析】（1）连接CD，和中，，（2）连接AC、AD，，，，，， 点F是CD的中点，，，，，，．【教师备课提示】这道题主要讲解基本辅助线——连接两点．在凸五边形中，，，，M为CD中点．求证：．       【解析】延长AB，AE，交直线CD于F，G．∵，∴．∵，∴．∴在与中∴，∴．，∴，∵，∴，∴在与中∴，∴，∴．【教师备课提示】这道题主要讲解基本辅助线——作延长线．如图，平面上有一边长为2的正方形ABCD，O为对角线的交点，正方形OEFG的顶点与O重合，OE、OG分别与正方形ABCD的边交于M、N两点．（1）如图3-1，当时，四边形OMBN的面积为_______________；（2）如图3-2，当正方形OEFG绕点O旋转时，四边形OMBN的面积会发生变化吗？试证明你的结论．图3-1                                    图3-2 【解析】（1）；（2）不会．解法一：过O点作于P，于Q，∵ABCD是正方形，O是对角线交点，∴，∵于P，于Q，∴，∴，∵OEFG是正方形，∴，∴，∴，∴．
解法二：连接OA、OB，∵ABCD是正方形，O是对角线交点，∴，，∵，∴，又，∴，∴．【教师备课提示】这道题主要讲解基本辅助线——作垂线，当然连接两点也可以．如图，中，，E在AB上，F在AC延长线上，且．求证：D是EF的中点． 【解析】解法一：过E点作EM//AC交BC于M．，，，，，，，，，在和中，，，，D是EF的中点．解法二：过F点作FN//AB交BC的延长线于N．，，，，，，在和中，，，，是EF的中点．解法三：分别过E、F作BC的垂线，垂足分别为G、H．，，，，，在和中，，，．在和中，，，，是EF的中点．【教师备课提示】这道题主要讲解基本辅助线——作平行线．已知：中，，AM是中线．求证：．              【解析】如图所示，延长AM到E，使，连接CE，利用SAS证得，∴，中，，∴，∴．【教师备课提示】这道题作为倍长中线的引入，梳理作法和过程．如图，在中，AD平分，E、F分别在BD、AD上，，．求证：EF//AB．         【解析】延长AD到M，使，连接EM，在和中，∴，∴，，又，∴，∴，∴，∵AD平分，∴，∴，∴EF//AB．已知AD为的中线，在AB上有一点E，AC上有一点F，连接DE、DF，且，求证：．         【解析】延长FD到N，使，连接BN、EN．易证，∴，又∵，利用SAS证明，∴，在中，，∴．【教师备课提示】例6和7这两道题主要讲解倍长中线不重要，重要的是倍长过中点的线．在中，，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使．求证：．       【解析】延长CE到F，使，连接BF．∵CE是AB的中线，∴． 在和中，∴，∴，，∴在和中，∴，∴．在中，分别以AB、AC为边长，向三角形的外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，M为BC中点，求证：（1）；（2）．          【解析】延长AM到N，使，连接NC，延长MA交EG于点P．在和中，∴，∴，，∴AB∥NC，∴，又∵，∴，在和中，∴，∴，，又∵，∴，∴．【教师备课提示】例8和例9这两道题主要讲解倍长中线后连接哪点不重要，重要的是构造二次全等，例9可以看成婆罗摩笈多定理的应用，请老师自行拓展．
  （1）如图1-1，在四边形ABCD中，，，求证：． （2）如图1-2，，，求证：．     图1-1                                 图1-2 【解析】（1）连接BD，，，在和中，．（2）连接AB，在与中，．如图2-1，已知中，，，把一块含角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．直线DE交直线AB于M，直线DF交直线BC于N．（1）在图2-1中，①证明；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；（2）继续旋转至如图2-2的位置，是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）继续旋转至如图2-3的位置，是否仍然成立？请写出结论，不用证明．图2-1                    图2-2                          图2-3 【解析】（1）①在中，，．，．连接BD，．，．．．（另：也可证明）　　②四边形DMBN的面积不发生变化；由①知：，∴．∴．（2）仍然成立，证明：连结DB．在中，∵，，∴，．∴．∴．∵，∴．∴．∴．（3）．（注意：作垂线也可以）
 在中，AD是BC边上的中线．（1）求证：；（2）若，，求AD的取值范围．       【解析】（1）延长AD到点E，使得，连接CE．∵AD是BC边上的中线，∴，在和中，，∴，∴，在中，，即．（2）由（1）得，，即，得．如图，已知在中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，，求证：．          【解析】延长AD到G，使，连接BG．∵，，，∴，∴．，又∵，∴，∴，∴，∴．如图所示，，M是BE的中点，，．
求证：（1）；（2）．         【解析】如图所示，延长AM到点F，使得，连接BF交AD，于点N，交CD于点O．设AM的延长线交DC于H，易得，则，，从而，．而，，故，从而，故，．而，故，亦即．