初二数学上册秋季班培优讲义 第6讲 角平分线的性质、判定和模型

  角平分线的性质、判定和模型                模块一  角平分线的性质和判定    模块二  角平分线模型   
模块一  角平分线的性质和判定角平分线解释示例性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．如图，若射线OC是的角平分线，则．判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．如图，若，则OC是的角平分线．模块二  角平分线模型模型I：角平分线加平行线必出等腰三角形．      模型II：角平分线加射影模型必出等腰三角形．→ 模型III：角平分线的中心思想是对称，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种．  
 （1）如图，在中，，AD是角平分线，，，，则__________．  （2）（14—15年嘉祥期末）在中，，，，，若点P是的三条角平分线的交点，则点P到边BC的距离是_____________． 【解析】（1）8cm；（2）1（提示：过点P作三边的垂线，利用面积进行求解）．【教师备课提示】这道题主要讲解角平分线的性质．（1）证明：三角形三个角的角平分线交于一点． （2）（14年—15年金牛区期末）如图，的外角一平分线CP和内角平分线BP相交于点P，若，则____________．  【解析】（1）如图，在中，设、的平分线的交点为I，过I点作于D，于E，于F，连接IC．∵AI、BI都是角平分线，∴，，∴，∴CI是的平分线，∴三角形三个角的平分线交于一点．（2）50°（提示：过点P向三边作垂线，证明AP是的外交角平分线）【教师备课提示】这道题主要讲解角平分线的判定，结合角平分线的性质．
 （1）如图3-1，在中，BD、CD分别平分和，．如果，则的周长为__________． （2）（14—15年武侯区期末）如图3-2，的平分线与的外角平分线相交于点D，过点D作EF//BC，交AB于E，交AC于F，若，，则________． （3）（15—16年武侯期末）如图3-3，的内角和外角的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG//BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论：①；②；③；④ ，其中正确的结论有_____________（只填序号）       图3-1                    图3-2                      图3-3 【解析】（1）6；（2）3cm；（3）①③④．【教师备课提示】这道题主要讲解角平分线加平行线必出等腰三角形的模型．（1）（14—15年青羊区期末）如图4-1，在中，，于点D，的平分线BE交AD于F，交AC于E，若，，则_____________． （2）如图4-2，已知：在中，，于D，的角平分线交AD与F，交AB于E，交AB于G．，，则__________，__________．     图4-1                                图4-2 【解析】（1）5；（2）4cm；4cm．过E作EH垂直BC交BC于H点，易证；由角度分析易知，即，则有；又可证，则，则，．【教师备课提示】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型．如图，在中，，，．求证：．       【解析】过D作于，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【教师备课提示】这道题主要讲解角平分线第一种辅助线．如图所示，在中，，，BE平分，．
求证：．       【解析】延长CE、BA相交于F，在和中，∴∴∵，∴同理，∴ 在和中，∴∴，∴．【教师备课提示】这道题主要讲解角平分线的第二种辅助线．（14—15年嘉祥月考）如图，在中，，AD、CE分别平分、，AD、CE交于O．（1）求的度数；（2）求证：．        【解析】（1）；（2）在AC上截取AT，使，连接OT，在和中，∴，∴，∴在和中，∴，∴，∴．【教师备课提示】这道题主要讲解角平分线的第三种辅助线，同时可以得出．
 已知等腰，，的平分线交AC于D．求证：．【解析】解法一：如图，在BC上截取，连接DE，过D作DF//BC，交AB于F，则，．又∵，∴，故．显然FBCD是等腰梯形．∴，．∵，，∴，∴，∴，．又∵，∴．解法二：如图，延长BD到E，使，在BC上截取．∵，BD为公共边，∴，，．∵，∴．∴，故，．∵，∴．∴，．∵，∴．∵，∴，故．∴，故．∵，∴．解法三：如图，延长BD到E，使．延长BA到F，使．连接CE、EF、DF．∵，BD公共，∴ ．∴，．又∵，，∴．∵，．∴，∴．而．∴．又FD公共，∴．∴．∴．【教师备课提示】这道题结合截长补短，较难，实际上可以看成是上道题．
 （14—15年育才期末、嘉祥半期）如图，中，，，，垂足为D，AE平分，交BC于点E．在外有一点F，使，．（1）求证：；（2）在AB上取一点M，使，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①；②． 【解析】（1）由题意得，，∴，在和中，，∴，∴．（2）①作于点T，则，∴，，∴，，，∴②由①得，，，∴AD//ME，∴，∴，∴CM平分，即，在和中，∴∴．【教师备课提示】这道题主要是综合考查角平分线的模型．
  （1）如图1-1，的周长是，OB，OC分别平分和，于D，且，求的面积． （2）如图1-2，的、的外角平分线交于点D．求证：AD是的平分线．      图1-1                                  图1-2 【解析】（1）∵O点为的两内角平分线的交点，∴O点到三边距离相等．∴．（2）分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，∵BD平分，，，∴．
同理，
∴，
∴点D在平分线上，
∴AD是的平分线．
 （1）（14—15年青羊区期末）如图2-1，在中，和的平分线交于点E，过点E作交AB于M，交AC于N，若，则线段MN的长为_____． （2）如图2-2，BD平分，CD平分外角．DE//BC交AB于E，交AC于F．线段EF与BE、CF有什么关系?                                           图2-1                                   图2-2 【解析】（1）9；（2）如图所示中仍有两个等腰三角形、，从而，，又，故．如图，在四边形ABCD中，，的角平分线AE交DC于E，BE是的角平分线．求证：（1）；（2）．      【解析】（1）∵，∴∴，∴．（2）在AB上截取AF，使，连接EF，在和中，∴∴，∵，∴∵，∴ 在和中，∴，∴，∴，∴．如图所示，在中，，，．求证：．      【解析】延长BE交AC于M．∵，，∴，，，∴，，又∵，，∴，∴，∴，∴．如图，中，，，BD平分交AC于D点．求证：．【解析】方法一：在BC上截取E点使，连结DE．∵BD平分，∴．在与中∵，，，∴，∴，∵，∴，∴．又∵，∴，∴，∴，∵，∴．方法二：如图，延长CA到F，使，连结BF．∵，且，∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．又∵,∴．∴．∴．如图，中，，，垂足为D．AF平分，交CD于点E，交CB于点F．（1）求证：．（2）将图6-1中的沿AB向右平移到的位置，使点落在BC边上，其它条件不变，如图6-2所示．试猜想：与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论．               图6-1                                     图6-2 【解析】（1）相等（2）如图，过点E作于G．又∵AF平分，，∴．由平移的性质可知：，∴．∵．∴，∵于D．∴∴,在与中，∵，，，∴，∴，由（1）可知．