初二数学上册秋季班培优讲义 第5讲 截长补短

  截长补短                  
1．截长补短指的是两种方法：截长法和补短法．（1）截长法：在**上，截取**＝**，连接**；（2）补短法：延长**到*，使**＝**，连接**．2．目的：实现三条线段或者多条线段的关系到两条线段的关系转化，而全等是处理两条线段关系的重要手段．3．适用：这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．若题目条件或求证结论中含有“”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”．如图，在中，，于D，求证：．【解析】解法一：（截长）在CD上截取，连接AE，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴．解法二：（补短）延长CB到F，使，连接AF，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．【教师备课提示】这道题主要告诉孩子们，截长补短指的是两种方法，通过这道题给孩子们讲解截长补短的做法和证明过程．当出现线段的和差倍分时，要能马上想到截长补短．如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD上的点，且．求证：．                   【解析】延长CB到点E，使，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【教师备课提示】例2——例5主要是想告诉学生们，当题目中出现线段的和差倍分时，要选用截长补短的方法，但是不一定两种方法都可以，要尝试，一般用补短的方法要多些．如图，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，求证：．                   【解析】延长AC到E点，使，连接DE，由题意可知，，，，，，，，，，，，，．如图，ABCD是正方形，．求证：．            【解析】延长CB至M，使得，连接AM．，，，，，，，，，，．已知四边形ABCD是正方形，E、F分别在CB、CD的延长线上，．
求证：．                        【解析】延长FD到G，使，连接AG，∵四边形ABCD是正方形，∴，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．五边形ABCDE中，，，．求证：AD平分．                 【解析】延长DE至F，使得，连接AC，AF．∵，，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即AD平分．【教师备课提示】这道题和前面不同的是，在条件中出现了线段的和差倍分关系，方法都是一样的——截长补短．（金牛区期末统考改编）如图，已知两个全等的等腰直角、，其中，E为AB中点，可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB（或它们所在直线）于M、N，连结MN、CE．（1）如图7-1，当M、N分别在线段CA、CB（不包括端点）上，求证：．（2）如图7-2，当M在线段AC上，N在BC的延长线上，请探究AM，MN，CN之间的数量关系，并说明理由．　　　　    　　　　      图7-1                                   图7-2 【解析】（1），理由如下：在AM上截取，连接EH，、均是等腰直角三角形，E为AB中点，，，在与中：，，在与中，（2），理由如下：在CB上截取，连接EH，在和中，，，，，，，在和中，，．       【教师备课提示】例7主要让孩子们加深对旋转的理解，并初步接触探究综合题．
  （1）如图1-1，中，，于D，且，则_
_________． （2）如图1-2，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别是边BC、CD上的点，连接PQ．若的周长是2，则___________．         图1-1                                     图1-2 【解析】（1）；（2）．如图，是等边三角形，．求证：．【解析】法一：延长AD到E，使得，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∵是等边三角形，∴，，∴，在和中 ∴，∴．法二：延长DA到E，使，∵是正三角形∴，，∴，∵，∴，∴，在和中∴∴，，∴，∴是等边三角形∴．如图，已知，，且，求．            【解析】如图，延长BA到点F，使，∵，，∴，在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴．
 （14—15年西川半期）如图4-1，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个的角，角的两边分别交边AB、AC于M、N两点，连接MN，完成下列各题：（1）如图4-1，若MN与BC不平行，求证：；（2）若点M、N分别是边AB、CA延长线上的点，其他条件不变，请在图4-2中画出图形，并再探究线段BM、MN、NC之间的数量关系，并加以证明．                    图4-1                                 图4-2 【解析】（1）在和中∴，，，，，，在和中，，.（2）（图略）在CA上截取CG，使，在和中，∴，，∴，在和中，，．