初二数学上册秋季班培优讲义 第23讲 分式

  分式                模块一  分式方程的基本解法    模块二  分式方程的增根和无解  
模块一：分式方程的基本解法1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．2．分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程．（2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根． 注意：解分式方程一定要验根．模块二：分式方程的增根和无解1．分式方程的增根（1）产生增根的原因增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根．（2）分式方程增根的应用如果说某个含参数的分式方程无解，但是去分母以后的整式方程是有解的，说明那个解应该是增根．只要把增根求出来（也就是令原来的分母为零），代入整式方程就可以解出参数的值．2．分式方程无解：不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（1）原方程去分母后的整式方程无解；（2）原方程去分母后的整式方程有解，但这个解使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．3．分式方程无解与增根的区别：分式方程无解时，不一定有增根；分式方程有增根时，不一定无解．下列方程中哪些是分式方程？（1）                    （2）（3） 　　　　　　　　　   （4）（5）　　　　　　　　　　    （6）（7）                   （8）（9）（a为字母系数）    （10）（a为字母系数） 【解析】思路与技巧：分式方程首先应为方程，然后还必须满足有分母，并且分母中含有未知数．其中分式方程有（3）、（5）、（7）、（8）、（10）【教师备课提示】这道题主要讲解分式方程的定义，先看是否是方程，再看分母中是否有未知数．解下列分式方程：（1） （2）（3） 【解析】（1）；（2）；（3）两边同时乘以，得．解这个方程，得．，检验：时，不是原分式方程的解，原分式方程无解．【教师备课提示】这道题主要讲解分式方程的基本解法：关键两步，去分母，乘以最简公分母；验根，分式方程一定要验根，可能产生增根．解下列分式方程：（1） （2） 【解析】（1）原方程化为方程两边同时乘以，约去分母，得，整理得，解这个整式方程，得，检验：把代入，得所以是原方程的增根，原分式方程无解．（2）原方程可变形为：方程两边都乘以，得整理，得，∴，检验，当时，∴原方程的解是．【教师备课提示】这道题主要让孩子们练习下，熟悉下分式方程的一般步骤，建议老师们讲解一个，让孩子练习另外一个．解下列分式方程：（1）（2） 【解析】（1）原方程为，∴，∴，∴，∴，∴．经检验是原方程的解．（2）原方程变形为，即，∴，解得．经检验是原方程的解．【教师备课提示】这道题主要是分离常数，解分式方程更简单，所以要先观察，建议老师们讲解一个，让学生们练习另一个．（2013年初二联赛）设实数k满足，解关于x的分式方程：． 【解析】由题意得，，即，解得，I．如果，即，则为原方程的增根；II．如果且，则为原方程的根.【教师备课提示】这道题主要讲解含参分式方程的解法，其实一样的（注意增根）．
 （1）（实外半期）若关于x的分式方程有增根，则增根是________． （2）如果分式方程出现了增根，那么k的值为________． （3）（成外半期）若分式方程产生增根，则m的值为________． （4）如果解方程时出现增根，则m的取值为________． 【解析】（1）；去分母，得：，移项，得：，当时，原方程无解，（分母为0的两种情况讨论）当时为原方程的增根．（2）1；（3）或1；（4）．【教师备课提示】这道题主要讲解，分式方程有增根，求参数的取值范围，这样的题目在学校学习分式时，是一定会经常考查的题目，也是学生们的易错点，主要是要理解什么是增根，增根是使得分母为0，且是整式方程的根．（1）若关于x的方程无解，则a的值是___________． （2）若关于x的分式方程无解，则___________． （3）若关于x的方程无解，求a的值． 【解析】（1）1或2；（2）1或；原方程化为，、、时，原方程均无解．（3）解：原方程化为，①∵原方程无解，∴或，，得，分别代入①，得，，综上知，或．【教师备课提示】主要是分式方程无解包括两种情况：（1）转化的整式方程无解，（2）整式方程的根都是增根，讲解无解和有增根的关系．（分类讨论计算）（1）（成外半期）若关于x的方程的根为正数，则m取值范围为________． （2）若关于的分式方程的解是非负数，则a取值范围是________． （3）（育才期末）若关于x的方程的解为正数，则a取值范围为_______． 【解析】（1）去分母，得：，化简可得：，由题意得：且，即：且，解得：且.（2）且．（3）且．【教师备课提示】在这种问题中，学生们很容易忽略解不可以是增根，易错． 
  解下列分式方程：（1）     （2）  【解析】（1）;（2）．解下列分式方程：（1）（2） 【解析】（1）原方程可变形为：，化简，去分母可得：，解得；经检验，是原方程的根．（2）原方程可化为化简，得， ∴，解得，，经检验不是原方程的增根，∴是原方程的根．（1）若方程有增根，则它的增根是________． （2）若关于x的分式方程有增根，则m的值是____________． 【解析】（1）;（2）．
 （1）若关于x的方程无解，则m的值是________． （2）当________时，关于x的分式方程无解． 【解析】（1）;（2）．若关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围是_________． 【解析】且．