初二数学上册秋季班培优讲义 第11讲 几何变换之轴对称（一）

模块一  对轴对称的初步认识轴对称图形和两个图形成轴对称的区别和联系轴对称图形两个图形成轴对称直观认识：直观认识：定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称。注意：轴对称图形指的是一个图形是轴对称图形，而两个图形成轴对称指的是两个图形。因此，轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条，但是两个图形成轴对称只有一条对称轴。模块二  “将军饮马”问题“将军饮马”问题比较经典，在考试中出现的频率特别的高，但是在考试中往往不是单一出现，而是“将军饮马”问题和一次函数、勾股定理、特殊的四边形结合在一起考试或者是考查比较难得“将军饮马”问题，考试的方法通常都是“将军饮马”的做法，综合考察。模型I：最小问题
模型II：最大问题                                        模块三  常见轴对称的模型角平分线模型：角平分线的中心思想应该是对称，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种。但是在这三种中，同学们在运用的过程中，往往第二种辅助线方式同学们最容易出错，因为在出现第二种情况时，同学们往往看不出来；第三种做法最能体现轴对称的本质。                 翻折模型：其实可以这样说，翻折就是轴对称，轴对称就是翻折，而涉及到翻折往往不是单一考察，会和特殊四边形、一次函数中的图形结合考察，考察比较全面。通常情况下，和四边形结合，会考察求边倒角，而和一次函数结合，让你求点坐标，考察比较综合。【教师备课提示】模块三是为了让孩子们复习回忆以前学过的知识，所以老师可以略讲，重点是让孩子们练习。
（1）如图1-1，直线l是四边形ABCD的对称轴，若，有下面的结论：①；②；③；④，其中正确的结论有_______． （2）（成外）如图1-2，和是分别沿着AB，AC边翻折形成的，若，则的度数是________．        图1-1                                 图1-2（1）①②③；（2）．【教师备课笔记】这道题主要考察轴对称的性质，对应边和对应的角度相等．在正内取一点D，使，在外取一点E，使，且，求．                 如图所示，连接DC．因为，，，则，故．而，，，因此，故．【教师备课提示】这道题主要是让大家找到对称的感觉，实际上给我们的很多图实际是就是很多是轴对称，但是需要自己去添加辅助线去找到．
如图，已知，且．求证：是等腰三角形．                   延长BD到E，使得，连接AE．∵，∴，即．∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴  ∴是等腰三角形．（1）如图4-1，在中，，以AC为一边在外侧作等边，过点D作，垂足为F，DE与AB相交于点E，连接CE，，，P是射线DE上的一点．连接PC、PB，若的周长最小，则最小值为（　　）．A．          B．          C．          D． （2）已知如图4-2，正方形ABCD的边长为3，E在BC边上，且，P是BD上一动点，则的最小值（　　）．A．               B．               C．               D．             
（1）C；（2）C．【教师备课提示】这道题主要考察将军饮马模型只有一个动点的情况，常考．（1）（四川竞赛改编）如图5-1所示，在等腰中，，E是BC上一点，满足，点P是斜边AB上任意一点，的最大值和最小值分别记作s和t，求的值． （2）（全国初中联赛）如图5-2，设正的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，的最大值和最小值分别记为s和t．求的值．                   图5-1                                 图5-2（1）找点E关于AB的对称点，连接、，所以，为等腰直角三角形，，当且仅当C、P、三点共线时，的值最小，该最小值为．当点P在AB上移动时，极限情况在A和B位置.当点P位于点时，，当点P位于点C时，．故的最大值为．故．（2）作点M关于BC的对称点，连接、．由点M、关于BC对称可知，．故当且仅当、、共线时，等号成立，故．
另外两个临界位置在点和点处．当点位于点处时，；当点位于点处时，．故，．【教师备课提示】这道题主要考察将军饮马模型中只有一个动点的情况，而且是考察一个动点的最大和最小情况，关键是轴对称．（1）（2013-2014武侯区统考）在锐角三角形ABC中，，，BD平分，M、N分别是BD、BC上的动点，则最小值是______________． （2）如图，，，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得最小，求出此最小值．      （1）3；（2）如图所示，易得．（1）如图7-1，，点P位于内，，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，求的最小周长．                 （2）若，其它条件不变，则的最小周长是多少．（1）分别作点P关于OA、OB的对称点、，连接、、、、，
显然的周长，，由两点间线段最短，，故的最小周长为，∵，，∴是等边三角形，∴，的最小周长为3．（2）．【教师备课提示】这道题主要考察将军饮马模型中有两个动点的情况，关键是轴对称，注意这个题我们从（1）中还可以得到不论P在角内部的什么地方，以O，、为顶点的三角形始终是等边三角形．在中，，，，点D、E、F分别为BC、AB、AC上的动点，求的最小周长．  当点D固定时，分别作点D关于AB、AC的对称点、，应用上面结论可得，∵，∴是等腰直角三角形，，故，当AD最小时，即AD为的高，且、E、F、四点共线，的周长最小为．求高AD如图所示．最小周长为．（此三角形即为著名的垂足三角形）【教师备课提示】这道题主要考察将军饮马模型中三个动点的问题，属于难题．
如图，I是的内心（三角形三条角平分线的交点），且．若，求和的大小．             因为有内心，故可以用角平分线构造全等三角形，从而使问题变得容易解决．如图，在BC上取点D，使，连接DI．因为，所以．在和中，，，．所以．于是．所以．因为，所以，．又是等腰的外角，所以，．在中，，，所以．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接DE、AE，将沿线段DE翻折，点恰好落在线段上的点处．（1）求证：；（2）如果，，求线段DE的长．（1），，，∴，∴（2）∵，∴，设，则，，，在中，，，解得，∴，又，∴．
已知：三点、、，点P为x轴上一动点．（1）当与周长的和取得最小值时，求点P的坐标；（2）求证：；（3）当时，求度数．       （1）如图1，作点A关于x轴的对称点，可得．连接交x轴于点P．设直线的解析式为，可得此直线的解析式为．当时，．当取得最小值时，可得与周长的和取得最小值，此时，点P的坐标为．（2）如图2，设交x轴于点K，连结、．则，∴，，，∴．∴．∵，，，∴，
    又∵，∴，∴为等腰直角三角形．∴，∵，∴．（3）当时，．【教师备课提示】这道题属于综合题，实际上相当于把将军饮马模型放到了坐标系中，和一次函数想结合，这种问题是学生们拉开差距的题型，因此希望通过这道题培养和锻炼孩子们的代几综合能力． 
（1）下列图案中，有且只有三条对称轴的是（　　）                     A．             B．               C．                D． （2）一个汽车车牌在水中的倒影如图，该车的车牌照号码是（　　）A．WJ0103922    B．2593010WJC．WJ0103625    D．WJ0103925（1）D；（2）C.如图2-1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2-2，图2-3，图2-4中，四边形ABCD为矩形，且，．（1）在图2-2、图2-3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．（2）求图2-2，图2-3中反射四边形EFGH的周长．（3）如图2-4，请你猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？并给出证明．              图2-1                                 图2-2
       图2-3                                  图2-4（1）如图所示（2）图2：；图3：（3）连接BD，延长HG、CD交于点M，∵四边形ABCD是矩形，∴，∴，又∵，∴，∴，同理，∴四边形EFGH是平行四边形，∴，又，，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴四边形BDMH是平行四边形，∴，同理，∴，为定值．【教师备课提示】这道题主要是考察关于轴对称的创新题，考察和锻炼学生们的思维和对新定义知识的理解接收能力．
（1）如图3-1，已知A、B两村分别距公路l的距离，，且．在公路l上建一中转站P使的最小，则的最小值为（　　）A．100km            B．80km            C．60km            D． （2）如图3-2，正方形ABCD中，，M是DC上的一点，且，N是AC上的一动点，求的最小值与最大值．                图3-1                               图3-2（1）D；（2）找点D关于AC的对称点，由正方形的性质可知，B就是点D关于AC的对称点，连接BN、BM，由可知，当且仅当B、N、M三点共线时，的值最小，该最小值为．当点N在AC上移动时，有三个特殊的位置我们要考察：BM与AC的交点，即取最小值时；当点N位于点A时，；当点N位于点C时，．故的最大值为．（1）如图，正方形ABCD的边长是4，的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则的最小值是________． （2）已知，点P在内部，与P关于OB对称，与P关于OA对称，则、O、三点确定的三角形是（    ）．A．直角三角形          B．等腰直角三角形C．腰底不等的等腰三角形        D．等边三角形（1）；（2）D．
如图所示，已知中，，，，D，E，F分别是三边AB，BC，CA上的点，则的最小值为（　　）．A．     B．     C．5    D．6   如图所示，的最小值为，且当时，去最小值，故选B．如图，在中，，，BE平分，．求证：．            如右图延长CE、BA相交于点F，在和中∴；∴；∵，∴同理；∴；∴；∴；∴．