初二数学上册秋季班培优讲义 第2讲 三角形的两大模型 教师版

模块一  两大模型与角度关系“飞镖”模型  “8”字模型  飞镖模型结论的常用证明方法：                 模块二  两大模型与边长关系“飞镖”模型  “8”字模型   
模块三  多边形1．多边形的基本概念：（1）定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．（2）要素：顶点、边、内角、外角、对角线内角：、、、、……外角：对角线：连接不相邻两个顶点的线段是多边形的对角线．如BD.n边形对角线条数：条（3）分类：凸、凹多边形：多边形的每一边都在任何一边所在直线的同一侧，叫做凸多边形；反之叫做凹多边形．（如图）（4）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形（如图正六边形）    多边形     凸多边形     凹多边形正六边形2．多边形的内角和：（1）结论：n边形内角和等于．（2）证明：①过n边形一个顶点，连对角线，可以得条对角线，并且将n边形分成个三角形，这个三角形的内角和恰好是多边形的内角和．②在n边形边上取一点与各顶点相连，得个三角形，n边形内角和等于这个三角形内角和减去在所取的一点处的一个平角，即．③在n边形内部取一点与n边形各顶点相连，得n个三角形，这n个三角形所有内角之和为，故n边形内角和等于．3．多边形的外角和：（1）结论：多边形外角和等于360°．（2）证明：如图：，，，……等式右边共有n个相加，代表n边形的内角和，即．
（1）如图1-1，中，点D在BC的延长线上，过D作于E，交AC于F．已知，，则的度数为___________． （2）如图1-2，，则          ． （3）如图1-3，则___________．      图1-1                 图1-2                    图1-3（1）；（2）；（3）．【教师备课提示】这道题主要考查三角形两大模型的基础倒角问题——找模型．（1）飞镖模型：找燕尾；（2）“8”字模型：找×字．（1）如图2-1，则           ． （2）如图2-2，则           ．          图2-1                                 图2-2（1）本题既可按“8字模型”来考虑，也可按照飞镖模型来做，也可以应用外角定理来解决，此题可以锻炼学生一题多解，熟练灵活的应用．
①如图1，连接，应用“8字模型”，.②如图2，应用飞镖模型，∵∵，∴③如图3，应用外角定理，∵又∵，∴图1                 图2                   图3（2）法一：∵∠A+∠B=∠5+∠6       ①∠C+∠D=∠4+∠6         ②∠E+∠F=∠4+∠5         ③①+②+③=2（∠4+∠5+∠6），∵．∴．法二：∵，           ①，               ②．                ③而，，，且．  ④∴①+②+③④得，法三：连接，∴【教师备课提示】这道题相对复杂，锻炼孩子们找模型的能力和倒角能力，一题多解．（1）如图3-1，已知，，则        ． （2）如图3-2，则        ．                图3-1                              图3-2（1）；利用两次“8”字模型．（2）；连接BD，利用两次飞镖模型．【教师备课提示】这道题主要需要孩子们自己连接辅助线，锻炼倒角能力．
如图，已知，BO平分，DO平分，        ．．已知：如图，，AM，CM分别平分和．（1）求的大小；（2）当，为任意角时，探索与，间的数量关系，并对你的结论加以证明．（1）根据三角形内角和定理，在和中，，，∴    ①  同理    ②∵，， ∴①+②得，即（2）当、为任意角时，，证明：根据三角形外角性质，可得：，，∴，∴又∵、分别平分、∴，， ∴∴，即【教师备课提示】例4—例5主要考查两大模型的拓展，自己拓展出结论．
如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O．求证：（1）；  （2）．（1）在中，，在中，，两不等式相加得，∴即 （2）应用上题的结论：，，∴．三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度．在下图中，E位于线段CA上，D位于线段BE上．（1）说明为什么．（2）说明为什么．（3）与，哪一个更大？证明你的答案；（4）与，哪一个更大？证明你的答案．（1）由三角形三边关系，．（2）由三角形三边关系，．因此， ．（3）由三角形三边关系，，，以及，将三个不等式相加，得．（4）由（2）可知．类似可得，以及．将这三个不等式相加，可得，即．【教师备课提示】例6—例7主要考查两大模型和边长的关系．
（1）下列平面图形            不具有稳定性．（黑点表示连接点）A．              B．              C．              D．（2）科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图示中的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（    ）A．6米          B．8米C．12米                 D．不确定 （3）m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，则
         ．（1）C．提示：三角形具有稳定性．（2）B．多边形的外角和为，每个外角为，则，故多边形边数为，则周长为．（3）m边形的一个顶点有7条对角线，所以，则；没有对角线的多边形显然是三角形，则；k边形条数与其边数相等，即，所以．故．（1）若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（    ）A．5    B．6    C．7    D．8 （2）若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（    ）A．10      B．9     C．8    D．6 （3）一个多边形内角和是外角和的4倍，那么这是（    ）边形.A．10     B．22      C．15       D．8 （4）如果一个五边形的4个内角都是，则第5个内角的度数是         ．
（5）一个凸多边形的每一个内角都等于，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是          ．（1）B；（2）B.（3）A．设多边形的边数为，由题意得，解得．（4）.（5）6．每个外角为，边数为，则每个顶点出发得到对角线的条数：．（1）一个凸多边形的内角中，最多有　　　个锐角． （2）一个凸n边形，除一个内角外，其余个内角的和是，则n的值为      ．（1）3．（2）由凸边形的内角得，，解不等式的，故．如图，求六个角的和.              连接DE、EF，BE与DG的交点为O∵三角形内角和等于，
∴， ∵，∴同理∴．如图所示，在中，，在上，，是上的任意一点，求证．             作点关于的对称点，则点落在线段CD上．连接交于点，连接．由轴对称图形的性质可得，．在中，，在中，．因此，所以．如图，在三角形ABC中，，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：（1）；（2）.                   
（1）∵，∴∵，∴，∴∵，∴（2）过点作，交、于、，则，由（1）知∵，∴即几何证明中后一问常常要用到前一问的结论.
（1）如图1-1，已知，，，则__________．（2）如图1-2，，，则___________．              图1-1                                  图1-2（1）130°；（2）10°．（1）如图2-1，__________．（2）如图2-2，__________．                 图2-1                                图2-2（1）；（2）连接BC，∵（对顶角相等）∴（等量减等量差相等）∴（等量代换），∵（三角形内角和定义），∴（等量代换）．
将图3-1中线段AD上一点E（点A、D除外）向下拖动，依次可得图3-2、图3-3、图3-4．分别探究图3-2、图3-3、图3-4中、、、、（）之间有什么关系？图3-1          图3-2              图3-3            图3-4探究图3-2、图3-3、图3-4可得：（或）图3-2中：证明：，．∵，∴即图3-3中：同上可证图3-4中：同上可证（1）已知如图4-1所示，在图形ABCDEFG中，若BC//FG，则          ． （2）如图4-2所示， 的值等于         ． （3）如图4-3所示， 的度数为         ．             图4-1                 图4-2                  图4-3（1），，．
（2）连接、，设与交于，与交于.由，，而，所以，原式.（3）所以．已知，如图，P，Q为三角形ABC内两点，B，P，Q，C构成凸四边形．
求证：．           作直线PQ，分别与AB，AC交于点M，N由三角形的三边关系可得①+②+③得∴，即．（1）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，这个多边形的边数是       ． （2）一凸n边形最小的内角为，其它内角依次增加，则_________．
（3）在凸多边形中，小于的角最多可以有（     ）A．3个              B．4个               C．5个               D．6个（1）七．（2）这个凸n边形的内角由小到大依次为，它的外角依次为而这六个外角之和为∴．（3）设凸边形中，小于的角有个．当多边形的一个内角小于，则它的外角大于，而任意多边形的外角和等于，故有解得，故小于的角可以有4个，故选B如图，图中的5个圆都是半径为1的圆，求图中五个扇形（阴影部分）的面积．.