初一数学上册秋季班培优讲义 第7讲 期中复习.基础-提高班.教师版

  一 有理数基本概念 1. 正数、负数及有理数概念2. 用正、负数表示相反意义的量3. 有理数: 整数与分数统称有理数.4. 有理数的分类：⑴ 按整数和分数分类； ⑵ 按正数、负数和零分类.  注：①正数和零统称为非负数；②负数和零统称为非正数；③正整数和零统称为非负整数；④负整数和零统称为非正整数.二 数轴、相反数、绝对值、倒数、负倒数 1. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴； 2. 相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数．如果与互为相反数，则有，反之亦然．3. 绝对值：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离．数的绝对值记作．正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数． 绝对值的性质：⑴ 绝对值的非负性，可以用下式表示：，这是绝对值非常重要的性质；⑵ ；   ⑶ 若，则；若，则；⑷ 若，则或；       ⑸ ；    ⑹ 数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离，且.教师备案：解决绝对值的相关问题大多数都是去绝对值符号问题．（看到绝对值就想到去绝对值符号）让学生掌握绝对值的几何意义，利用数形结合及分类思想解题．让学生灵活运用绝对值的基本性质． 4. 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，特别地，没有倒数；倒数是它本身的数是，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．5. 负倒数：乘积为的两个数互为负倒数，特别地，0没有负倒数 ；、互为负倒数，则有，反之亦然．三 有理数的加减法1. 有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.2. 有理数加法的运算律：①两个加数相加，交换加数的位置，和不变. (加法交换律)②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.(加法结合律)3. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.例：四 有理数乘除法1. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘都得0.2. 有理数乘法运算律：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.3. 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0.4. 有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.5. 有理数乘方：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数. 特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号．6. 有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减.7. 科学记数法科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：就是科学记数法表示数的形式．也是科学记数法表示数的形式．  【例1】         ⑴在有理数，，，，，，，中，整数有________个，负数有_________个．⑵下列代数式：、、、、、、的值，一定为正数的有          个.⑶下列说法正确的有（　　）个①正数和负数统称为有理数；②1是最小的自然数；③整数和分数统称为有理数；④非负数是正数和0；⑤正整数和负整数统称为整数；⑥分数都可以化为小数，反过来小数不一定能化为分数。A．2个    B．3个    C．4个    D．5个⑷一个数在数轴上所对应的点向右移到5个单位长度后，得到它的相反数的对应点，则这个数是（　　）A．    B．2    C．    D．⑸ 有理数、在数轴上的位置如图，则下列关系中正确的个数是（     ）.① ；② ；③ ；④ A. 1        B. 2       C. 3        D. 4 ⑹和是满足≠0的有理数，以下说法中：①的相反数是；②的相反数是的相反数与的相反数的差；③的相反数是的相反数和的相反数的乘积；④的倒数是的倒数和的倒数的乘积．正确的有（     ）A. 1个      B. 2个      C. 3个     D. 4个⑺据统计，截至2011年10月22日22点，为期天的西安世界园艺博览会圆满闭幕，累计入园人数达到万余人次，创下历届世园会客流之最，1544万这个数据用科学记数法表示为（　　）A．人       B．人C．人       D．人【解析】       ⑴；⑵2；⑶B；⑷D；⑸D；⑹C；⑺B   【例2】         ⑴数轴是数与形和谐结合的桥梁，数轴在数学研究中有着非常重要的作用．华罗庚先生指出“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．已知在纸面上有一数轴，数轴上有三个点，点在点的左边，点表示的数是1．①如果点到原点的距离是，点到原点的距离是．则点和点两点的距离是多少？②如果点到原点的距离是，点到点的距离是．则点表示的数是多少？③如果点与点到原点的距离相等，点和点之间的距离是．则点、点表示的数各是多少？④如果点与点到点的距离相等，点和点之间的距离是．则点、点表示的数各是多少？ ⑵动点从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点，的速度比是，（速度单位：单位长度/秒）① 求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出，两点从原点出发运动3秒时的位置．② 若，两点从①中的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？③ 若，两点从①中的位置同时向数轴负方向运动时，另一动点也同时从点位置出发向点运动，当遇到点后，立即返回向点运动，遇到点后又立即返回向点运动，如此往返，直到追上时，点立即停止运动．若点一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？ 【解析】       ⑴①或②或③④ ⑵①设的速度为单位长度/秒，的速度为单位长度/秒依题意， 即：的速度为1单位长度/秒，的速度为4单位长度/秒．3秒时，的位置在，的位置在12． ② 设秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？③ 设秒后追上，依题意，点从开始运动到停止运动，行驶的路程是100个单位长度．   【例3】         一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算：⑴ 一粒大米重约多少克？⑵ 按我国现有人口13亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）⑶ 假若我们把一年节约的大米卖成钱，按每千克2元计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）⑷ 对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？【解析】       （1）10÷500≈0.02（克）．
答：一粒大米重约0.02克．
（2）0.02×1×3×365×1300000000÷1000=2.847×107（千克）．
答：一年大约能节约大米2.847×107千克．
（3）2×2.847×107=5.694×107（元）．
答：可卖得人民币5.694×107元．
（4）5.694×107÷500=1.1388×105； 整式概念1.单项式：单项式的次数、单项式的系数. 2.多项式：多项式的项、多项式的次数.3.整式：单项式和多项式统称为整式.4.同类项：几个单项式所含字母相同，并且相同字母的指数相同. 5.合并同类项：合并同类项时，只需把系数相加，所含字母和字母指数不变．整式加减的实质就是去括号，合并同类项．6.整体思想 【例4】         ⑴下列说法：①的系数是1；②式子是单项式；③单项式的次数是4；④的系数是；其中正确的有(   )A．1个    B．2个    C．3个    D．4个⑵若单项式与的和仍是一个单项式，则，的值分别是（    ）A．1，5    B．5，1    C．3，4    D．4，3 ⑶是      次三项式，各项的次数分别是     ，       ，       ．按降幂排列是                   ；按升幂排列是                   ． ⑷已知多项式是关于x二次多项式，则   _________．【解析】       ⑴B；⑵C；⑶五，，，．；；⑷13． 【例5】         已知关于、的多项式（友情提示：关于、的多项式即式子中只含有字母、，其他字母为常数）⑴当=_____，=_____时，此代数式的值与字母的取值无关；⑵将多项式化简，并在⑴的条件下求其值．【解析】       ⑴，⑵， 【例6】         如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）
      ⑴当小明输入这四个数时，这四次输出的结果分别是？⑵你认为当输入什么数时，其输出结果是？⑶你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？⑷有一次，小明在操作的时候，输出的结果是，你判断一下，小明可能输入的数是什么数？【答案】⑴；⑵；⑶负数；⑷． 等式的概念及性质、方程的有关概念一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．注意：方程的解要分类讨论．①当时，方程的解是；②当且时，方程的解是任意数；③当且时，方程无解．一元一次方程的基本解法解一元一次方程的一般步骤：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸系数化为． 易错点1——去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号.易错点2——去分母：不要漏乘不含分母的项易错点3——移项：注意移项变符号．绝对值方程⑴ 形如的方程，可分如下三种情况讨论：① ，则方程无解；② ，则根据绝对值的定义可知，；③ ，则根据绝对值的定义可知，．⑵ 形如型的绝对值方程的解法：   首先根据绝对值的定义得出，，且；   分别解方程和，然后将得出的解代入检验即可．⑶ 含多重绝对值符号的绝对值方程的解法，主要方法是根据定义，逐层去掉绝对值． 【例7】         ⑴ 若关于的方程是一元一次方程，则这个方程的解为（    ）A.      B.       C.     D. ⑵ 已知关于的方程的解满足方程，则        ．⑶ 若是方程的解，求代数式的值．                                                            （人大附中期中）【解析】       ⑴ B； ⑵ 2； ⑶ 把代入方程 得：，化简代数式，当时，原式. 【例8】         ⑴ 根据输入的数字，按图中程序计算，并把输出的结果填入表内；⑵ 若经过两次程序输出数值是，求出的值．                                                       （北京三帆中学期中）   【解析】       ⑴ ，，0；      ⑵ 由题意：  ∴. 【例9】         ⑴ 对任意有理数、、、，规定一种新运算：，已知，   则        ．                                                            （人大附中期中）⑵ 已知右图是一个三阶幻方，它的每行，每列及两条对角线上的三个数字之和都相等．填入数字11，，9如图，并且填入格的数是填入格的数的二倍．求填入格，格的数并将其填入格中，同时填出其它空格中的数． 11  9          【解析】       ⑴ 2； ⑵提示：由，每行每列及两条对角线上的三个数字之和都相等得：  11649213-3所以所以依次推出其他各数.      
训练1.             有理数，，均不为0，且，设，试求的值． 【解析】       有理数，，均不为0，且，∴、、中一正二负，或两正一负；当、、中一正二负时：；当、、中两正一负时：.∴.训练2.             设，，若，且，求的值．                                                          （北京东城区期末）【解析】       由，得，.故即得：，所以当，时， 训练3.             符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：①，，，……② ……利用以上规律计算：          . 【解析】       1. 训练4.             如图均为有理数，各行、各列以及两条对角线上三个数之和都相等，试计算的值.23                                             （北京师范大学附属实验中学期中） 【解析】       ∵∴∴.又∵∴所以最后得－9.
有理数综合【练习1】   ⑴下列不正确的是（　　）A．1是绝对值最小的数B．0既不是正数，也不是负数C．一个有理数不是整数就是分数D．0的绝对值是0 ⑵如果，那么，两个实数一定是（  ）A．都等于      B．一正一负      C．互为相反数      D．互为倒数 ⑶已知点和点都在同一条数轴上，点表示3，又知点和点相距5个单位长度，则点表示的数是_______.   ⑷ 给出下列结论：①若，则；            ②一定是个负数；③若，则；          ④∵，∴．其中正确的个数是（   ）．A．0个         B．1个            C．2个        D．3个⑸山西体育中心是建国以来山西省开工建设的最大体育场馆，占地1238亩，总投资为16亿元，用科学记数法表示16亿元为（　　）A．元  B．元  C．元  D．元 【解析】       ⑴A；⑵ C；⑶ 或8；⑷ B；⑸B 【练习2】   ⑴若，且，，则       . ⑵ 若<0，，则 的值是（    ）A．         B．4        C．      D．不能确定⑶ 若、为负数，且，化简              .                                                           【解析】       ⑴ 或；  ⑵ A；  ⑶. 整式加减综合复习【练习3】   已知，求代数式的值．【解析】       ，；；【练习4】   ⑴多项式是关于的二次三项式，求的值． ⑵ 一位同学做一道题，已知两个多项式，，计算，他误将看作，求得，若，你能否帮助他求得的正确答案？ 【解析】       ⑴由题意得，得原式为；  ⑵ .一元一次方程综合复习【练习5】   为有理数，现规定一种运算：  =，那么当  =18时的值是             ．                                                     （北京四中期中）【解析】       当  =18时，，.【练习6】   如果与是关于的同解方程，求的值．【解析】       由得，由得，因此，得．