初一数学上册秋季班培优讲义 第4讲 整体思想求值 教师版

               生活水平提高了 题型切片（七个）对应题目    题型目标利用同类项求未知数的值例1；练习1整式加减的化简求值例2；练习1化简并说明结果与字母取值无关例3；练习2整体思想之整体化简例4；练习3整体思想之代入求值例5：练习4整体思想之构造整体例6；练习5整体思想之赋值例7；练习6  整式加减的实质：⑴去括号；⑵找同类项；⑶合并同类项.整式加减运算原则：有括号先去括号，有同类项先合并同类项.多重括号的整式加减混合运算中，常用的三种去括号方法：⑴由内向外逐层进行；⑵由外向内进行；⑶如果去括号法则掌握得熟练，还可以内外同时进行去括号．【例1】 ⑴若与是同类项，则=_______, =________.        ⑵若，则=________.【解析】       ⑴ 1,1；⑵ 5；【例2】 ⑴化简：①             ；            ②          .⑵化简求值：，其中．    ⑶已知：，求的值.【解析】       ⑴ ①，②；        ⑵ .        ⑶ 解：原式=               ∵               ∴，               将 ，代入可得              原式=.【例3】 ⑴当时，代数式中不含项.⑵ 有这样一道题“当时，求多项式的值”，马小虎做题时把错抄成时，王小明没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由．【解析】       ⑴⑵ 因为原式=，化简的结果中含，无论还是错抄成，都等于4，最后结果都一样．针对例3（1）进行拓展1.已知多项式和，，，当与的差不含二次项时，求的值．【解析】       =           =.∵与的差不含二次项，∴ ∴ 原式=.2.已知，，， ⑴当，取不同的数值时，的值是否发生变化？并说明理由. ⑵的取值是正数还是负数？若是正数，求出最小值；若是负数，求出最大值.【解析】       ⑴∵=+=         ∴的值与的值无关.          即当，取不同的数值时，的值不发生变化.        ⑵由⑴可知，的值为正数，且最小值是6.整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想的解题方法在代数式的化简与求值有广泛的应用，整体代入、整体设元、整体处理等都是整体思想方法在解代数式的化简与求值中的具体运用． 【例4】 ⑴计算          ．⑵化简：        ．⑶化简：=        ．【解析】⑴；⑵；⑶．【例5】 ⑴已知代数式等于3，则代数式的值为          .⑵已知代数式的值为8，那么代数式的值为        .⑶若的值为3，则的值为_______.⑷已知代数式的值为9，则代数式的值为            .⑸已知，求代数式的值.【解析】⑴ ；⑵ 5；⑶ -13；⑷ 7；⑸4.【例6】 ⑴如果，，则      .⑵己知：，，，求的值．【解析】       ⑴ .⑵ ,, , ．【例7】 ⑴已知代数式，当时，值为，求该代数式当时的值．⑵已知代数式，当时它的值为；当时它的值为，求时，代数式的值.【解析】       ⑴当时，；当时，．⑵当时，，      ∴.      ∴①      当时，.      ∴      ∴②      ∴ ①+②得：，       ∴        当时，                                         【选讲题】【例8】 李明在计算一个多项式减去时，误认为加上此式，计算出错误结果为，试求出正确答案．【解析】       . 【例9】 设，求：⑴ 的值；⑵ 的值；⑶ 的值；⑷ 的值． 【解析】       ⑴ 令代入已知等式，得；⑵ 将代入已知等式，得；⑶ 将代入已知等式，得所以；⑷ 由，，两式相加得：所以． 
训练1.     已知：，互为倒数，且，求的值． （三帆期中）【解析】       ∵互为倒数，∴，∵∴原式= = = =1 训练2.     已知，当时，，那么当时，       ．【解析】           时，故，时， 训练3.     已知，求的值． 【解析】       将代入已知等式，得；将代入已知等式，得；所以． 训练4.     已知有理数和满足多项式是关于的二次三项式．当时，化简：（人大附中期中）【解析】           ∵是关于的二次三项式∴①    或②    或③    或④由①解得或，由②解得或，由③解得，由④解得或当时，代入可得不是二次三项式，故不符合条件，应该舍掉；当时，代入可得是二次三项式，符合条件，∴．当时，代入可得不是二次三项式，故不符合条件，应舍掉；当时，代入可得是二次三项式，符合条件∴当时，代入可得 是二次三项式，符合条件∴当时，代入可得是二次三项式，符合条件 ∴当时，代入可得是二次三项式，符合条件 ∴∴=或=或=或=或=当时，，，，，故==或==或或=或=
 利用同类项求未知数的值、整式加减的化简求值【练习1】   已知与是同类项，化简代数式并求该      代数式的值.【解析】       ，原式=.化简并说明结果与字母取值无关【练习2】   有这样一道题：“计算的值”，其中“”. 甲同学把“”错抄成了“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果.【解析】       原式=，结果与没有关系.原式=.整体思想之整体化简【练习3】   把当作一个整体，合并的结果是（    ）A．      B．      C．      D．0【解析】       C整体思想之代入求值【练习4】   ⑴如果，那么代数式的值是___________.             ⑵已知，代数式的值是_________．                 ⑶已知，则代数式的值为      ． ⑷若的值为2，则的值为_____．⑸若，则＝          ． 【解析】       ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸1 .整体思想之构造整体【练习5】   如果，，则的值为        ．【解析】       4整体思想之赋值【练习6】   ⑴已知当时，代数式的值为，那么当时，代数式的值是多少？⑵若，当时，，则时，       ．【解析】       ⑴ ；⑵ .    
 是先有方程还是先有代数式？当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。德摩根于1823至1827年间入读剑桥大学三一学院，1828年，他的老师如皮科克等人，推廌他任伦敦大学学院数学教授一职，至1831年 辞职，1836至1866 年则继续留任该职。1865年，他积极筹备伦敦数学会，1866年担任任第一任会长。德摩根主要分析学、代数学、数学史及逻辑学等方面作出重要的贡献。他的工作，对当时19世纪的数学具有相当的影响力。在代数学方面，他认为：「代数学实际上是一系列『运算』，这种『运\算』能在任何符号﹝不一定是数字﹞的集合上，根据一定的公式来进行」。他这种新的数学思想 ，使代数得以脱离算术的束缚。此外，他提出的「双重代数」，对建立复数性质的几何表示有一定的帮助。德.摩根对数学史亦十分 精通，曾为牛顿及哈雷作传，并制作了17世纪科学家的通讯录索引。此外，他在算术、代数、三角等方面亦撰写了不少教材 ，主要 著作有《微积分学》﹝1842﹞及《形式逻辑》﹝1847﹞等。他亦是最早试图解决四色问题的人，并对四色问题作了一些推进。试一试：任意想一个非零的有理数，把这个数平方，再加上这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果总是1.你能说明其中的道理吗？解析：设这个数为，按照题意