(最新)初三数学上册班培优讲义..直升班第13讲 圆（三）（学生版）

 
            圆（三）              模块一  切线的性质和判定模块二  切线长定理模块三  弦切角定理 
模块一  切线的性质和判定1．切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径.如图，直线AB与相切于点P，连接OP，则.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．总结：根据圆的切线性质定理，以后在题中看到圆的切线，连半径，得垂直.2．切线的判定：定义：和圆只有一个交点的直线是圆的切线．距离：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．根据圆的切线判定定理，以后在题中证明圆的切线，连半径，证垂直.模块二  切线长定理1．切线长定理：切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，并且这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．如图所示，PA、PB分别与切于点A、B，则，OP平分．2．三角形的内切圆和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内心是三条内角平分线的交点．注意：（1）内心的确定：三条内角平分线的交点，内心一定在三角形的内部．     （2）内心到三角形的三边距离相等，都等于内切圆的半径．     （3）常见结论：如图，，，，，．模块三  弦切角定理1．弦切角定理：弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.弦切角就是切线与弦所夹的角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角．如图所示，直线AB切圆O于点A，AC为圆O的弦，是弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，则．
（1）如图1-1，AB是的直径，，AC是的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若，则__________． （2）如图1-2，直线AB与相切于点A，AC、CD是的两条弦，且，若的半径为，，则弦AC的长为_________． （3）如图1-3，CB切于点B，CA交于点D且AB为的直径，点E是上异于点A、D的一点．若，则的度数为________．            图1-1                         图1-2                     图1-3 （4）PA，PB是的切线，C是圆周上异于A、B的一点，若，则__________． 已知：如图，AB是的直径，直线CD与相切于点C，AC平分．（1）求证：；（2）若，，求直径AB的长．      （1）如图3-1，在中，，以BC为直径的与边AB相交于点D，，垂足为点E．判断DE与的位置关系，并证明你的结论； （2）已知：如图3-2，中，，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点．求证：直线EF是半圆O的切线．                            图3-1                                         图3-2 （3）已知：如图3-3，P是的角平分线OC上一点，于E．以P点为圆心，PE长为半径作．求证：与OB相切． （4）如图3-4，已知O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心、OA长为半径的与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F．①求证：CD与相切；②若正方形ABCD的边长为1，求的半径．                          图3-3                                            图3-4       已知，如图，AB是的直径，点E是的中点，连接BE交AC于点G，BG的垂直平分线CF交BG于H交AB于F点．（1）求证：BC是的切线；（2）若，，求BE的长．                             如图5-1所示，在中，，，O为BC的中点，动点E在BA边上自由移动，动点F在AC边上自由移动．（1）点E，F的移动过程中，是否能成为的等腰三角形？若能，请直接写出为等腰三角形时动点E，F的位置；若不能，请说明理由．（2）当时，设，，求y与x之间的函数解析式，写出x的取值范围．（3）在满足（2）中的条件时，若以O为圆心的圆与AB相切（如图5-2），试探究直线EF与位置关系，并证明你的结论．                          （1）如图6-1，PA、PB、DE分别切于A、B、C，若，周长为16，则的半径为______________． （2）如图6-2，梯形ABCD中，，O是AB上一点，以O为圆心的半圆与AD、CD、BC都相切．已知，，则AB的长为______________．                   图6-1                                           图6-2  （1）如图7-1所示，的内切圆与三边AB、BC、CA分别切于D、E、F，，，，则__________，__________，=___________． （2）如图7-2，为的内切圆，，，，则内切圆半径为________．                             图7-1                                              图7-2      如图，BC为半圆的直径，O为圆心，，AD与半圆相切于D，，．求证：．                    已知AB是的弦，直线l在平面上，过A、B两点分别作于点C，于点D．（1）如图9-1，若AB是的直径，直线l切于点E，过点E作于点F．求证：；（2）如图9-2，AB是的弦，直线l切于点E，过点E作于点F，此时EF、AC、BD有什么关系？（3）如图9-3，AB是的弦，直线l交于、两点，过、分别作于点，于点，此时直接写出、、AC、BD有什么关系？               图9-1                      图9-2                          图9-3     如图，已知AB为的弦，C为上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B．（1）求证：AD是的切线．（2）若的半径为3，，求AD的长．                             （1）如图1-1，PA切于A，PO交于，若，，则的半径是_____． （2）如图1-2，半径为3的切直线AC于B，，，则的度数是_______． （3）如图1-3，AB是的直径，点C在AB的延长线上，CD与相切于点D．若，则________．                  图1-1                        图1-2                            图1-3  已知：如图，在中，，点E在斜边AB上，以AE为直径的与BC边相切于点D，连接AD．（1）求证：AD是的平分线；（2）若，，求的半径．                                  如图，，以AB为直径的交AC于点D，过D作，垂足为E．（1）求证：DE是的切线；（2）作交于G，垂足为F，若，，求弦DG的长．    如图，在中，，以AB为直径的交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．（1）求证：DE与相切；（2）连接OE，若，，求OE的长．                             （1）如图，是的内切圆，D、E、F是切点，，，，又直线切于G，交AB、BC于M、N，则的周长为______________． （2）中，，，，则的内切圆半径_________．  已知：如图，C为上一点，DA交于B，连接AC、BC，且．求证：（1）DC为的切线；（2）．