（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（22）第三章三角函数、解三角形第三讲两角和与差的三角函数二倍角公式第2课时三角函数式的化简与求值（含解析）

 [练案22]第二课时　三角函数式的化简与求值A组基础巩固一、单选题1．(2020·安徽怀远一中月考)sin 10°sin 50°sin 70°＝(　C　)A．　 B．　C．　 D．[解析]　sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cos 40°cos 20°＝＝＝.2.(　C　)A．－　 B．－　C．　 D．[解析]　sin 47°＝sin (30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°，∴原式＝＝sin 30°＝.3．(2020·东北四市联考)已知sin (－α)＝cos (＋α)，则cos 2α＝(　D　)A．1　 B．－1　C．　 D．0[解析]　因为sin (－α)＝cos (＋α)，所以cos α－sin α＝cos α－sin α，即(－)sin α＝－(－)cos α，所以tan α＝＝－1，所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0，故选D. 4．(2020·内蒙古鄂尔多斯四校联考)已知sin θ＝－，则sin2(＋)＝(　D　)A．　 B．　C．　 D．[解析]　sin2(＋)＝＝＝＝，故选D.5．(2020·河南郑州一中月考)若＝4，则tan (2α＋)＝(　C　)A．　 B．　C．　 D．[解析]　∵＝＝＝4，∴tan (2α＋)＝＝.故选C.6．(2020·全国高考信息卷)若α为第二象限角，且sin 2α＝sin (α＋)cos (π－α)，则cos (2α－)的值为(　A　)A．－　 B．　C．　 D．－[解析]　∵sin 2α＝sin (α＋)cos (π－α)，∴2sin αcos α＝－cos2α，∵α是第二象限角，∴cos α≠0,2sin α＝－cos α，∴4sin2α＝cos2α＝1－sin2α，∴sin2α＝，∴cos (2α－)＝cos 2α＋sin 2α＝cos2α－sin2α＋2sin αcos α＝－sin2α＝－，故选A.二、多选题7．(2020·湖南岳阳三校第一次联考改编)已知α为三角形内角，且满足cos 2α＝sin α，则α的值为(　AD　)A．30°　　 B．135°C．60°　　 D．150°[解析]　由cos 2α＝sin α，得1－2sin2α＝sin α，即2sin2α＋sin α－1＝0，得sin α＝或sin α＝－1.因为α为三角形内角，所以sin α＝，所以α＝30°或150°，故选A、D.8．(2020·江西九江两校第二次联考改编)已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x，若α∈(0，π)，且f(α)＝，则α的值为(　AC　)A．　 B．　C．　 D．[解析]　由题意知f(x)＝cos 2xsin 2x＋cos 4x＝sin 4x＋cos 4x＝sin (4x＋)，因为f(α)＝sin (4α＋)＝，所以4α＋＝＋2kπ，k∈Z，即α＝＋，k∈Z.因为α∈(0，π)，所以α＝或α＝＋＝，故选A、C.三、填空题9．sin 15°＋sin 75°＝　　.[解析]　sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin (15°＋45°)＝sin 60°＝.另解：原式＝sin (45°－30°)＋sin (45°＋30°)＝2sin 45°cos 30°＝2××＝.10．化简：＝　2cos α　.[解析]　原式＝＝2cos α.11．(2020·福建龙岩第一次质量检测)化简：－sin 10°(－tan 5°)的值为　　.[解析]　原式＝－sin 10°(－)＝－sin 10°×＝＝＝＝.12．(2020·河南濮阳模拟)设0°<α<90°，若sin (75°＋2α)＝－，则sin (15°＋α)·sin (75°－α)＝　　.[解析]　因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°.又因为sin (75°＋2α)＝－<0，所以180°<75°＋2α<255°，角75°＋2α为第三象限角，所以cos (75°＋2α)＝－，所以sin (15°＋α)·sin (75°－α)＝sin (15°＋α)·cos (15°＋α)＝sin (30°＋2α)＝sin [(75°＋2α)－45°]＝[sin (75°＋2α)cos 45°－cos (75°＋2α)·sin 45°]＝×(－×＋×)＝.四、解答题13．(2020·江西临川一中月考)已知0<x<，sin (－x)＝，求的值．[解析]　解法一：(先化简后求值)：原式＝＝(cos x＋sin x)＝2cos (－x)．因为0<x<，所以0<－x<，则原式＝2＝.解法二：(先局部后整体)：cos (＋x)＝cos [－(－x)]＝sin (－x)＝.下面从两个角度求cos 2x.角度1：cos 2x＝sin (－2x)＝sin [2(－x)]＝2sin (－x)cos (－x)；角度2：cos 2x＝cos2x－sin2x＝(cos x－sin x)·(cos x＋sin x)＝sin (－x)·cos (－x)＝2sin (－x)·cos (－x)．　因为0<x<，所以0<－x<，则cos (－x)＝＝，故cos 2x＝2××＝.所以＝.14．(2020·江西吉安白鹭洲中学联考)已知0<α<<β<π，cos (β－)＝，sin (α＋β)＝.(1)求sin 2β的值；(2)求cos (α＋)的值．[解析]　(1)方法一：∵cos (β－)＝cos cos β＋sin ·sin β＝(sin β＋cos β)＝，∴cos β＋sin β＝，∴1＋sin 2β＝，∴sin 2β＝－.方法二：sin 2β＝cos (－2β)＝2cos2(β－)－1＝－.(2)∵0<α<<β<π，∴<β－<，<α＋β<，∴sin (β－)>0，cos (α＋β)<0.∵cos (β－)＝，sin (α＋β)＝，∴sin (β－)＝，cos (α＋β)＝－.∴cos (α＋)＝cos [(α＋β)－(β－)]＝cos (α＋β)·cos (β－)＋sin (α＋β)sin(β－)＝－×＋×＝.B组能力提升1．(2020·巴中模拟)化简(tan α＋)·sin 2α－2cos2α＝(　D　)A．cos2α　 B．sin2α　C．cos 2α　 D．－cos 2α[解析]　原式＝(＋)·sin αcos α－2cos2α＝(sin2α＋cos2α)－2cos2α＝1－2cos2α＝－cos 2α.2．(2020·贵州遵义模拟)已知θ是第一象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝，则sin 2θ＝(　C　)A．　 B．－　C．　 D．－[解析]　∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴sin 4θ＋cos 4θ＋2sin2θcos2θ＝1，∵sin 4θ＋cos 4θ＝，∴2sin2θcos2θ＝sin22θ＝，∵θ是第一象限角，∴sin 2θ＝，故选C.3．(多选题)(2020·湖北八校第一次联考改编)已知3π≤θ≤4π，且＋＝，则θ＝(　CD　)A．π　　 B．πC.　　 D．π[解析]　∵3π≤θ≤4π，∴≤≤2π，∴cos >0，sin <0，则＋＝＋＝cos －sin ＝cos (＋)＝，∴cos (＋)＝，∴＋＝＋2kπ或＋＝－＋2kπ，k∈Z，即θ＝－＋4kπ或θ＝－＋4kπ，k∈Z.∵3π≤θ≤4π.∴θ＝或，故选C、D.4．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈(－，)，则α＋β＝　－　.[解析]　由已知，得tan α＋tan β＝－3a，tan αtan β＝3a＋1，∴tan (α＋β)＝1.∵α，β∈(－，)，tan α＋tan β＝－3a<0，tan αtan β＝3a＋1>0，∴tan α<0，tan β<0，∴α，β∈(－，0)，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.5．(2020·广东名校联考)已知向量m＝(2，sin α)，n＝(cos α，－1)，其中α∈(0，)，且m⊥n.(1)求sin 2α和cos 2α的值；(2)若sin (α－β)＝，且β∈(0，)，求角β.[解析]　∵m⊥n，∴2cos α－sin α＝0，即sin α＝2cos α.代入cos2α＋sin2α＝1中，得5cos2α＝1，且α∈(0，)，则cos α＝，sin α＝.则sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－.(2)∵α∈(0，)，β∈(0，)，∴α－β∈(－，)．又sin (α－β)＝，∴cos (α－β)＝.∴sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β)＝×－×＝.又由β∈(0，)，得β＝.