（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（25）第三章三角函数、解三角形第六讲正弦定理、余弦定理（含解析）

 [练案25]第六讲　正弦定理、余弦定理A组基础巩固一、单择题1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　C　)A．　 B．　C．　 D．[解析]　因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos ∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝.故选C.2．已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　D　)A．2　 B．1　C．　 D．[解析]　由正弦定理＝，得＝，所以＝，所以b＝.3．已知△ABC中，A︰B︰C＝1︰1︰4，则a︰b︰c＝(　A　)A．1︰1︰　　 B．2︰2︰C．1︰1︰2　　 D．1︰1︰4[解析]　△ABC中，A︰B︰C＝1︰1︰4，所以A＝，B＝，C＝π，a︰b︰c＝sin A︰sin B︰sin C＝︰︰＝1︰1︰.4．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　C　)A．　 B．　C．　 D．[解析]　由题可知S△ABC＝absin C＝，所以a2＋b2－c2＝2absin C，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，所以sin C＝cos C．因为C∈(0，π)，所以C＝.故选C.5．(2020·河北武邑中学调研)黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝2，…，解得b＝，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件(　B　)A．A＝30°，B＝45°　　 B．C＝75°，A＝45°C．B＝60°，c＝3　　 D．c＝1，cos C＝[解析]　由C＝75°，A＝45°可知B＝60°，又＝，∴b＝＝＝＝，符合题意，故选B.6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是(　C　)A．直角三角形　　 B．等腰非等边三角形C．等边三角形　　 D．钝角三角形[解析]　∵＝，∴＝，∴b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝＝.∵A∈(0，π)，∴A＝.∴△ABC是等边三角形，故选C.二、多选题7．在△ABC中，a＝4，b＝8，A＝30°，则此三角形的边角情况可能是(　ACD　)A．B＝90°　　 B．C＝120°C．c＝4　　 D．C＝60°[解析]　∵＝，∴sinB＝＝1，∴B＝90°，C＝60°，c＝4.故选A、C、D.8．(2020·山东德州期中)下列关于正弦定理的叙述中正确的是(　ACD　)A．在△ABC中，a︰b︰c＝sin A︰sin B︰sin CB．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝BC．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin BD．在△ABC中，＝[解析]　对于A，在△ABC中，由正弦定理可得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，所以a︰b︰c＝sin A︰sin B︰sin C，故A正确；对于B，若sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，可得A＝B或A＋B＝，故B错误；对于C，若sin A>sin B，根据正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，得a>b，再根据大边对大角可得A>B.若A>B，则a>b，由正弦定理a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，得sin A>sin B，故C正确；对于D，由＝＝，再根据比例式的性质可知D正确．故选A、C、D.三、填空题9．(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，sin B＝，C＝，则b＝__1__.[解析]　∵sin B＝且B∈(0，π)，∴B＝或，又C＝，∴B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由＝，得＝，∴b＝1.10．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝__2__[解析]　解法一：由正弦定理sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin B，即sin (B＋C)＝sin A＝2sin B，有＝＝2.解法二：由余弦定理得b·＋c·＝2b，化简得a＝2b，因此，＝2.解法三：由三角形射影定理，知bcos C＋ccos B＝a，所以a＝2b，所以＝2.故填2.11．(2017·浙江节选)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是　　.[解析]　取BC中点E，由题意，AE⊥BC.△ABE中，cos ∠ABC＝＝，所以cos ∠DBC＝－，sin ∠DBC＝＝，所以S△BCD＝×BD×BC×sin ∠DBC＝.故填.12．(2019·浙江)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝　　，cos ∠ABD＝　　.[解析]　在Rt△ABC中，易得AC＝5，sin C＝＝.在△BCD中，由正弦定理得BD＝×sin ∠BCD＝×＝，sin ∠DBC＝sin [π－(∠BCD＋∠BDC)]＝sin (∠BCD＋∠BDC)＝sin ∠BCDcos ∠BDC＋cos ∠BCD·sin ∠BDC＝×＋×＝.又∠ABD＋∠DBC＝，所以cos ∠ABD＝sin ∠DBC＝.三、解答题13．(2019·北京)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－.(1)求b，c的值；(2)求sin (B＋C)的值．[解析]　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝32＋c2－2×3×c×(－)．因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×(－)．解得c＝5.所以b＝7.(2)由cos B＝－得sin B＝.由正弦定理得sin A＝sin B＝.在△ABC中，B＋C＝π－A.所以sin (B＋C)＝sin A＝.14．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.(1)求A；(2)若a＋b＝2c，求sin C.[解析]　由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cos A＝＝.因为0°<A<180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin (120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos (C＋60°)＝－.由于0°<C<120°，所以sin (C＋60°)＝，故sin C＝sin (C＋60°－60°)＝sin (C＋60°)cos 60°－cos (C＋60°)sin 60°＝.B组能力提升1．(2020·河北省级示范性高中联合体联考)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3sin A＝2sin C，b＝5，cos C＝－，则a＝(　C　)A．3　 B．4　C．6　 D．8[解析]　由3sin A＝2sin C及正弦定理，得3a＝2c，设a＝2k(k>0)，则c＝3k.由余弦定理，得cos C＝＝＝－，解得k＝3或k＝－(舍去)，从而a＝6.故选C.2．(2020·四川成都七中一诊)设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，已知(b＋c)sin (A＋C)＝(a＋c)·(sin A－sin C)，则A＝(　C　)A．30°　 B．60°　C．120°　 D．150°[解析]　依题意，知(b＋c)sin B＝(a＋c)(sin A－sin C)，由正弦定理，得(b＋c)b＝(a＋c)·(a－c)，即b2＋c2－a2＝－bc.由余弦定理，得cos A＝＝＝－，所以A＝120°.故选C.3．(2020·湖南四校摸底调研)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＋＝1，则C＝(　B　)A．　 B．　C．　 D．[解析]　由正弦定理及＋＝1，得＋＝1，整理可得a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得cos C＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝.故选B.4．(2020·湖北武汉部分重点中学第一次联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2acos B＝c，sin Asin B(2－cos C)＝sin2＋，则△ABC为(　B　)A．等边三角形　　 B．等腰直角三角形C．锐角非等边三角形　　 D．钝角三角形[解析]　由2acos B＝c及正弦定理，得2sin Acos B＝sin C．在△ABC中，因为sin C＝sin (A＋B)，所以2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，整理得sin (A－B)＝0，又A，B∈(0，π)，所以A＝B.因为sin Asin B(2－cos C)＝sin2＋，所以sin Asin B[2－(1－2sin2)]＝sin2＋，即sin Asin B(1＋2sin2)＝(1＋2sin2)，所以sin Asin B＝.又A＝B，且A，B∈(0，π)，所以A＝B＝，所以C＝π－A－B＝，所以△ABC是等腰直角三角形．故选B.5．(2019·江苏)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；(2)若＝，求sin (B＋)的值．[解析]　(1)因为a＝3c，b＝，cos B＝，由余弦定理cos B＝，得＝，即c2＝.所以c＝.(2)因为＝，由正弦定理＝，得＝，所以cos B＝2sin B.从而cos2B＝(2sin B)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，故cos2B＝.因为sin B>0，所以cos B＝2sin B>0，从而cos B＝.因此sin (B＋)＝cos B＝.