（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（48）第七章立体几何第七讲立体几何中的向量方法（含解析）

 [练案48]第七讲　立体几何中的向量方法A组基础巩固一、单选题1．(2020·东营质检)已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为(　C　)A．±　 B．　C．－　 D．±[解析]　＋λ＝(1，－λ，λ)，cos120°＝＝－，得λ＝±.经检验λ＝不合题意，舍去，∴λ＝－.2．在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的法向量为a＝(2，－2,1)，已知P(－1,3,2)，则P到平面OAB的距离等于(　B　)A．4　 B．2　C．3　 D．1[解析]　设点P到平面OAB的距离为d，则d＝，因为a＝(2，－2,1)，P(－1,3,2)，所以d＝＝2.故选B.3．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为下底面ABCD和上底面A1B1C1D1的中心，则B1M与AN所成角的余弦值等于(　B　)A．－　 B．　C．－　 D．[解析]　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D－xyz.设AB＝2，B1M与AN所成角为θ，则A(2,0,0)，M(1,1,0)，B1(2,2,2)，N(1,1,2)，所以＝(－1,1,2)，＝(－1，－1，－2)．故cos，＝＝＝－.因为两异面直线所成角的范围是(0，]，所以cosθ＝.故选B.4．在各棱长均相等的直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为(　C　)A．　 B．1　C．　 D．[解析]　以N为坐标原点，NB，NC所在的直线分别为x轴，y轴，过点N与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则N(0,0,0)，A1(0，－1,2)，B(，0,0)，M(，0,1)，所以＝(，0,0)，＝(，1，－1)，设直线A1M与BN所成的角为θ，则cosθ＝|cos，|＝＝＝，则sinθ＝，tanθ＝，故选C项．5．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　C　)A．　 B．　C．　 D．[解析]　以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BC＝CA＝CC1＝2，则可得A(2,0,0)，B(0,2,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，∴＝(1，－1,2)，＝(－1,0,2)．∴cos，＝＝＝＝.6．(2019·黑龙江哈尔滨期末)三棱柱ABC－A1B1C1底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为(　B　)A．　 B．　C．　 D．[解析]　如图建立空间直角坐标系，则＝(0,0,1)，＝(，1，－1)，＝(0,2，－1)，设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，则不妨取z＝2，则x＝，y＝1，∴n＝(，1,2)，∴A到平面A1BC的距离d＝＝.故选B.7．(2019·河南安阳)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　C　)A．150°　 B．45°　C．60°　 D．120°[解析]　二面角的大小为，，∵＝－－，两边平方得68＝36＋16＋64－96cos，，∴cosAC，＝，∴，＝60°，故选C.二、多选题8．已知空间中两条直线a，b所成的角为50°，P为空间中给定的一个定点，直线l过点P且与直线a和直线b所成的角都是θ(0°<θ≤90°)，则下列选项正确的是(　ABCD　)A．当θ＝15°时，满足题意的直线l不存在B．当θ＝25°时，满足题意的直线l有且仅有1条C．当θ＝40°时，满足题意的直线l有且仅有2条D．当θ＝65°时，满足题意的直线l有且仅有3条[解析]　过点P分别作a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的角为50°，由题意可知25°≤θ≤90°，∴当θ＝15°时，满足题意的直线不存在，故A正确；当θ＝25°时，直线l过点P且与a′，b′在同一平面内，且平分a′与b′所成角，∴满足题意的直线有且仅有1条；故B正确；当25°<θ<65°时，满足题意的直线l有且仅有2条，故C正确；当θ＝65°时，满足题意的直线有且仅有3条，故D正确．9．(2020·山东济南期末)给定两个不共线的空间向量a与b，定义叉乘运算；a×b.规定：①a×b为同时与a，b垂直的向量；②a，b，a×b三个向量构成右手系(如图1)；③|a×b|＝|a||b|sin〈a，b〉．如图2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，则下列结论正确的是(　ACD　)A．×＝B.×＝×C．(＋)×＝×＋×D．长方体ABCD－A1B1C1D1的体积V＝(×)·[解析]　由叉乘运算定义知A正确；×＝－×，B错误；(＋)×＝×＝λ，由|×|＝|λ|知2×4sin90°＝2λ，∴λ＝4，∴(＋)×＝4①.同理可知×＝4，×＝4，∴×＋×＝4(＋)＝4②，由①、②知C正确．又(×)·＝|×|·||＝||·||·||＝V长方体ABCD－A1B1C1D1，D正确，故选ACD.三、填空题10．(2020·山东枣庄期末)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PC⊥BC，AB⊥BC，AB＝2BC＝2，PC＝，则PA与平面ABC所成角的大小为__45°__；三棱锥P－ABC外接球的表面积是__6π__.[解析]　如图，作PO⊥平面ABC于O，连OA，OC，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．∵AB⊥PA，AB⊥PO，∴AB⊥平面PAO，从而AB⊥AO，同理BC⊥CO，又AB⊥BC，∴ABCO为矩形，又由题意易知PB＝，PA＝，AO＝1，PO＝1，∴∠PAO＝45°，即PA与平面ABC所成角为45°，又PB为三棱锥P－ABC外接球的直径，∴S球＝4π·()2＝6π.11．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝AC＝BC＝1，则异面直线BC1与A1B1所成角为__60°__；二面角A－BC1－C的余弦值是　　.[解析]　由题意可知BC1＝AB＝AC1＝，∴BC1与A1B1所成的角为∠ABC1＝60°，连B1C交BC1于H，连AH，则HC⊥BC1，AH⊥BC1，∴∠AHC即为二面角A－BC1－C的平面角，且cos∠AHC＝＝.注：本题也可如图建立空间直角坐标系，用向量法求解．四、解答题12．(2020·3月份北京市高考适应性考试)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD＝2AD，PD⊥DA，PD⊥DC，底面ABCD为正方形，M、N分别为AD，PD的中点．(1)求证：PA∥平面MNC；(2)求直线PB与平面MNC所成角的正弦值．[解析]　(1)证明：因为M，N分别为AD，PD的中点，所以PA∥MN，又因PA⊄平面MNC，MN⊂平面MNC，所以PA∥平面MNC.(2)由题意建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.设AD＝2，则P(0,0,4)，B(2,2,0)，M(1,0,0)，N(0,0,2)，C(0,2,0)，则＝(2,2，－4)，＝(－1,0,2)，＝(－1,2,0)．设平面MNC的法向量为n＝(x，y，z)，则，令x＝2，则y＝1，z＝1，即n＝(2,1,1)．设直线PB与平面MNC所成角为α，则sinα＝＝＝.即直线PB与平面MNC所成角的正弦值为.13．(2020·广东惠州调研)在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC＝90°，BC＝CD＝1，AD＝2，PA＝PD＝，E为AD的中点，F为PC的中点．(1)求证：PA∥平面BEF；(2)求二面角F－BE－A的余弦值．[解析]　(1)连接AC交BE于N ，并连接CE，FN，∵BC∥AD，BC＝AD，E为AD的中点，∴AE∥BC，且AE＝BC，∴四边形ABCE为平行四边形，∴N为AC中点，又F为PC中点，∴NF∥PA，∵NF⊂平面BEF，PA⊄平面BEF，∴PA∥平面BEF.(2)连接PE，由E为AD的中点及PA＝PD＝，得PE⊥AD，则PE＝，∵侧面PAD⊥底面ABCD，且交于AD，∴PE⊥面ABCD，如图所示，以E为原点，EA、EB、EP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,1,0)，P(0,0，)．∵F为PC的中点，∴F(－，，)，∴＝(0,1,0)，＝(－，，)，设平面EBF法向量为m＝(x，y，z)，则⇒取m＝(，0,1)，平面EBA法向量可取：n＝(0,0,1)，设二面角F－BE－A的大小为θ，显然θ为钝角，∴cos θ＝－|cosm，n|＝－＝－，∴二面角F－BE－A的余弦值为－.14．(2019·银川模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∠BAC＝90°，AA1⊥BC，AA1＝AC＝2AB＝4，且BC1⊥A1C.(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)设D是A1C1的中点，判断并证明在线段BB1上是否存在点E，使得DE∥平面ABC1.若存在，求二面角E－AC1－B的余弦值．[解析]　(1)在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ABB1A1是矩形，∴AA1⊥AB，又AA1⊥BC，AB∩BC＝B，∴A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AC.又A1A＝AC，∴A1C⊥AC1.又BC1⊥A1C，BC1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面ABC1，又A1C⊂平面A1ACC1，∴平面ABC1⊥平面A1ACC1.(2)当E为BB1的中点时，连接AE，EC1，DE，如图1，取A1A的中点F，连接EF，FD，∵EF∥AB，DF∥AC1，又EF∩DE＝F，AB∩AC1＝A，∴平面EFD∥平面ABC1，则有DE∥平面ABC1.以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为AA1＝AC＝2AB＝4，∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C1(0,4,4)，C(0,4,0)，E(2,0,2)，A1(0,0,4)，由(1)知，＝(0,4，－4)是平面ABC1的一个法向量．设n＝(x，y，z)为平面AC1E的法向量，∵＝(0,4,4)，＝(2,0,2)，∴，即，令z＝1，则x＝－1，y＝－1，∴n＝(－1，－1,1)为平面AC1E的一个法向量．设与n的夹角为θ，则cosθ＝＝－，由图知二面角E－AC1－B为锐角，∴二面角E－AC1－B的余弦值为.B组能力提升1．(2019·广东江门模拟)如左图，平面五边形ABCDE中，∠B＝∠BAD＝∠E＝∠CDE＝90°，CD＝DE＝AE，将△ADE沿AD折起，得到如右图的四棱锥P－ABCD.(1)证明：PC⊥AD；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求直线PB与平面PCD用成角的正弦值．[解析]　(1)证明：取AD的中点F，连接PF、CF.由已知，左图CDEA是正方形，因为正方形的对角线互相垂直平分，所以PF⊥AD(即EF⊥AD)、CF⊥AD，因为PF∩CF＝F，所以AD⊥平面PCF，PC⊂平面PCF，所以PC⊥AD.(2)由(1)和平面PAD⊥平面ABCD知，PF⊥平面ABCD，从而PF、CF、AF两两互相垂直，以F为原点，以、、为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0,0,1)、B(1,1,0)、C(0,1,0)、D(－1,0,0)，设n＝(x，y，z)是平面PCD的一个法向量，则，取x＝1，则y＝z＝－1，故n＝(1，－1，－1)，＝(1,1，－1)，直线PB与平面PCD所成角的正弦值为|cos，n|＝＝.2．(2019·黑龙江省大庆实验中学押题卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC，AB＝BC，AB⊥BC，E，F分别为AC，B1C1的中点．(1)求证：直线EF∥平面ABB1A1；(2)求二面角A1－BC－B1的余弦值．[解析]　(1)证明：取A1C1的中点G，连接EG，FG，由于E，F分别为AC，B1C1的中点，所以FG∥A1B1.又A1B1⊂平面ABB1A1，FG⊄平面ABB1A1，所以FG∥平面ABB1A1.又AE∥A1G且AE＝A1G，所以四边形AEGA1是平行四边形．则EG∥AA1.又AA1⊂平面ABB1A1，EG⊄平面ABB1A1，所以EG∥平面ABB1A1.所以平面EFG∥平面ABB1A1.又EF⊂平面EFG，所以直线EF∥平面ABB1A1.(2)令AA1＝A1C＝AC＝2，由于E为AC中点，则A1E⊥AC，又侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1E⊂平面A1AC，则A1E⊥平面ABC，连接EB，可知EB，EC，EA1两两垂直．以E为原点，分别以EB，EC，EA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0，)，A(0，－1,0)，B1(1,1，)，所以＝(－1,1,0)，＝(－1,0，)，＝＝(0,1，)，令平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则，令x1＝，则n1＝(，，1)令平面B1BC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)则，令x2＝，则n2＝(，，－1)由cosn1，n2＝＝，故二面角A1－BC－B1的余弦值为.3．(2019·海南模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2.(1)求证：AB⊥PC；(2)在线段PD上是否存在一点M，使得二面角M－AC－D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．[解析]　(1)证明：如图， 由已知得四边形ABCD是直角梯形，由AD＝CD＝2，BC＝4，可得△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又PA∩AC＝A，所以AB⊥平面PAC，所以AB⊥PC.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C(2，2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)，B(2，－2，0)，＝(0,2，－2)，＝(2，2，0)．设＝t(0<t<1)，则点M的坐标为(0,2t,2－2t)，所以＝(0,2t,2－2t)．设平面MAC的法向量是n＝(x，y，z)，则，得，则可取n＝(1，－1，)．又m＝(0,0,1)是平面ACD的一个法向量，所以|cosm，n|＝＝＝cos45°＝，解得t＝，即点M是线段PD的中点．此时平面MAC的一个法向量可取n0＝(1，－1，)，＝(－2，3，1)．设BM与平面MAC所成的角为θ，则sinθ＝|cosn0，＝.