（浙江专用）2021届高考数学一轮复习专题九平面解析几何9.4双曲线试题（含解析）
展开§9.4 双曲线
基础篇固本夯基
【基础集训】
考点一 双曲线的定义和标准方程
1.设P是双曲线-=1上一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=9,则|PF2|等于 ( )
A.1 B.17
C.1或17 D.以上均不对
答案 B
2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-y2=1 D.x2-=1
答案 D
3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1
答案 A
4.若实数k满足0<k<5,则曲线-=1与曲线-=1的( )
A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
答案 D
考点二 双曲线的几何性质
5.已知双曲线-=1(a>0)的离心率为2,则a=( )
A.2 B. C. D.1
答案 D
6.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于( )
A.2 B.2 C.4 D.4
答案 C
7.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
答案 C
8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a= ;b= .
答案 1;2
综合篇知能转换
【综合集训】
考法一 求双曲线方程的方法
1.(2018黑龙江仿真模拟(三),8)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,一个焦点坐标为(2,0),则双曲线C的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.x2-=1 D.-y2=1
答案 C
2.(2019宁夏石嘴山三中一模,10)已知F1,F2分别为双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左,右焦点.过右焦点F2的直线l:x+y=c在第一象限内与双曲线E的渐近线交于点P,与y轴正半轴交于点Q,且点P为QF2的中点,△QF1F2的面积为4,则双曲线E的方程为( )
A.-y2=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1
答案 B
3.(2018甘肃兰州第二次实战考试)已知点A(-1,0),B(1,0)为双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右顶点,点M在双曲线右支上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则该双曲线的方程为 ( )
A.x2-=1 B.x2-y2=1
C.x2-=1 D.x2-=1
答案 B
考法二 求双曲线的离心率(或取值范围)的方法
4.(2018广东茂名模拟,9)已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B,A,若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为( )
A. B.4 C. D.
答案 A
5.(2019福建福州3月联考,10)如图,双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作直线与C的渐近线交于P点,若等腰△PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 C
6.(2018安徽黄山一模,5)若双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=2x无交点,则离心率e的取值范围是( )
A.(1,2) B.(1,2]
C.(1,) D.(1,]
答案 D
【五年高考】
考点一 双曲线的定义和标准方程
1.(2016课标Ⅰ,5,5分)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A.(-1,3) B.(-1,) C.(0,3) D.(0,)
答案 A
2.(2017天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案 B
3.(2016天津,6,5分)已知双曲线-=1(b>0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案 D
4.(2015天津,6,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案 D
考点二 双曲线的几何性质
5.(2019浙江,2,4分)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是( )
A. B.1 C. D.2
答案 C
6.(2019课标Ⅲ,10,5分)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为( )
A. B. C.2 D.3
答案 A
7.(2019课标Ⅱ,11,5分)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
答案 A
8.(2018课标Ⅰ,11,5分)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=( )
A. B.3 C.2 D.4
答案 B
9.(2018课标Ⅱ,5,5分)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
答案 A
10.(2017课标Ⅱ,9,5分)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( )
A.2 B. C. D.
答案 A
11.(2016课标Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为( )
A. B. C. D.2
答案 A
12.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
13.(2015课标Ⅱ,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( )
A. B.2 C. D.
答案 D
14.(2019天津,5,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
答案 D
15.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( )
A.m>n且e1e2>1 B.m>n且e1e2<1 C.m<n且e1e2>1 D.m<n且e1e2<1
答案 A
16.(2019课标Ⅰ,16,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,·=0,则C的离心率为 .
答案 2
17.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值是 .
答案 2
18.(2017山东,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .
答案 y=±x
教师专用题组
考点一 双曲线的定义和标准方程
1.(2015广东,7,5分)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案 C
2.(2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=( )
A. B. C. D.
答案 A
考点二 双曲线的几何性质
3.(2018浙江,2,4分)双曲线-y2=1的焦点坐标是( )
A.(-,0),(,0) B.(-2,0),(2,0) C.(0,-),(0,) D.(0,-2),(0,2)
答案 B
4.(2015四川,5,5分)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=( )
A. B.2 C.6 D.4
答案 D
5.(2015湖北,8,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则( )
A.对任意的a,b,e1>e2
B.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2
C.对任意的a,b,e1<e2
D.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2
答案 D
6.(2015重庆,10,5分)设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-,0)∪(0,) D.(-∞,-)∪(,+∞)
答案 A
7.(2014课标Ⅰ,4,5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A. B.3 C.m D.3m
答案 A
8.(2012课标,8,5分)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为( )
A. B.2 C.4 D.8
答案 C
9.(2017北京,9,5分)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m= .
答案 2
10.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距是 .
答案 2
11.(2016山东,13,5分)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 .
答案 2
12.(2015湖南,13,5分)设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为 .
答案
13.(2015山东,15,5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为 .
答案
14.(2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C:-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).
(1)求双曲线C的方程;
(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.
证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.
解析 (1)设F(c,0),因为b=1,所以c=,
直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),解得B.
又直线OA的方程为y=x,
则A,kAB==.
又因为AB⊥OB,所以·=-1,
解得a2=3,
故双曲线C的方程为-y2=1.
(2)由(1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y0≠0),
即y=.
因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M;直线l与直线x=的交点为N,
则==
=·.
因为P(x0,y0)是C上一点,
则-=1,代入上式得
=·=·=,
所求定值为==.
【三年模拟】
一、单项选择题(每题5分,共50分)
1.(2020届湖南张家界民族中学第二次月考,5)已知双曲线-=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则双曲线的焦点坐标为( )
A.(±,0) B.(±,0) C.(0,±) D.(0,±)
答案 D
2.(2020届湖北十堰第二中学月考,3)已知双曲线C:-=1的离心率为,则实数a的值为( )
A.1 B.-2 C.1或-2 D.-1
答案 C
3.(2020届湖南长沙一中第二次月考,5)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,则双曲线C的离心率为( )
A.2 B. C. D.
答案 B
4.(2020届广东佛山第一中学10月月考,5)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为直线l1,l2,经过右焦点F且垂直于l1的直线l分别交l1,l2于A,B两点,且=2,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 A
5.(2020届湖北黄冈9月新起点考试)双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),左,右焦点分别为F1,F2,P为C右支上的一点,·=0,以O为圆心,a为半径的圆与PF1相切,则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
答案 A
6.(2019吉林第三次调研测试,10)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实轴长是虚轴长的倍,则双曲线C的渐近线方程为 ( )
A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
答案 C
7.(2019湖南长沙3月统一考试,6)已知F1,F2分别是双曲线C:y2-x2=1的上、下焦点,P是其一条渐近线上的一点,且以F1F2为直径的圆经过点P,则△PF1F2的面积为( )
A. B.1 C. D.2
答案 C
8.(2018山东青岛模拟,8)已知P是双曲线C:-=1(a>0,b>0)左支上一点,F1、F2是双曲线的左、右焦点,且PF1⊥PF2,PF2与两条渐近线相交于M,N两点(如图),点N恰好平分线段PF2,则双曲线的离心率是( )
A. B. C.2 D.
答案 D
9.(2018安徽淮南联考,6)已知双曲线-=1的右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,),则△APF周长的最小值为 ( )
A.4+ B.4(1+) C.2(+) D.+3
答案 B
10.(2020届九师联盟高三9月质量检测,12)已知双曲线C:x2-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF1为等边三角形,则b的所有取值的积为( )
A. B.2 C. D.4
答案 B
二、多项选择题(每题5分,共20分)
11.(2020届山东夏季高考模拟,10)已知双曲线C过点(3,)且渐近线为y=±x,则下列结论正确的是( )
A.C的方程为-y2=1
B.C的离心率为
C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点
D.直线x-y-1=0与C有两个公共点
答案 AC
12.(改编题)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,则有( )
A.渐近线方程为y=±x B.渐近线方程为y=±x
C.∠MAN=60° D.∠MAN=120°
答案 BC
13.(改编题)已知平面内两个定点M(3,0)和N(-3,0),P是动点,且直线PM,PN的斜率乘积为常数a(a≠0),设点P的轨迹为C,则( )
A.存在常数a(a≠0),使C上所有点到两点(-4,0),(4,0)距离之和为定值
B.存在常数a(a≠0),使C上所有点到两点(0,-4),(0,4)距离之和为定值
C.不存在常数a(a≠0),使C上所有点到两点(-4,0),(4,0)距离之差的绝对值为定值
D.不存在常数a(a≠0),使C上所有点到两点(0,-4),(0,4)距离之差的绝对值为定值
答案 BD
14.(改编题)△ABC为等腰直角三角形,其顶点为A,B,C,若圆锥曲线E以A,B为焦点,并经过顶点C,则圆锥曲线E的离心率可以是( )
A.-1 B. C. D.+1
答案 ABD
三、填空题(每题5分,共20分)
15.(2020届江苏南通中学10月月考,7)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为3x+y=0,则双曲线的离心率为 .
答案
16.(2018河北名校名师俱乐部二调,15)已知F1、F2分别是双曲线x2-=1(b>0)的左、右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|=2且∠F1AF2=45°,延长AF2交双曲线的右支于点B,则△F1AB的面积等于 .
答案 4
17.(2019豫北名校2月联考,15)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 .
答案 x2-=1(x<0)
18.(2019豫东豫北十所名校第五次联考,15)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若△ABF2的内切圆与边AB,BF2,AF2分别相切于点M,N,P,且AP的长为4,则a的值为 .
答案 2
