（浙江专用）2021届高考数学一轮复习专题八立体几何8.5空间向量及其在立体几何中的应用试题（含解析）
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§8.5 空间向量及其在立体几何中的应用
基础篇固本夯基
【基础集训】
考点一 用向量法证明平行、垂直
1.如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点,且PA=AD.
(1)求证:AF∥平面PEC;
(2)求证:平面PEC⊥平面PCD.
证明 ∵PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,
∴PA⊥AB,PA⊥AD,AB⊥AD,
以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
由已知PA=AD,不妨设PA=AB=AD=2,则B(2,0,0),
P(0,0,2),A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0).
(1)∵F为PD的中点,E为AB的中点,
∴F(0,1,1),E(1,0,0),
∴PE=(1,0,-2),PC=(2,2,-2).
设平面PEC的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则n1·PE=0,n1·PC=0,即x1-2z1=0,2x1+2y1-2z1=0,
取z1=1,则n1=(2,-1,1),
又∵AF=(0,1,1),∴AF·n1=0-1+1=0,
∴AF⊥n1,∴AF∥平面PEC.
(2)PC=(2,2,-2),PD=(0,2,-2).
设平面PCD的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则n2·PC=0,n2·PD=0,∴2x2+2y2-2z2=0,2y2-2z2=0,即x2+y2-z2=0,y2-z2=0,
取z2=1,则n2=(0,1,1),
又∵n1=(2,-1,1)是平面PEC的一个法向量,
∴n1·n2=(2,-1,1)·(0,1,1)=0,∴n1⊥n2,
∴平面PEC⊥平面PCD.
2.如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,A1A=6,且A1A⊥底面ABCD,点P,Q分别在棱DD1,BC上.
(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;
(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值为37,求四面体ADPQ的体积.
解析 由题设知,AA1,AB,AD两两垂直.以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0),其中m=BQ,0≤m≤6.
(1)证明:因为P是DD1的中点,所以P0,92,3,所以PQ=6,m-92,-3.又AB1=(3,0,6),
于是AB1·PQ=18-18=0,所以AB1⊥PQ,即AB1⊥PQ.
(2)由题设知,DQ=(6,m-6,0),DD1=(0,-3,6)是平面PQD内的两个不共线向量.设n1=(x,y,z)是平面PQD的法向量,则n1·DQ=0,n1·DD1=0,即6x+(m-6)y=0,-3y+6z=0.取y=6,得n1=(6-m,6,3).又平面AQD的一个法向量是n2=(0,0,1),
所以cos=n1·n2|n1|·|n2|=31×(6-m)2+62+32=3(6-m)2+45.
而二面角P-QD-A的余弦值为37,因此3(6-m)2+45=37,解得m=4或m=8(舍去),此时Q(6,4,0).
设DP=λDD1(0
