（浙江专用）2021届高考数学一轮复习专题六数列6.1数列的概念及其表示试题（含解析）

专题六　数列【考情探究】 课标解读考情分析备考指导主题内容一、数列的概念及其表示1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.从近几年高考情况来看,数列问题每年都考查,难度中等.考查内容主要集中在两个方面:一是以选择题或填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质,题目多为常规试题;二是等差、等比数列的通项与求和问题,近两年结合概率、统计、函数、不等式等进行综合考查,涉及内容较为全面,题型新颖、方法灵活多变.1.解决等差(比)数列的基本问题时,要灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式,利用基本量法求解.2.数列的通项与求和是高考常考内容,其中求通项是求和的基础.3.重视方程、函数、分类讨论思想的应用.(1)方程思想:等差(比)数列中,由五个量a1,d(q),n,an,Sn中的三个量可求出其余两个量,要求选用公式要恰当,善于应用性质,减少计算量.(2)函数思想:在等差数列中,当d≠0时,an与自变量n为一次函数关系.Sn与n的关系:当d=0时,Sn=na1为一次函数;当d≠0时,Sn=n2+n为二次函数.在等比数列中,通项公式an=a1qn-1可化为an=·qn,这是指数型函数.(3)分类讨论思想:当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn==.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,此处是易错点.二、等差数列1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.三、等比数列1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.四、数列求和及综合应用1.掌握数列求和的几种常见方法.2.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.  【真题探秘】§6.1　数列的概念及其表示基础篇固本夯基【基础集训】考点　数列的概念及其表示1.数列1,,,,,…的一个通项公式an=(　　)A.　　　　　B.                         C.　　　　　D.答案　B2.已知数列{an}满足:∀m,n∈N*,都有an·am=an+m,且a1=,那么a5=(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.答案　A3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=,则a2 017=(　　)A.2 016　　　B.2 017　　　C.4 032　　　D.4 034答案　B4.在数列{an}中,a1=-,an=1-(n≥2,n∈N*),则a2 018的值为(　　)A.-　　　B.5　　　C.　　　D.答案　B5.已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,Sn为数列{an}的前n项和,则S2 017的值为(　　)A.2 017n-m　　　　　B.n-2 017m　　　C.m　　　　　D.n答案　C综合篇知能转换【综合集训】考法一　利用Sn与an的关系求通项公式1.(2018山东省实验中学期中,5)若数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=3n-2,那么这个数列的通项公式为(　　)A.an=2×3n-1　　　　　B.an=3×                          C.an=3n-2　　　　　D.an=答案　D2.已知数列{an}中,a1=1,Sn为数列{an}的前n项和,且当n≥2时,有=1成立,则S2 017=　　　　. 答案　考法二　由递推关系求数列的通项公式3.(2018广东深圳耀华实验学校期中,11)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an-2n,则a17=(　　)A.-15×216　　　　　B.15×217　　　C.-16×216　　　　　D.16×217答案　A4.(2019广东广雅中学模拟,7)在数列{an}中,已知a1=2,an+1=(n∈N*),则an的通项公式为(　　)A.an=　　　B.an=　　　C.an=　　　D.an=答案　B5.(2019河南濮阳重点高中联考,9)已知数列{an}的首项a1=35,且满足an-an-1=2n-1(n∈N*,n≥2),则的最小值为(　　)A.2　　　B.　　　C.　　　D.12答案　C6.(2019山西盂县一中模拟,8)设数列{an}满足a1=1,a2=2,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n≥2且n∈N*),则a18=(　　)A.　　　B.　　　C.3　　　D.答案　B考法三　数列的单调性和最大(小)项7.(2019河南中原名校第三次联考,18)设数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an(n∈N*).(1)求a1,a2;(2)若bn=n(2-n)(an-1),求{bn}的最大项,并写出取最大项的项数.解析　(1)∵数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an(n∈N*),∴a1=1-a1,a1+a2=2-a2,解得a1=,a2=.(2)由数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an(n∈N*),得n≥2时,a1+a2+a3+…+an-1=n-1-an-1,相减可得an=1-an+an-1,可得an-1=(an-1-1)(n≥2),∴数列{an-1}是等比数列,公比为,首项为-.∴an-1=-(n∈N*),∴bn=n(2-n)(an-1)=n(n-2)×.bn+1-bn=(n+1)(n-1)×-n(n-2)×=,令bn+1-bn>0,解得2-<n<2+.∴b1<b2<b3<b4>b5>b6>…>bn.∴b4是最大项,b4=.【五年高考】考点　数列的概念及其表示1.(2018课标Ⅰ,14,5分)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=　　　　. 答案　-632.(2015课标Ⅱ,16,5分)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=　　　　. 答案　-3.(2019上海,8,5分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+an=2,则S5=　　　　. 答案　 4.(2016浙江,13,6分)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=　　　　,S5=　　　　. 答案　1;121教师专用题组考点　数列的概念及其表示1.(2013课标Ⅰ,14,5分)若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an=　　　　. 答案　(-2)n-12.(2015浙江,20,15分)已知数列{an}满足a1=且an+1=an-(n∈N*).(1)证明:1≤≤2(n∈N*);(2)设数列{}的前n项和为Sn,证明:≤≤(n∈N*).证明　(1)由题意得an+1-an=-≤0,即an+1≤an,故an≤.由an=(1-an-1)an-1得an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0.由0<an≤得==∈[1,2],即1≤≤2.(2)由题意得=an-an+1,所以=-,Sn=a1-an+1.①由=-和1≤≤2得1≤-≤2,所以n≤-≤2n,因此≤an+1≤(n∈N*).②由①②得≤≤(n∈N*). 【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共35分)1.(2018广东惠州模拟,7)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1,则=(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.答案　A2.(2018广东广州一模,9)已知数列{an}满足a1=2,2anan+1=+1,设bn=,则数列{bn}是(　　)A.常数列　　　B.摆动数列　　　C.递增数列　　　D.递减数列答案　D3.(2018河南安阳二模,9)已知数列:,,,,,,,,,,…,依它的前10项的规律,这个数列的第2 018项a2 018等于(　　)A.　　　B.　　　C.64　　　D.答案　D4.(2018河北保定一模,10)已知函数f(x)=若数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是(　　)A.(1,3)　　　B.(1,2]　　　C.(2,3)　　　D.答案　C5.(2019福建龙岩一模,10)已知数列{an}各项均为整数,共有7项,且满足|ak+1-ak|=1,k=1,2,…,6,其中a1=1,a7=a(a为常数且a>0).若满足上述条件的不同数列共有15个,则a的值为(　　)A.1　　　B.3　　　C.5　　　D.7答案　B6.(2019福建福州一模,10)已知数列{an}满足a1=1,an+1=,则a8=(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.答案　A7.(2020届浙江丽水四校联考,7)数列{an}满足a1=,an+1=-an+1(n∈N*),则m=++…+的整数部分是(　　)A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4答案　B二、多项选择题(每题5分,共10分)8.(改编题)数列{an}的前n项和为Sn.若a1=1,an+1=3Sn(n∈N*),则有(　　)A.Sn=4n-1　　　　　B.{Sn}为等比数列C.an=3×4n-1　　　　　D.an=答案　ABD9.(改编题)已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,数列{bn}满足bn=2log2an+1.记Sn=b1+b2+…+bn,若对任意n∈N*,都有≤成立,则正整数k的值为(　　)A.5　　　B.4　　　C.2　　　D.3答案　CD三、填空题(每题5分,共10分)10.(2019届皖中名校联盟高三10月联考,14)已知数列{an}满足:an=1-,且a1=2,则a2 019=　　　　. 答案　11.(2019河南开封一模,16)已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn.满足a1=2,3Sn=(n+m)an(m∈R),且anbn=n,若存在n∈N*,使得λ+Tn≥T2n成立,则实数λ的最小值为　　　　. 答案　四、解答题(共25分)12.(2018山东六校联考,17)已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=an.(1)求a2,a3;(2)求{an}的通项公式.解析　(1)由S2=a2得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3.由S3=a3得3(a1+a2+a3)=5a3,解得a3=(a1+a2)=6.(2)由题设知,当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=an-an-1,整理得=,因此··…··=··…··,化简得an=·a1=,当n=1时,a1=1满足上式,所以{an}的通项公式为an=(n∈N*).13.(2019 5·3原创题)已知二次函数f(x)=x2-ax+a(a>0,x∈R)有且只有一个零点,数列{an}的前n项和Sn=f(n)(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设cn=1-(n∈N*),定义所有满足cm·cm+1<0的正整数m的个数,称为这个数列{cn}的变号数,求数列{cn}的变号数.解析　(1)依题意,知Δ=a2-4a=0,所以a=0或a=4.又由a>0得a=4,所以f(x)=x2-4x+4.所以Sn=n2-4n+4.当n=1时,a1=S1=1-4+4=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-5.所以an=(2)由题意得cn=由cn=1-(n≥2)可知,当n≥5时,恒有cn>0.又c1=-3,c2=5,c3=-3,c4=-,c5=,c6=,所以c1·c2<0,c2·c3<0,c4·c5<0,所以数列{cn}的变号数为3.