高中数学人教版新课标A选修4-5第三讲 柯西不等式与排序不等式一 二维形式的柯西不等式测试题

柯西不等式与排序不等式

一　二维形式的柯西不等式

课后篇巩固探究

1.若a2+b2=2,则a+b的最大值为(　　)

A.1 B. C.2 D.4

解析由柯西不等式可得(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2,即(a+b)2≤4,所以-2≤a+b≤2(当且仅当a=1,b=1或a=-1,b=-1时,等号成立),即a+b的最大值为2.

答案C

2.已知=2,x,y>0,则x+y的最小值是(　　)

A. B. C. D.5

解析由=2,

可得x+y=

≥(2+3)2=.

当且仅当,即x=5,y=时等号成立.

答案A

3.已知3x+2y=1,则当x2+y2取最小值时,实数x,y的值为(　　)

A. B.

C. D.

解析因为x2+y2=(x2+y2)(32+22)≥(3x+2y)2=,所以当x2+y2有最小值,当且仅当时,等号成立,得

答案A

4.函数y=+2的最大值是(　　)

A. B. C.3 D.5

解析根据柯西不等式,知y=1×+2×,当且仅当=2,即x=时,等号成立.

答案B

5.已知m2+n2=,则m+2n的最大值为(　　)

A. B. C. D.6

解析由柯西不等式可得(m2+n2)[()2+22]≥(m+2n)2,即×6≥(m+2n)2,则m+2n≤,故m+2n的最大值为.

答案B

6.导学号26394051若长方形ABCD是半径为R的圆的内接长方形,则长方形ABCD周长的最大值为(　　)

A.2R B.2R C.4R D.4R

解析如图,设圆内接长方形ABCD的长为x,则宽为,于是ABCD的周长l=2(x+)=2(1×x+1×).

由柯西不等式得l≤2[x2+()2(12+12=2×2R×=4R,当且仅当x·1=·1,即x=R时,等号成立.

此时R,即四边形ABCD为正方形,故周长为最大的内接长方形是正方形,其周长为4R.

答案D

7.若3x+4y=2,则x2+y2的最小值为　　　　　. 

解析由柯西不等式(x2+y2)(32+42)≥(3x+4y)2,

得25(x2+y2)≥4,

所以x2+y2≥.

解方程组

因此,当x=,y=时,x2+y2取得最小值,最小值为.

答案

8.设a,b,c,d,m,n都是正实数,P=,Q=,则P与Q的大小关系是　　　　. 

解析P=

≤

==Q当且仅当时,等号成立.

答案P≤Q

9.已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为　　　　　. 

解析由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,可得(am+bn)(bm+an)≥()2=mn(a+b)2=2,即(am+bn)(bm+an)的最小值为2.

答案2

10.函数y=的最大值为　　　　　. 

解析∵y=,

∴y=1×

≤当且仅当,即x=时等号成立.

答案

11.已知a,b∈R+,且a+b=1,则的最小值是　　　　　. 

解析因为a,b∈R+,且a+b=1,所以=(a+b)·,由柯西不等式得(a+b),当且仅当,且a+b=1,即a=-1,b=2-时,取最小值.

答案

12.已知a,b,c为正数,且满足acos2θ+bsin2θ<c,求证cos2θ+sin2θ<.

证明由柯西不等式得cos2θ+sin2θ

≤

=,

故不等式成立.

13.设a,b∈R+,且a+b=2.求证≥2.

证明由柯西不等式,有

[(2-a)+(2-b)]

=[()2+()2]

≥

=(a+b)2=4.

则

=2.

故原不等式成立.

14.导学号26394052已知x2+y2=2,且|x|≠|y|,求的最小值.

解令u=x+y,v=x-y,则x=,y=.

∵x2+y2=2,∴(u+v)2+(u-v)2=8,

∴u2+v2=4.

由柯西不等式,得(u2+v2)≥4,

当且仅当u2=v2=2,即x=±,y=0,或x=0,y=±时,的最小值是1.

15.导学号26394053求函数y=的最小值.

解y=,

根据柯西不等式,有y2=(x-1)2+2+(3-x)2+5+2

≥(x-1)2+2+(3-x)2+5+2[(x-1)(3-x)+]=[(x-1)+(3-x)]2+()2=11+2.

当且仅当(x-1)=(3-x),即x=时,等号成立.

此时ymin=+1.