数学二 一般形式的柯西不等式练习

二　一般形式的柯西不等式

课后篇巩固探究

A组

1.已知a,b,c均大于0,A=,B=,则A,B的大小关系是(　　)

A.A>B B.A≥B

C.A<B D.A≤B

解析因为(12+12+12)·(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,

所以,当且仅当a=b=c时,等号成立.

又a,b,c均大于0,所以a+b+c>0,

所以.

答案B

2.若x2+y2+z2=1,则x+y+z的最大值等于(　　)

A.2 B.4

C. D.8

解析由柯西不等式,可得[12+12+()2](x2+y2+z2)≥(x+y+z)2,即(x+y+z)2≤4,因此x+y+z≤2当且仅当x=y=,即x=,y=,z=时,等号成立,即x+y+z的最大值等于2.

答案A

3.已知+…+=1,+…+=1,则a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是(　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

解析∵(a1x1+a2x2+…+anxn)2≤(+…+)×(+…+)=1×1=1,∴a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是1.

答案A

4.设a,b,c均为正数且a+b+c=9,则的最小值为(　　)

A.81 B.49

C.9 D.7

解析由柯西不等式,可得(a+b+c)··81=9,当且仅当,即a=2,b=3,c=4时,等号成立,故所求最小值为9.

答案C

5.已知x,y是实数,则x2+y2+(1-x-y)2的最小值是 (　　)

A. B. C.6 D.3

解析由柯西不等式,得

(12+12+12)[x2+y2+(1-x-y)2]

≥[x+y+(1-x-y)]2=1,

即x2+y2+(1-x-y)2≥,

当且仅当x=y=1-x-y,即x=y=时,x2+y2+(1-x-y)2取得最小值.

答案B

6.已知a,b,c>0,且a+b+c=1,则的最大值为　　　　. 

解析由柯西不等式,得()2

=(1×+1×+1×)2

≤(12+12+12)(4a+1+4b+1+4c+1)

=3[4(a+b+c)+3]=21.

当且仅当a=b=c=时,取等号.

故的最大值为.

答案

7.设a,b,c是正实数,且a+b+c=9,则的最小值为　　　　　. 

解析因为(a+b+c)

=[()2+()2+()2]

=18,

所以≥2当且仅当,即a=b=c=3时,等号成立,故的最小值为2.

答案2

8.设a,b,c,x,y,z都是正数,且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,则=　　　　　. 

解析由柯西不等式知25×36=(a2+b2+c2)·(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=302=25×36,当且仅当=k时,等号成立.

由k2(x2+y2+z2)2=25×36,解得k=,

所以=k=.

答案

9.已知a+b+c=1,且a,b,c是正数,求证≥9.

证明左边=[2(a+b+c)]=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]≥(1+1+1)2=9.当且仅当a=b=c=时,等号成立,故原不等式成立.

10.已知x,y,z∈R,且x-2y-3z=4,求x2+y2+z2的最小值.

解由柯西不等式,得[x+(-2)y+(-3)z]2≤[12+(-2)2+(-3)2](x2+y2+z2),即(x-2y-3z)2≤14(x2+y2+z2),所以16≤14(x2+y2+z2).

因此x2+y2+z2≥,当且仅当x=,即当x=,y=-,z=-时,x2+y2+z2的最小值为.

B组

1.已知x2+y2+z2=1,则x+2y+2z的最大值为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析由柯西不等式,得

(x+2y+2z)2≤(12+22+22)(x2+y2+z2)=9,

所以-3≤x+2y+2z≤3.

当且仅当|x|=时,等号成立.

所以x+2y+2z的最大值为3.

答案C

2.导学号26394054已知a,b,c为正实数,且a+2b+3c=9,则的最大值等于(　　)

A. B.

C.13 D.18

解析当且仅当时,等号成立,故最大值为.

答案A

3.设a,b,c为正数,则(a+b+c)的最小值是　　　　. 

解析(a+b+c)

=[()2+()2+()2]·

≥=(2+3+6)2=121.

当且仅当时,等号成立.

答案121

4.设x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为　　　　. 

解析2x+2y+z+8=0⇒2(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9.

考虑以下两组向量:u=(2,2,1),v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(u·v)2≤|u|2·|v|2,即[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2≤(22+22+12)·[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2].所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥=9,当且仅当x=-1,y=-4,z=2时,等号成立,此时取得最小值9.

答案9

5.导学号26394055已知x1,x2,x3,x4为实数,且x1+x2+x3+x4=6,=12,求证0≤xi≤3(i=1,2,3,4).

证明由柯西不等式,得

(x2+x3+x4)2≤(1+1+1)(),

由题设条件,得

x2+x3+x4=6-x1,=12-,

代入上式,得(6-x1)2≤3(12-),

∴36-12x1+≤36-3,

∴4-12x1≤0,∴0≤x1≤3,

同理可证0≤xi≤3(i=2,3,4).

综上所述,0≤xi≤3(i=1,2,3,4).

6.导学号26394056设实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8,且a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定e的最大值.

解由已知,得a+b+c+d=8-e,a2+b2+c2+d2=16-e2,所以(8-e)2=(a+b+c+d)2≤(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)=4(16-e2),化简,得5e2-16e≤0⇒0≤e≤,故emax=.