高中数学人教版新课标A选修4-5第三讲 柯西不等式与排序不等式综合与测试课堂检测

第三讲测评

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.下列不等式中一定成立的是(　　)

A.(ax+by)2≥(a2+b2)(x2+y2)

B.|ax+by|≥

C.(a2+b2)(x2+y2)≥(ay+bx)2

D.(a2+b2)(x2+y2)≥(ab+xy)2

解析由柯西不等式可知,只有C项正确.

答案C

2.设xy>0,则的最小值为(　　)

A.-9 B.9 C.10 D.0

解析=9.

答案B

3.设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则和S=a1bn+a2bn-1+…+anb1,T=a1c1+a2c2+…+ancn,K=a1b1+a2b2+…+anbn的关系是(　　)

A.S≤T≤K B.K≤T≤S

C.T≤K≤S D.K≤S≤T

解析根据排序不等式知反序和≤乱序和≤顺序和,则S≤T≤K.

答案A

4.若3x+2y+z=,则x2+y2+z2的最小值是(　　)

A. B. C. D.2

解析由柯西不等式可得(32+22+12)(x2+y2+z2)≥(3x+2y+z)2,即14(x2+y2+z2)≥()2=7,于是x2+y2+z2≥,当且仅当=z,即x=,y=,z=时,等号成立,故x2+y2+z2的最小值是.

答案A

5.用柯西不等式求函数y=的最大值为(　　)

A. B.3 C.4 D.5

解析由柯西不等式,得函数y==4,

当且仅当时,等号成立,

故函数y的最大值为4.故选C.

答案C

6.已知=1(a>b>0),设A=a2+b2,B=(x+y)2,则A,B间的大小关系为(　　)

A.A<B B.A>B C.A≤B D.A≥B

解析A=a2+b2=1·(a2+b2)=(a2+b2)≥=(x+y)2=B,即A≥B,当且仅当时,等号成立.

答案D

7.已知a>0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则M与N的大小关系是(　　)

A.M≥N B.M>N C.M≤N D.M<N

解析取两组数:a,a+1,a+2与a2,(a+1)2,(a+2)2,显然a3+(a+1)3+(a+2)3是顺序和.

而a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2是乱序和,由排序不等式易知此题中,M>N.

答案B

8.已知x,y,z是正实数,且=1,则x+的最小值是(　　)

A.5 B.6 C.8 D.9

解析由柯西不等式可得

x+

≥=9,

当且仅当x=3,y=6,z=9时,等号成立,故x+的最小值是9.

答案D

9.已知a,b是给定的正数,则的最小值为(　　)

A.2a2+b2 B.2ab C.(2a+b)2 D.4ab

解析=(sin2α+cos2α)

≥=(2a+b)2,

当且仅当sinα=cosα时,等号成立.

故的最小值为(2a+b)2.

答案C

10.已知正数x,y,z满足x+2y+3z=1,则的最小值为(　　)

A.1 B.9 C.36 D.18

解析由柯西不等式可得(x+2y+2y+3z+3z+x)·≥(1+2+3)2,

∵x+2y+3z=1,

∴2≥36,

∴≥18,

∴当且仅当x+2y=,即x=,y=0,z=时,的最小值为18.

答案D

11.在锐角三角形ABC中,设p=,q=acos C+bcos B+ccos A,则p,q的大小关系是(　　)

A.p≥q B.p=q

C.p≤q D.无法确定

解析不妨设A≥B≥C,则a≥b≥c,cosA≤cosB≤cosC.

则由排序不等式可得q=acosC+bcosB+ccosA≥acosB+bcosC+ccosA, ①

acosC+bcosB+ccosA≥acosC+bcosA+ccosB, ②

由①+②得2(acosC+bcosB+ccosA)≥acosB+bcosA+bcosC+ccosB+ccosA+acosC,

即2(acosC+bcosB+ccosA)≥2R(sinAcosB+cosAsinB)+2R(sinBcosC+cosBsinC)+2R(sinCcosA+cosCsinA),

整理,得acosC+bcosB+ccosA≥R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(C+A)]

=R(sinA+sinB+sinC)

==p.

答案C

12.导学号26394060设P为△ABC内一点,D,E,F分别为P到BC,CA,AB所引垂线的垂足,如图.若△ABC的周长为l,面积为S,则的最小值为(　　)

A. B. C. D.

解析设AB=a1,AC=a2,BC=a3,PF=b1,PE=b2,PD=b3,则a1b1+a2b2+a3b3=2S.

∵(a3b3+a2b2+a1b1)≥=(a3+a2+a1)2=l2,∴,当且仅当b1=b2=b3,即PE=PF=PD时,等号成立.

答案A

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.若=2,=3,则x1y1+x2y2+x3y3的最大值为　　　　　. 

解析由柯西不等式可得()()≥(x1y1+x2y2+x3y3)2,即(x1y1+x2y2+x3y3)2≤6,所以x1y1+x2y2+x3y3≤,故x1y1+x2y2+x3y3的最大值为.

答案

14.若a,b,c>0,则　　　　　a+b+c. 

解析不妨设a≥b≥c>0,则ab≥ac≥bc>0,>0,则由排序不等式可得≥ab·+ac·+bc·=a+b+c(当且仅当a=b=c时,等号成立).

答案≥

15.设正实数a1,a2,…,a100的任意一个排列为b1,b2,…,b100,则+…+的最小值为　　　　　. 

解析不妨设0<a1≤a2≤…≤a100,则0<≤…≤,由排序不等式可得+…+≥a1·+a2·+…+a100·=100,即+…+的最小值为100.

答案100

16.边长为a,b,c的三角形,其面积为,外接圆半径为1,若s=,t=,则s与t的大小关系是　　　　　　　　. 

解析三角形的面积S=,

即abc=1,所以t=ab+bc+ca,

t2=(ab+bc+ca)

≥()2=s2,

又a,b,c>0,所以s≤t.

答案s≤t

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(本小题满分10分)已知a>0,b>0,a+b=1,求证≤2.

证明由柯西不等式可得()2=(·1+·1)2≤[()2+()2](12+12),

因此()2≤2(2a+2b+2)=8,

故≤2当且仅当a=b=时,等号成立.

18.(本小题满分12分)已知a,b,c都是非零实数,求证≥a2+b2+c2.

证明由柯西不等式可得(b2+c2+a2)

=(b2+c2+a2)

≥=(a2+b2+c2)2,

又因为a2+b2+c2>0,

所以≥a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时,等号成立).

19.(本小题满分12分)设x2+4y2=1,求u=2x+y的最值以及取得最值时,实数x,y的值.

解u=2x+y=2·x+·2y.

由柯西不等式可得[x2+(2y)2]

≥,

即(2x+y)2≤×1,

所以u2≤,故-≤u≤,当且仅当4y=x,且x2+4y2=1时,等号成立,解得x=±,y=±.

所以u的最大值是,此时x=,y=;

u的最小值是-,此时x=-,y=-.

20.(本小题满分12分)设a,b,c∈(0,+∞),利用排序不等式证明a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b.

证明不妨设a≥b≥c>0,则lga≥lgb≥lgc,

由排序不等式可得alga+blgb+clgc≥blga+clgb+algc,alga+blgb+clgc≥clga+algb+blgc,

以上两式相加可得2alga+2blgb+2clgc≥(b+c)lga+(a+c)lgb+(a+b)lgc,

即lga2a+lgb2b+lgc2c≥lgab+c+lgba+c+lgca+b,lg(a2a·b2b·c2c)≥lg(ab+c·ba+c·ca+b),

故a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b(当且仅当a=b=c时,等号成立).

21.导学号26394061(本小题满分12分)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.

(1)求a+b+c的值;

(2)求a2+b2+c2的最小值.

解(1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c

≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,

当且仅当-a≤x≤b时,等号成立.

又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,

所以f(x)的最小值为a+b+c.

又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.

(2)由(1)知a+b+c=4,

由柯西不等式,得(4+9+1)

≥=(a+b+c)2=16,

即a2+b2+c2≥.

当且仅当,即a=,b=,c=时等号成立.故a2+b2+c2的最小值为.

22.导学号26394062(本小题满分12分)

如图,等腰直角三角形AOB的直角边长为1,在此三角形中任取点P,过P分别引三边的平行线,与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分),求这三个三角形的面积和的最小值,以及达到最小值时P的位置.

解分别取OA,OB所在的直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.

则AB的方程为x+y=1,记点P坐标为P(xP,yP),

则以P为公共顶点的三个三角形的面积和S=(1-xP-yP)2,

所以2S=+(1-xP-yP)2.

由柯西不等式,得[+(1-xP-yP)2](12+12+12)≥(xP+yP+1-xP-yP)2,

即6S≥1,所以S≥,当且仅当,即xP=yP=时,等号成立.

故当xP=yP=时,面积和S最小,且最小值为,

此时点P坐标为.