2021高考数学一轮复习统考第4章三角函数解三角形第5讲简单的三角恒等变换课时作业含解析北师大版 练习

简单的三角恒等变换课时作业1．(2019·福建宁德第二次质检)cos31°cos1°＋sin149°sin1°＝(　　)A．－   B．  C．－   D．答案　B解析　cos31°cos1°＋sin149°sin1°＝cos31°cos1°＋sin31°·sin1°＝cos(31°－1°)＝cos30°＝，故选B.2．(2019·西藏山南二中一模)函数y＝cos2－sin2的最小正周期为(　　)A．2π   B．π  C.   D．答案　B解析　∵y＝cos2－sin2＝cos＝－sin2x，∴函数的最小正周期为＝π.3．(2020·湖南师大附中模拟)若cos＝－，则cos2θ的值为(　　)A.   B．  C．±   D．答案　A解析　因为cos＝－，所以sinθ＝，所以cos2θ＝1－2sin2θ＝.故选A.4．(2019·安徽蚌埠三检)函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1的图象的对称轴方程可能为(　　)A．x＝   B．x＝C．x＝   D．x＝－答案　A解析　f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝sin，令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，故选A.5．设a＝(π＋1)0，b＝cos，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)A．b<c<a   B．c<a<bC．c<b<a   D．a<b<c答案　C解析　因为a＝(π＋1)0＝1，b＝cos＝cos1∈(0,1)，c＝＝tan＝－<0，所以c<b<a.6．(2019·山西省名校联考)若cos＝－，则cos＋cosα＝(　　)A．－   B．±  C．－1   D．±1答案　C解析　由cos＋cosα＝cosα＋sinα＋cosα＝cos＝－1，故选C.7．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanAtanB，则C等于(　　)A.   B．  C.   D．答案　A解析　由已知得tanA＋tanB＝－(1－tanAtanB)，∴＝－，即tan(A＋B)＝－.又tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，0＜C＜π，∴C＝.8．(2019·广东揭阳学业水平考试)已知在区间[0，π]上，函数y＝3sin与函数y＝的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为P′，P′的横坐标为x0，则tanx0的值为(　　)A.   B．  C.   D．答案　B解析　依题意得3sin＝＝sin＋cos，即2sin＝cos，则tan＝，所以tanx0＝＝.故选B.9．(2019·陕西榆林模拟一)若α，β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝(　　)A.   B．C.或   D．或答案　A解析　因为α，β都是锐角，且cosα＝<，所以<α<，sinα＝＝，又sin(α＋β)＝<sinα，所以<α＋β<π，所以cos(α＋β)＝－＝－，所以cosβ＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝，故选A.10．(2019·江西赣州3月摸底)将函数y＝2sin－cos的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)A．在上递增  B．在上递减C．在上递增  D．在上递减答案　C解析　y＝2sin－cos，＝2－coscos2x＋sinsin2x＝cos2x－sin2x－cos2x＋sin2x＝cos2x－sin2x＝cos，把y＝cos的图象向右平移个单位长度得到f(x)＝cos2＋＝cos的图象，因为函数f(x)＝cos的单调递增区间为－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，所以当－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)时，f(x)是增函数，因为在函数f(x)的单调递增区间内，所以函数f(x)在上为增函数，故选C.11．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝，则|a－b|＝(　　)A.        B．       C.       D．1答案　B解析　根据题中所给条件，可知O，A，B三点共线，从而得到b＝2a，因为cos2α＝2cos2α－1＝2·2－1＝，解得a2＝，即|a|＝，所以|a－b|＝|a－2a|＝.故选B.12．(2019·黑龙江哈三中二模)在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝(　　)A．4   B．  C．2   D．答案　D解析　由＝tan，得＝tan，令＝tanα，∴＝tan⇒tan＝tan⇒＋α＝kπ＋(k∈Z)⇒α＝kπ＋(k∈Z)⇒tanα＝tan＝tan＝(k∈Z)，∴＝，故选D.13．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan＝，则tanα＝________.答案　解析　tan＝＝＝，解方程得tanα＝.14．已知sinα＝cos2α，α∈，则tanα＝________.答案　－解析　∵sinα＝1－2sin2α，∴2sin2α＋sinα－1＝0.∴(2sinα－1)(sinα＋1)＝0，∵α∈，∴2sinα－1＝0.∴sinα＝，∴cosα＝－.∴tanα＝－.15．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.答案　－解析　解法一：因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以(1－sinα)2＋(－cosα)2＝1，所以sinα＝，所以cosβ＝，因此sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×－cos2α＝－1＋sin2α＝－1＋＝－.解法二：由(sinα＋cosβ)2＋(cosα＋sinβ)2＝1，得2＋2sin(α＋β)＝1，所以sin(α＋β)＝－.16．(2019·青岛模拟)已知不等式3sincos＋cos2－－m≤0对任意的－≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是________．答案　[，＋∞)解析　依题意得，3sincos＋cos2－－m＝sin＋cos－m＝sin－m≤0在上恒成立，∴m≥sin在上恒成立，由于－≤＋≤，∴－≤sin≤，故m≥.17．(2019·江苏镇江模拟)已知α∈，sinα＝.(1)求sin的值；(2)求cos的值．解　(1)因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－＝－.故sin＝sincosα＋cossinα＝×＋×＝－.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，所以cos＝coscos2α＋sinsin2α＝×＋×＝－.18．(2019·浙江金华十校模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且cos2φ＋cosφ＝0.(1)求ω和f的值；(2)若f＝(0<α<π)，求sinα.解　(1)∵函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为＝π，∴ω＝2.再根据cos2φ＋cosφ＝2cos2φ－1＋cosφ＝0，得cosφ＝－1(舍去)或cosφ＝，∴φ＝，故f(x)＝sin，故f＝sin＝－.(2)∵f＝sin＝<，∴α＋为钝角，故cos＝－＝－，故sinα＝sin＝sincos－cossin＝×＋×＝.19．(2019·重庆南开中学四检)已知函数f(x)＝4coscos－.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)求f(x)在区间上的值域．解　(1)f(x)＝4sinx·－＝4sinx·－＝2sinxcosx＋2sin2x－＝sin2x＋·(1－cos2x)－＝sin2x－cos2x＝2sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)由≤x≤得≤2x－≤，故2sin∈[1，]．20．(2019·辽宁大连二模)已知函数f(x)＝sinωxcosωx－cos2ωx＋(ω>0)，x1，x2是函数f(x)的零点，且|x2－x1|的最小值为.(1)求ω的值；(2)设α，β∈，若f＝，f＝－，求cos(α－β)的值．解　(1)f(x)＝sinωxcosωx－cos2ωx＋＝sin2ωx－＋＝sin2ωx－cos2ωx＝sin，∵|x2－x1|的最小值为，∴＝，即T＝π＝，∴ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝sin，∴f＝sin＝sin＝cosα＝.f＝sin＝sin(β－π)＝－sinβ＝－，∴sinβ＝，又∵α，β∈，∴sinα＝，cosβ＝，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.