2021高考数学一轮复习统考第4章三角函数解三角形第4讲函数y＝Asinωx＋φ的图象及应用课时作业含解析北师大版 练习

函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用课时作业1．(2019·河南周口二模)将函数y＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为(　　)A．y＝sin   B．y＝sinC．y＝sin   D．y＝sin答案　B解析　将函数y＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y＝sin＝sin的图象，再把所得图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y＝sin的图象，故选B. 2．如图所示，函数y＝tan的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积为(　　)A.   B．C．π   D．2π答案　A解析　在y＝tan中，令x＝0可得D(0,1)；令y＝0解得x＝－(k∈Z)，故E，F.所以△DEF的面积为××1＝.3．已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝(　　)A.   B．  C.   D．答案　A解析　由题意得周期T＝2＝2π，∴2π＝，即ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，∴f＝sin＝±1.∵0＜φ＜π，∴＜φ＋＜，∴φ＋＝，∴φ＝.4．(2019·山东青岛模拟)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)A.   B．  C．0   D．－答案　B解析　把函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后，得到的图象的解析式是y＝sin，该函数是偶函数的充要条件是＋φ＝kπ＋，k∈Z，根据选项检验可知φ的一个可能取值为. 5．如图是周期为2π的三角函数y＝f(x) 的图象，那么f(x)可以写成(　　)A．sin(1＋x)B．sin(－1－x)C．sin(x－1)D．sin(1－x)答案　D解析　设y＝sin(x＋φ)，∵点(1,0)为五点法作图的第三点，∴sin(1＋φ)＝0⇒1＋φ＝π，φ＝π－1，∴y＝sin(x＋φ)＝sin(1－x)． 6．如图所示，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(　　)A．y＝sin   B．y＝sinC．y＝sin   D．y＝sin答案　C解析　由题意可得，函数的初相位是，排除B，D.又函数周期是60秒且秒针按顺时针方向旋转，即T＝＝60，所以|ω|＝，所以ω＝－，故y＝sin. 7．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的部分图象如图所示，则ω的值可能为(　　)A．1   B．2C．3   D．4答案　B解析　由图可知<，∴T<，∴ω＝>，把代入函数表达式得2sin＝2，∴ω－＝2kπ＋(k∈Z)，解得ω＝6k＋2(k∈Z)．故选B.8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　)A．f(2)<f(－2)<f(0)   B．f(0)<f(2)<f(－2)C．f(－2)<f(0)<f(2)   D．f(2)<f(0)<f(－2)答案　A解析　由题意知函数在，即上单调递减．f(－2)＝f(π－2)，f(0)＝f，而<π－2<2，且，π－2,2∈，所以f>f(π－2)>f(2)，即f(0)>f(－2)>f(2)．故选A.9．(2019·昆明质检)已知函数f(x)＝sin(0＜ω＜2)满足条件：f＝0，为了得到函数y＝f(x)的图象，可将函数g(x)＝cosωx的图象向右平移m(m＞0)个单位长度，则m的最小值为(　　)A．1   B．  C.   D．答案　A解析　由题意，得sin＝0，即－ω＋＝kπ(k∈Z)，则ω＝－2kπ(k∈Z)，结合0＜ω＜2，得ω＝，所以f(x)＝sin＝cos＝cos，所以只需将函数g(x)＝cosx的图象向右至少平移1个单位长度，即可得到函数y＝f(x)的图象，故选A.10．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　)A．－   B．－  C.   D．答案　A解析　将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，得到f(x)＝sin的图象．再根据所得图象关于原点对称，可得＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝sin，因为x∈，所以2x－∈.当2x－＝－时，f(x)取得最小值，为－.11．(2019·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点；③f(x)在单调递增；④ ω的取值范围是.其中所有正确结论的编号是(　　)A．①④   B．②③  C．①②③   D．①③④答案　D解析　已知f(x)＝sin(ω>0)在[0,2π]有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在[a，b)上，此时f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点，但f(x)在(0,2π)可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；当x∈[0,2π]时，ωx＋∈，由f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋<6π，得ω的取值范围是，所以④正确；当x∈时，<ωx＋<＋<<，所以f(x)在单调递增，所以③正确．故选D.12．将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝(　　)A.   B．  C.   D．答案　D解析　由已知得g(x)＝sin(2x－2φ)，满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设此时y＝f(x)和y＝g(x)分别取得最大值与最小值，又|x1－x2|min＝，令2x1＝，2x2－2φ＝－，此时|x1－x2|＝|－φ|＝，又0＜φ＜，故φ＝.选D.13．(2020·北京海淀模拟)去年某地的月平均气温y(℃)与月份x(月)近似地满足函数y＝a＋bsin(a，b为常数)．若6月份的月平均气温约为22 ℃，12月份的月平均气温约为4 ℃，则该地8月份的月平均气温约为________℃.答案　31解析　将(6,22)，(12,4)代入函数，解得a＝13，b＝－18，所以y＝13－18sin.当x＝8时，y＝13－18sin＝31.14．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.答案　解析　由题图可知ω＝，当x＝2π时，y＝1，∴×2π＋φ＝＋2kπ，k∈Z.∵－π≤φ<π，∴φ＝.15．(2019·厦门模拟)已知x∈(0，π]，关于x的方程2sin＝a有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为________．答案　(，2)解析　令y1＝2sin，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的图象如图所示．若2sin＝a在(0，π]上有两个不同的实数解，则y1与y2的图象应有两个不同的交点，所以<a<2. 16．(2019·临沂模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f＝________.答案　－解析　由题图知＝－＝，∴T＝，即ω＝3，当x＝时，f(x)＝0，即3×＋φ＝2kπ－，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z，取k＝1，则φ＝－，∴f(x)＝Acos.∵f＝－，∴Acos＝－，解得A＝，∴f(x)＝cos，故f＝cos＝－.17．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0,0<φ<π)．(1)求解析式；(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－5，20＋5]之间为最佳营业时间，那么该行业在6～14时，最佳营业时间为多少小时？解　(1)由题图知A＝10，·＝14－6，所以ω＝，所以y＝10sin＋b.①因为ymax＝10＋b＝30，所以b＝20.把t＝6，y＝10代入①得φ＝，所以解析式为y＝10sin＋20，t∈[6,14]．(2)由题意，得20－5≤10sin＋20≤20＋5，即－≤sin≤，所以kπ－≤t＋≤kπ＋，k∈Z.即8k－8≤t≤8k－4，因为t∈[6,14]，所以k＝2，所以8≤t≤12，所以最佳营业时间为12－8＝4小时．18．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)当x∈时，求函数y＝f(x)的最大值和最小值．解　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.又f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，由－≤φ＜得k＝0，所以φ＝－＝－.综上，ω＝2，φ＝－.(2)由(1)知f(x)＝sin，当x∈时，－≤2x－≤，∴当2x－＝，即x＝时，f(x)最大＝；当2x－＝－，即x＝0时，f(x)最小＝－.19．已知某海滨浴场海浪的高度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(h)03691215182124y(m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.(1)根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1.25 m时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内有多长时间可供冲浪者进行运动．解　(1)由题意，知T＝12，所以ω＝＝＝.由t＝0，y＝1.5得A＋b＝1.5；由t＝3，y＝1.0得b＝1.0，所以A＝0.5，所以y＝cost＋1，t∈[0,24]．(2)由题意，知，当y>1.25时才可对冲浪者开放，所以cost＋1>1.25，cost>.所以2kπ－<t<2kπ＋，k∈Z，即12k－2<t<12k＋2，k∈Z.①因为0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，得0≤t<2或10<t<14或22<t≤24.所以有8个小时的时间可供冲浪者进行运动．20．(2019·湖北襄阳模拟)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0π2πx   Asin(ωx＋φ)05 －50 (1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．解　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：ωx＋φ0π2πxAsin(ωx＋φ)050－50且函数表达式为f(x)＝5sin.(2)由(1)知f(x)＝5sin，得g(x)＝5sin.因为函数y＝sinx图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ，k∈Z.由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，令＋－θ＝，k∈Z，解得θ＝－，k∈Z.由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.