2021高考数学一轮复习统考第8章立体几何第4讲直线平面平行的判定及性质课时作业含解析北师大版 练习

直线、平面平行的判定及性质课时作业1．(2019·吉林普通中学模拟)已知α，β表示两个不同的平面，直线m是α内一条直线，则“α∥β ”是“m∥β ”的(　　)A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件答案　A解析　由α∥β，m⊂α，可得m∥β；反过来，由m∥β，m⊂α，不能推出α∥β.综上，“α∥β ”是“m∥β ”的充分不必要条件．2．(2019·四川成都模拟)已知直线a，b和平面α，下列说法中正确的是(　　)A．若a∥α，b⊂α，则a∥bB．若a⊥α，b⊂α，则a⊥bC．若a，b与α所成的角相等，则a∥bD．若a∥α，b∥α，则a∥b答案　B解析　若a∥α，b⊂α，则a∥b或a与b异面，故A错误；利用线面垂直的性质，可知若a⊥α，b⊂α，则a⊥b，故B正确；若a，b与α所成的角相等，则a与b相交、平行或异面，故C错误；由a∥α，b∥α，得a，b之间的位置关系可以是相交、平行或异面，故D错误．3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是(　　)A．平行  B．相交C．异面  D．平行或异面答案　A解析　由长方体的性质，知EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面 EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又EF∥AB，∴GH∥AB.故选A.
4．(2020·厦门摸底)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1.其中推断正确的序号是(　　)A．①③  B．①④ C．②③  D．②④答案　A解析　因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，连接AD1，因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1，因为FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故①正确；连接A1C1，因为E，F分别是A1B1，B1C1的中点，所以EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故②错误；因为F，G分别是B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，所以FG∥平面BC1D1，故③正确；因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A. 5．(2020·临川摸底)如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是(　　)A．垂直B．相交不垂直C．平行D．重合答案　C解析　如图，分别取另三条棱的中点A，B，C，连接AM，MB，BN，NC，CL，LA，将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.6．如图，在多面体ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则(　　)A．BF∥平面ACGDB．CF∥平面ABEDC．BC∥FGD．平面ABED∥平面CGF答案　A解析　如图所示，取DG的中点M，连接AM，FM，则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形，∴DE∥FM，且DE＝FM.∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE，∴AB∥FM，又AB＝DE，∴AB＝FM，∴四边形ABFM是平行四边形，∴BF∥AM，又BF⊄平面ACGD，AM⊂平面ACGD，∴BF∥平面ACGD，故选A.7．(2019·河南省实验中学模拟)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝(　　)A.  B.  C.  D.答案　D解析　如图，连接AC交BE于点G，连接FG，因为PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，所以PA∥FG，所以＝.又因为AD∥BC，E为AD的中点，所以＝＝，所以＝.   8．(2019·昆明模拟)在三棱锥S－ABC 中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为(　　)A.   B. C．45  D．45答案　A解析　如图，取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，则SB∥HD.同理SB∥FE.又因为D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也分别为AS，SC的中点，从而得HF綊AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形．因为AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝·＝.9．(2019·湖南衡阳八中模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则该截面的面积为(　　)A．2  B．2 C．2  D．4答案　C解析　如图所示，易知截面是菱形．分别取棱D1C1，AB的中点E，F，连接A1E，A1F，CF，CE，则菱形A1ECF为符合题意的截面．连接EF，A1C，易知EF＝2，A1C＝2，EF⊥A1C，所以截面的面积S＝EF·A1C＝2.故选C.10．(2019·郑州市高三质量预测)如图，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝4，点E，F，G，H，M分别是边AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中点，动点P在四边形EFGH的内部运动，并且始终有MP∥平面ACC′A′，则动点P的轨迹长度为(　　)A．2  B．2π C．2  D．4答案　D解析　连接MF，FH，MH，因为M，F，H分别为BC，AB，A′B′的中点，所以MF∥平面AA′C′C，FH∥平面AA′C′C，所以平面MFH∥平面AA′C′C，所以M与线段FH上任意一点的连线都平行于平面AA′C′C，所以点P的运动轨迹是线段FH，其长度为4，故选D.11．(2019·沧州七校联考)有以下三种说法，其中正确的是________．①若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线；②若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a不可能与α平行；③若直线a，b满足a∥b，则a平行于经过b的任何平面．答案　①解析　若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线，是真命题，故①正确；若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a可能与α平行，故②错误；若直线a，b满足a∥b，则直线a与直线b可能共面，故③错误．12．(2019·太原模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于体对角线BD1的截面，则截面面积为________cm2.答案　解析　如图所示，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F为AC与BD的交点，所以E为DD1的中点．所以S△ACE＝××＝(cm2)． 13．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.答案　a解析　如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD.∴MN∥PQ.又MN∥AC，∴PQ∥AC.∵AP＝，∴＝＝＝.∴PQ＝AC＝×a＝a. 14.(2019·安徽合肥模拟)如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明　(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点，又M为AB的中点，所以MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的对边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.15．(2019·吉林长春质检)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAB；(2)求四面体N－BCM的体积．      解　(1)证明：由已知，得AM＝AD＝2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN.由N为PC的中点，知TN∥BC，TN＝BC＝2.因为AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)因为PA⊥底面ABCD，N为PC的中点，所以N到底面ABCD的距离为PA＝×4＝2.如图，取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝3，得AE⊥BC，AE＝＝.由AM∥BC，得M到BC的距离为，故S△BCM＝×4×＝2.所以四面体N－BCM的体积V＝S△BCM·＝.16．(2019·四川成都模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．(1)求证：CE∥平面PAD；(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由． 解　(1)证明：如图所示，取PA的中点H，连接EH，DH，因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝AB.又因为AB∥CD，CD＝AB，所以EH∥CD，EH＝CD，所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.又因为DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD.(2)存在．理由：如图所示，取AB的中点F，连接CF，EF，则AF＝AB，因为CD＝AB，所以AF＝CD，又因为AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，所以CF∥AD.因为AD⊂平面PAD，CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD.由(1)知CE∥平面PAD，又因为CE∩CF＝C，CE⊂平面CEF，CF⊂平面CEF，所以平面CEF∥平面PAD.故在线段AB上存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF.17．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．解　(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.(2)如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC.同理可得PO⊥BD.又因为BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD.从而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4.从而KB＝DB＝OB，即K为OB的中点．再由PO∥GK，得GK＝PO.即G是PB的中点，且GH＝BC＝4.由已知可得OB＝4，PO＝＝＝6，所以GK＝3.故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.