2021高考数学一轮复习统考第8章立体几何第3讲空间点直线平面之间的位置关系学案含解析北师大版

第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系
基础知识整合

1．平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内．
公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2．用集合语言描述点、线、面间的关系
(1)点与平面的位置关系：
点A在平面α内记作A∈α，点A不在平面α内记作A∉α.
(2)点与直线的位置关系
点A在直线l上记作A∈l，点A不在直线l上，记作A∉l.
(3)线面的位置关系：直线l在平面α内记作l⊂α，直线l不在平面α内记作l⊄α.
(4)平面α与平面β相交于直线a，记作α∩β＝a.
(5)直线l与平面α相交于点A，记作l∩α＝A.
(6)直线a与直线b相交于点A，记作a∩b＝A.
3．直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类

(2)空间平行线的传递性
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
(3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
(4)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：(0°，90°]．
4．空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系


位置
关系
图形语言
符号语言
公共点
直线与平面
相交

a∩α＝A
1个
平行

a∥α
0个
在平
面内

a⊂α
无数个
平面与平面,




平行个


α∥β
0个
相交


α∩β＝l,
无数个


1．公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
2．异面直线判定的一个方法
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(　　)
A．b⊂α
B．b∥α
C．b⊂α或b∥α
D．b与α相交或b⊂α或b∥α
答案　D
解析　b与α相交或b⊂α或b∥α都可以．
2．(2019·福州质检)已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选A.
3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是(　　)
A．若AC与BD共面，则AD与BC共面
B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC
D．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC
答案　D
解析　A，B，C，D构成的四边形可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立．
4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定(　　)
A．与a，b都相交
B．只能与a，b中的一条相交
C．至少与a，b中的一条相交
D．与a，b都平行
答案　C
解析　由题意易知，c与a，b都可相交，也可只与其中一条相交，故A，B均错误；若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b为异面直线矛盾，D错误．故选C.
5．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．
上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号)．
答案　②③④
解析　由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错误；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错误．故填②③④.
6．(2019·河南南阳模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，VP－OAB恒为定值，且△PDC是正三角形，则直线PD与直线AB所成角的大小是________．
答案　60°
解析　因为VP－OAB为定值，所以S△ABO为定值，即O到线AB的距离为定值．
因为O为CD上的动点，所以CD∥AB.
所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成的角．
因为△PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°.
所以直线PD与直线AB所成的角为60°.

核心考向突破
考向一　平面基本性质的应用
例1　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
证明　(1)如图所示，
连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.
又A1B∥CD1，∴EF∥CD1.
∴E，C，D1，F四点共面．
(2)∵EF∥CD1，EF