2021高考数学一轮复习统考第8章立体几何第3讲空间点直线平面之间的位置关系课时作业含解析北师大版 练习

空间点、直线、平面之间的位置关系课时作业1．(2019·银川模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，n⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是(　　)A．m⊥n  B．m∥nC．m与n相交  D．m与n异面答案　A解析　若β⊥α，m⊥α，则直线m与平面β的位置关系有两种：m⊂β或m∥β.当m⊂β时，又n⊥β，所以m⊥n；当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n.故选A.2．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定答案　D解析　构造如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A，B，C，选D.3．如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D.答案　D解析　连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1或其补角即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，则A1C1＝，A1B＝BC1＝，故cos∠A1BC1＝＝.则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.故选D.4．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　)A．点A  B．点BC．点C但不过点M  D．点C和点M答案　D解析　∵直线AB⊂γ，M∈直线AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．故选D.5．(2019·大连模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)A．相交  B．异面 C．平行  D．垂直答案　A解析　直线A1B与其外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．6．(2019·泉州模拟)设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是(　　)A．存在唯一直线l，使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥αD．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b⊥α答案　C解析　a，b是互不垂直的两条异面直线，把它放入正方体中如图，由图可知A不正确；由l∥a，且l⊥b，可得a⊥b，与题设矛盾，故B不正确；由a⊂α，且b⊥α，可得a⊥b，与题设矛盾，D不正确．故选C.7．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是(　　)答案　C解析　A，B中PQ綊RS，D中直线PQ与RS相交(或RP∥SQ)，即直线PQ与RS共面，均不满足条件；C中的直线PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，即直线PQ与RS是异面直线．故选C.8．(2019·银川模拟)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝12，BC＝3，AA1＝4，N在A1B1上，且B1N＝4，则异面直线BD1与C1N所成角的余弦值为(　　)A.            B.        C.  D．－答案　B解析　补一个与原长方体相同的，并与原长方体有公共面BC1的长方体B1F，如图所示．连接C1E，NE，则C1E∥BD1，于是∠NC1E即为异面直线BD1与C1N所成的角(或其补角)．在△NC1E中，根据已知条件可求C1N＝5，C1E＝13，EN＝＝4.由余弦定理，得cos∠NC1E＝＝－.所以异面直线BD1与C1N所成角的余弦值为.9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论错误的是(　　)A．A1C1∥平面ABCD  B．AC1⊥BDC．AC1与CD成45°角  D．A1C1与B1C成60°角答案　C解析　选项A，B，D显然正确；CD∥C1D1，故∠AC1D1为AC1与CD所成的角，易得tan∠AC1D1＝≠1，C错误．故选C.10．一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中(　　)A．AB∥CDB．AB与CD相交C．AB⊥CDD．AB与CD所成的角为60°答案　D解析　将展开图还原，得如图所示正方体，易知AB与CD是异面直线，且它们所成的角为60°.故选D.11．(2019·天津模拟)如图所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.给出以下说法：①直线MN⊂平面PQR；②点K在直线MN上；③M，N，K，A四点共面．其中说法正确的是________．答案　①②③解析　依题意画出图形，如图所示，则M∈PQ，N∈RQ，K∈RP，从而点M，N，K∈平面PQR.所以直线MN⊂平面PQR，故①正确；同理可得点M，N，K∈平面BCD.从而点M，N，K在平面PQR与平面BCD的交线上，即点K在直线MN上，故②正确；因为A∉直线MN，从而点M，N，K，A四点共面，故③正确．12．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案　②③④解析　将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B，C)－DEF，如图：对于①，G，H分别为DE，BE的中点，则GH∥AD，而AD与EF异面，故GH与EF不平行，故①错误；对于②，假设BD与MN共面，则A，D，E，F四点共面，与ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与MN异面，故②正确；对于③，依题意，得GH∥AD，MN∥AF，∠DAF＝60°，故GH与MN成60°角，故③正确；对于④，连接GF，A点在平面DEF的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，DE⊥AF，而AF∥MN，∴DE与MN垂直，故④正确．综上所述，正确命题的序号是②③④.13．下列如图所示的正方体和正四面体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________(填所有满足条件图形的序号)．答案　①②③解析　易知①③中，PS∥QR，所以四点共面；在②中，构造如图所示的含点P，S，R，Q的正六边形，易知四点共面；在④中，由点P，R，Q确定平面α，由图象观察，知点S在平面α外，因此四点不共面．综上知，故填①②③.14．已知在三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为60°，点M，N分别是BC，AD的中点，则异面直线AB与MN所成的角为________．答案　60°或30°解析　如图，取AC的中点P，连接PM，PN，则PM∥AB，且PM＝AB，PN∥CD，且PN＝CD，所以∠MPN(或其补角)为异面直线AB与CD所成的角，则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.因为PM∥AB，所以∠PMN(或其补角)是异面直线AB与MN所成的角．①当∠MPN＝60°时，因为AB＝CD，所以PM＝PN，则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，即异面直线AB与MN所成的角为60°.②当∠MPN＝120°时，易知△PMN是等腰三角形，所以∠PMN＝30°，即异面直线AB与MN所成的角为30°.综上，异面直线AB与MN所成的角为60°或30°.15．如图，圆柱O1O2的底面圆半径为1，AB是一条母线，BD是⊙O1的直径，C是上底面圆周上一点，∠CBD＝30°，若A，C两点间的距离为，则圆柱O1O2的高为________，异面直线AC与BD所成角的余弦值为________．答案　2　解析　连接CD，则∠BCD＝90°，因为圆柱O1O2的底面圆半径为1，所以BD＝2.因为∠CBD＝30°，所以CD＝1，BC＝，易知AB⊥BC，所以AC＝＝，所以AB＝2，故圆柱O1O2的高为2.连接AO2并延长，设AO2的延长线与下底面圆周交于点E，连接CE，则AE＝2，∠CAE即为异面直线AC与BD所成的角．又CE＝＝，所以cos∠CAE＝＝＝.16．已知在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD的中点．求证：(1)BC与AD是异面直线；(2)EG与FH相交．证明　(1)假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B，C，A，D∈α，所以四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾，所以BC与AD是异面直线．(2)如图，连接EF，FG，GH，EH，EG，FH，则EF∥AC，HG∥AC，因此EF∥HG，同理，EH∥FG，则四边形EFGH为平行四边形．又因为EG，FH是平行四边形EFGH的对角线，则EG与FH相交．17．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解　(1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接B1C，AB1，易知A1D∥B1C，从而∠B1CA(或其补角)就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即AC与A1D所成的角为60°.(2)如图所示，连接BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵AC⊥BD，AC∥A1C1，∴BD⊥A1C1.∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°.18．(2019·邯郸一中模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示．(1)连接BC1，求异面直线AA1与BC1所成角的大小；(2)连接A1C，A1B，求三棱锥C1－BCA1的体积．解　(1)如图，连接AO，并延长与BC交于点D，则D是BC边的中点．∵点O是正△ABC的中心，且A1O⊥平面ABC，∴BC⊥AD，BC⊥A1O.∵AD∩A1O＝O，∴BC⊥平面ADA1.∴BC⊥AA1.又AA1∥CC1，∴异面直线AA1与BC1所成的角为∠BC1C或其补角．∵CC1⊥BC，且侧棱长和底面边长均为2，∴四边形BCC1B1为正方形，∴∠BC1C＝45°，∴异面直线AA1与BC1所成角的大小为45°.(2)∵三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，∴可求得AD＝，AO＝AD＝，A1O＝＝.∴VABC－A1B1C1＝S△ABC·A1O＝2，VA1－B1C1CB＝VABC－A1B1C1－VA1－ABC＝.∴VC1－BCA1＝VA1－BCC1＝VA1－BCC1B1＝.