2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系课时作业含解析北师大版 练习

直线与圆、圆与圆的位置关系
课时作业
1．(2019·重庆模拟)直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
答案　A
解析　圆x2＋y2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，直线mx－y＋2＝0恒过点A(0,2)，而02＋22＝4<9，所以点A在圆的内部，所以直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝9相交．故选A．
2．过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为(　　)
A．3x＋4y－4＝0
B．4x－3y＋4＝0
C．x＝2或4x－3y＋4＝0
D．y＝4或3x＋4y－4＝0
答案　C
解析　当斜率不存在时，x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，则＝1，解得k＝，得切线方程为4x－3y＋4＝0，综上，得切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
3．两圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置关系是(　　)
A．内切 B．外切
C．相交 D．外离
答案　A
解析　由于圆C1的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝36，故圆心为C1(－1,3)，半径为6；圆C2的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故圆心为C2(2，－1)，半径为1.因此，两圆的圆心距|C1C2|＝＝5＝6－1，显然两圆内切．
4．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)
A．21 B．19
C．9 D．－11
答案　C
解析　圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m<25)．从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故选C．
5．(2019·陕西西安联考)直线y－1＝k(x－3)被圆(x－2)2＋(y－2)2＝4所截得的最短弦长等于(　　)
A． B．2
C．2 D．
答案　C
解析　∵直线y－1＝k(x－3)，∴此直线恒过定点P(3,1)，当圆被直线截得的弦最短时，圆心C(2,2)与定点P(3,1)的连线垂直于弦，弦心距为＝，∴所截得的最短弦长为2×＝2，故选C．
6．(2020·华南师大附中模拟)已知圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b对称，则a－b的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，4)
C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)
答案　B
解析　根据圆的一般方程中D2＋E2－4F>0得(－2)2＋62－4×5a>0，解得a<2，由圆关于直线y＝x＋2b对称可知圆心(1，－3)在直线y＝x＋2b上，所以－3＝1＋2b，得b＝－2，故a－b<4.
7．(2019·广西南宁模拟)已知圆C1：x2＋y2－2x－4y－4＝0与圆C2：x2＋y2＋4x－10y＋25＝0相交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为(　　)
A．x＋y－3＝0 B．x－y＋3＝0
C．x＋3y－1＝0 D．3x－y＋1＝0
答案　A
解析　由题设可知线段AB的垂直平分线过两圆的圆心C1(1,2)，C2(－2,5)，又kC1C2＝＝－1，故线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0，故选A．
8．(2019·山西忻州模拟)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)
A．1 B．2
C． D．3
答案　C
解析　设圆心为C，P为直线y＝x＋1上一动点，过P向圆引切线，切点设为N，
所以|PN|min＝()min＝ ，又因为C(3,0)，所以|PC|min＝＝2，所以|PN|min＝.
9．(2019·福州质检)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为(　　)
A．y＝－ B．y＝－
C．y＝－ D．y＝－
答案　B
解析　圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.故选B．
10．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案　C
解析　把x2＋y2＋2x＋4y－3＝0化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径r＝2，圆心到直线的距离为，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于.
11．(2019·黄冈一模)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)．在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　B
解析　设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，因为|2－2|<<2＋2，所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2.选B．
12．(2020·北京朝阳第一次综合练习)已知圆C：(x－2)2＋y2＝2.直线l：y＝kx－2，若直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线l1，l2，使得l1⊥l2，则实数k的取值范围是(　　)
A．[0,2－)∪(2＋，＋∞)
B．[2－，2＋]
C．(－∞，0)
D．[0，＋∞)
答案　D
解析　设P(x，y)，因为两切线l1⊥l2，如图，PA⊥PB，由切线的性质定理和切线长定理，得PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以四边形PACB为正方形，所以PA＝PB＝AC＝BC，则|PC|＝2，则点P的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4，即点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．

直线l：y＝kx－2过定点(0，－2)，直线方程即kx－y－2＝0，只要直线与P点的轨迹(圆)有交点即可，即d＝≤2，解得k≥0，即实数k的取值范围是[0，＋∞)．故选D．
13．(2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.
答案　－2　
解析　根据题意画出图形，如图，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0,3)，则AB＝

＝2，
AC＝＝，
BC＝|m－3|.
∵直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A，
∴∠BAC＝90°，∴AB2＋AC2＝BC2.
即20＋4＋(m＋1)2＝(m－3)2，解得m＝－2.
因此r＝AC＝＝.
14．(2019·广州一模)直线x－y＝0截圆(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所对的圆心角是________．
答案　
解析　画出图形，如图，圆心C(2,0)到直线的距离为

d＝＝1，
∴sin∠AOC＝＝，
∴∠AOC＝，∴∠CAO＝，
∴∠ACO＝π－－＝.
15．(2019·河北唐山模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆O的方程为x2＋y2＝4，直线l的方程为y＝k(x＋2)，若在圆O上至少存在三个点到直线l的距离为1，则实数k的取值范围是________．
答案　
解析　根据直线与圆的位置关系可知，若圆O：x2＋y2＝4上至少存在三个点到直线l：y＝k(x＋2)的距离为1，则圆心(0,0)到直线l的距离d应满足d≤1，即≤1，解得k2≤，即－≤k≤.
16．(2019·江西名校联考)阿波罗尼斯(约公元前262～190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是________．
答案　2
解析　以经过点A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)．设P(x，y)，∵＝，∴＝，即x2＋y2－6x＋1＝0，则(x－3)2＋y2＝8，
当点P到AB(x轴)的距离最大时，△PAB的面积最大，此时面积为×2×2＝2.
17.(2019·山西模拟)已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26,1)，Q(2,1)，且|MP|＝5|MQ|.
(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记(1)中轨迹为C，过点N(－2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程.
解　(1)由题意，得＝5，
即＝5，
化简得x2＋y2－2x－2y－23＝0，所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25.
轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆.
(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，
此时所截得的线段的长为2×＝8.
所以l：x＝－2符合题意.
当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，圆心到l的距离d＝，
由题意，得2＋42＝52，解得k＝.
所以直线l的方程为x－y＋＝0，
即5x－12y＋46＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或5x－12y＋46＝0.
18．已知圆C：x2＋(y－a)2＝4，点A(1,0)．
(1)当过点A的圆C的切线存在时，求实数a的取值范围；
(2)设AM，AN为圆C的两条切线，M，N为切点，当|MN|＝时，求MN所在直线的方程．
解　(1)过点A的切线存在，即点A在圆外或圆上，
∴1＋a2≥4，∴a≥或a≤－，即实数a的取值范围为(－∞，－]∪[，＋∞)．
(2)设MN与AC交于点D，O为坐标原点．
易知MN⊥CD，且D为MN的中点．
∵|MN|＝，∴|DM|＝.
又|MC|＝2，
∴|CD|＝＝＝，
∴cos∠MCA＝＝＝，
∵cos∠MCA＝，
∴|AC|＝＝＝，
∴|OC|＝2，|AM|＝1，
∴MN是以点A为圆心，1为半径的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x－1)2＋y2＝1，
圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4或x2＋(y＋2)2＝4，
∴MN所在直线的方程为(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，或(x－1)2＋y2－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，
即x－2y＝0或x＋2y＝0，因此MN所在直线的方程为x－2y＝0或x＋2y＝0.
19．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求切线的方程；
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|取得最小值时点P的坐标．
解　(1)圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，圆心为(－1,2)，半径为，易知切线斜率存在．
由圆C的切线在两坐标轴上的截距相等，可分两种情况．
①当截距不为零时，直线斜率为－1，可设切线的方程为y＝－x＋b，即x＋y－b＝0，
由＝，解得b＝－1或b＝3，
故切线的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
②当截距为零时，可设切线的方程为y＝kx，即kx－y＝0，
由＝，解得k＝2＋或k＝2－，
故切线的方程为y＝(2＋)x或y＝(2－)x，
综上可知，切线的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0或y＝(2＋)x或y＝(2－)x.
(2)∵|PM|＝|PO|，
∴|PO|取最小值时，|PM|也取最小值．
∵切线PM与半径CM垂直，
∴|PM|2＝|PC|2－|CM|2，
又|PM|＝|PO|，∴|PC|2－|CM|2＝|PO|2，
∴(x1＋1)2＋(y1－2)2－2＝x＋y，
∴2x1－4y1＋3＝0，
即点P(x1，y1)在直线2x－4y＋3＝0上，
∴|PO|的最小值等于点O到直线2x－4y＋3＝0的距离d，d＝＝.
故|PO|取得最小值时，
|PO|2＝x＋y＝d2＝2＝，
∴解得
∴所求P点坐标为.
20．(2020·华中师大一附中摸底)已知圆O：x2＋y2＝r2(r>0)与直线3x－4y＋15＝0相切．
(1)若直线l：y＝－2x＋5与圆O交于M，N两点，求|MN|；
(2)设圆O与x轴的负半轴的交点为A，过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆O于B，C两点，且k1k2＝－3，试证明直线BC恒过一点，并求出该点的坐标．
解　(1)由题意知，圆心O到直线3x－4y＋15＝0的距离d＝＝3＝r，所以圆O：x2＋y2＝9.
又因为圆心O到直线l：y＝－2x＋5的距离d1＝＝，
所以|MN|＝2＝4.
(2)证明：易知A(－3,0)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则直线AB：y＝k1(x＋3)，
由得(k＋1)x2＋6kx＋9k－9＝0，
所以－3x1＝，即x1＝，
所以B.
由k1k2＝－3得k2＝－，将－代替上面的k1，
同理可得C，
所以kBC＝＝，
从而直线BC：y－＝.
即y＝，
化简得y＝.
所以直线BC恒过一点，该点为.