2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第7讲抛物线课时作业含解析北师大版 练习

抛物线
课时作业
1．抛物线x2＝y的焦点到准线的距离是(　　)
A．2 B．1
C． D．
答案　D
解析　抛物线标准方程x2＝2py(p>0)中p的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又p＝，故选D．
2．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．8
答案　D
解析　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，椭圆＋＝1的焦点坐标为.由题意得＝，解得p＝0(舍去)或p＝8.故选D．
3．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
答案　A
解析　由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1.故选A．
4．(2019·山西太原模拟)抛物线x2＝4y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为(　　)
A．2 B．1
C．2 D．3
答案　A
解析　根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.根据抛物线的定义，得yP＋1＝3，解得yP＝2，代入抛物线方程求得xP＝±2，∴点P到y轴的距离为2.故选A．
5．(2019·湖南师大附中模拟)设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为(　　)
A．x＝－4 B．x＝－3
C．x＝－2 D．x＝－1
答案　A
解析　把y＝0代入2x＋3y－8＝0，得2x－8＝0，解得x＝4，∴抛物线y2＝2px的焦点坐标为(4,0)，∴抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－4.故选A．
6．过抛物线C：x2＝2y的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若抛物线C在点B处的切线斜率为1，则|AF|＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　A
解析　∵x2＝2y，∴y＝，∴y′＝x，∵抛物线C在点B处的切线斜率为1，∴B，∵抛物线x2＝2y的焦点F的坐标为，∴直线l的方程为y＝，
∴|AF|＝|BF|＝1.故选A．
7．(2019·天津高考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C．2 D．
答案　D
解析　由已知易得，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l：x＝－1，所以|OF|＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x，不妨设点A，B，所以|AB|＝＝4|OF|＝4，所以＝2，即b＝2a，所以b2＝4a2.又双曲线方程中c2＝a2＋b2，所以c2＝5a2，所以e＝＝.故选D．
8．过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|PA|＝|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为(　　)
A． B．
C． D．2
答案　A
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为D，E.∵|PA|＝|AB|，∴又得x1＝，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋＝.
9．(2019·安徽合肥检测)已知双曲线－x2＝1的两条渐近线分别与抛物线y2＝2px(p>0)的准线交于A，B两点．O为坐标原点．若△OAB的面积为1，则p的值为(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
答案　B
解析　双曲线的两条渐近线方程为y＝±2x，抛物线的准线方程为x＝－，故A，B两点的坐标为，|AB|＝2p，所以S△OAB＝×2p×＝＝1，解得p＝，故选B．
10．(2020·湖北襄阳测试)已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于N点，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝(　　)
A．2 B．3
C． D．
答案　C
解析　如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝.故选C．

11．如图所示，抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是(　　)

A．4 B．3
C．4 D．8
答案　C
解析　由题意可得F(1,0)，直线AF：y＝(x－1)，代入y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，解得x＝3或x＝.由于点A在x轴上方，所以其坐标为(3,2)．∵|AF|＝|AK|＝3＋1＝4，AF的斜率为，即倾斜角为60°，∴∠KAF＝60°，∴△AKF为等边三角形，∴△AKF的面积为×42＝4.
12．(2019·重庆南开中学第三次教学质量检测)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，A，B在抛物线上，且△ABF的重心坐标为，则＝(　　)
A． B．
C． D．
答案　A
解析　设点A(xA，yA)，B(xB，yB)，由焦点F(1,0)，△ABF的重心坐标为，及重心坐标公式，得＝，＝，即xA＋xB＝，yA＋yB＝1，由抛物线的定义可得|FA|－|FB|＝xA＋1－(xB＋1)＝xA－xB＝，由点在抛物线上可得作差y－y＝4xA－4xB，化简得kAB＝＝＝4，代入弦长公式得
|AB|＝|yA－yB|＝|yA－yB|，
则＝＝＝，故选A．
13．(2019·湖北黄冈质量检测)若抛物线y＝ax2的焦点F的坐标为(0，－1)，则实数a的值为________．
答案　－
解析　因为抛物线y＝ax2，所以x2＝y.由焦点F的坐标为(0，－1)，得＝－1，所以a＝－.
14．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，若|AF|＋|BF|＝5，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
答案　
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由抛物线的定义可得|AF|＋|BF|＝5，即x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝，所以线段AB的中点到y轴的距离为＝.
15．设P为抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，F为抛物线的焦点，定点A(1,3)，且|PA|＋|PF|的最小值为，则此抛物线的方程为________．
答案　y2＝8x
解析　若A(1,3)在抛物线内部，则|PA|＋|PF|的最小值为1＋＝，故2p＝4(－1)，抛物线的方程为y2＝4(－1)x，此时A(1,3)在抛物线外部，不符合题意；若A(1,3)在抛物线外部，则|PA|＋|PF|的最小值为|AF|＝＝，故p＝4，抛物线的方程为y2＝8x，此时A(1,3)在抛物线外部，符合题意．
16．(2020·聊城模拟)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，动点P在抛物线C上，点A(－1,0)，则的最小值为________；当取得最小值时，直线AP的方程为________．
答案　　x＋y＋1＝0或x－y＋1＝0
解析　设点P坐标为(4t2,4t)，∵F(1,0)，A(－1,0)，∴|PF|2＝(4t2－1)2＋16t2＝16t4＋8t2＋1，
|PA|2＝(4t2＋1)2＋16t2＝16t4＋24t2＋1，
∴2＝＝1－
＝1－≥1－
＝1－＝，∵>0，∴的最小值为，
当且仅当16t2＝，即t＝±时，取得最小值，此时点P的坐标为(1,2)或(1，－2)．∴直线AP的方程为y＝±(x＋1)，即x＋y＋1＝0或x－y＋1＝0.
17．(2019·安徽皖南八校联考)过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．
解　(1)抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，焦点为F.
∵当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，
∴1＋＝2，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)∵点M(－2，y0)在抛物线C上，∴y0＝＝1.
又F(0,1)，∴设直线l的方程为y＝kx＋1.
由得x2－4kx－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
＝(x1＋2，y1－1)，＝(x2＋2，y2－1)．
∵MA⊥MB，∴·＝0，
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
∴－4＋8k＋4－4k2＝0.解得k＝2或k＝0.
当k＝0时，l过点M(舍去)，∴k＝2，
∴直线l的方程为y＝2x＋1.
18．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
解　(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为(2,2)或(2，－2)．
∴直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.
(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为线段MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.
由得ky2－2y－4k＝0，可知y1＋y2＝，y1y2＝－4.直线BM，BN的斜率之和为
kBM＋kBN＝＋＝.①
将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得
x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝
＝＝0.
∴kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，
∴∠ABM＝∠ABN.
综上，∠ABM＝∠ABN.
19．(2019·山东烟台一模)已知F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点，当直线与x轴垂直时，|AB|＝4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．
解　(1)因为F，在抛物线方程y2＝2px中，令x＝，得y＝±p.于是当直线与x轴垂直时，|AB|＝2p＝4，解得p＝2.
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)因为抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
设直线AB的方程为y＝x－1，所以M(－1，－2)．
联立消去x得y2－4y－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，y1y2＝－4.
若点P(x0，y0)满足条件，则2kPM＝kPA＋kPB，即
2·＝＋，
因为点P，A，B均在抛物线上，所以x0＝，
x1＝，x2＝，代入化简，得
＝，
将y1＋y2＝4，y1y2＝－4代入，解得y0＝±2.
将y0＝±2代入抛物线方程，可得x0＝1.
于是点P(1，±2)为满足题意的点．
20．(2019·河北衡水4月大联考)已知O为坐标原点，抛物线E：x2＝2py(p>0)与直线l：y＝x＋1交于点A，B两点，且·＝－3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)线段AB的中点为Q，过点Q且斜率为k的直线交抛物线E于C，D两点，若直线OC，OD分别与直线y＝－2交于M，N两点，当|MN|＝时，求斜率k的值．
解　(1)由消去y整理得x2－2px－2p＝0.∵直线l与抛物线交于两点，
∴Δ＝4p2＋8p＝4p(p＋2)>0，
解得p>0或p<－2(舍去)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝－2p，
∴y1y2＝·＝＝＝1，
∵·＝x1x2＋y1y2，∴－2p＋1＝－3，
解得p＝2，符合题意．∴抛物线方程为E：x2＝4y.
(2)由(1)得x2－4x－4＝0，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝－4，
∴y1＋y2＝x1＋1＋x2＋1＝(x1＋x2)＋2＝6，
∴AB的中点Q为(2,3)．
设过点Q(2,3)且斜率为k的直线方程为y－3＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋3，
由消去y整理得x2－4kx＋8k－12＝0，其中Δ＝16k2－4(8k－12)＝16[(k－1)2＋2]>0，故k∈R.设C，D，
则x3＋x4＝4k，x3x4＝8k－12，
直线OC的方程为y＝x，令y＝－2，得x＝－，
∴M，同理得N，
∴|MN|＝＝8
＝8
＝8＝.
解得k＝－3，满足题意．
∴所求斜率k的值为－3.