（山东专用）2021版高考数学一轮复习第八章解析几何第五讲椭圆学案（含解析）

第五讲　椭圆


ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数(大于|F1F2|)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．
注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：
(1)若a＞c，则集合P为__椭圆__；
(2)若a＝c，则集合P为__线段F1F2__；
(3)若a＜c，则集合P为__空集__．
知识点二　椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形


性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴　　　　　对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为__2a__；
短轴B1B2的长为__2b__
焦距
|F1F2|＝__2c__
离心率
e＝　　∈(0,1)
a、b、c
的关系
__c2＝a2－b2__


1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值．
2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝，称为通径．
3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a．
4．e＝．
5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大，椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．
6．AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝|y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－．

题组一　走出误区
1．(多选题)下列结论正确的是(　CD　)
A．平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆
B．椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆
C．方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆
D．＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同
题组二　走进教材
2．(必修2P42T4)椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于(　C　)
A．4 B．8
C．4或8 D．12
[解析]　当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，
10－m－(m－2)＝4，∴m＝4．
当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝8．
∴m＝4或8．
3．(必修2P68A组T3)过点A(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程为(　A　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
题组三　考题再现
4．(2019·湖南郴州二模)已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为2－2，离心率为，则椭圆E的方程为　＋＝1　．
[解析]　∵椭圆上一点到焦点的最小距离为a－c，
∴a－c＝2－2，∵离心率e＝，
∴＝，
解得a＝2，c＝2，则b2＝a2－c2＝4，
∴椭圆E的方程为＋＝1．
5．(2018·课标全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　D　)
A．1－ B．2－
C． D．－1
[解析]　设|PF2|＝x，则|PF1|＝x，|F1F2|＝2x，故2a＝|PF1|＋|PF2|＝(1＋)x,2c＝|F1F2|＝2x，于是离心率e＝＝＝＝－1．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　椭圆的定义及应用——自主练透
例1　(1)(2019·泉州模拟)已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是(　B　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
(2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点．则|PA|＋|PF|的最大值和最小值分别为　6＋，6－　．
(3)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°.若△PF1F2的面积为3，则b＝__3__．
[解析]　(1)如图所示，由题知|PF1|＋|PF2|＝2a，设椭圆方程：＋＝1(其中a>b>0)．连接MO，由三角形的中位线可得：|F1M|＋|MO|＝a(a>|F1O|)，则M的轨迹为以F1、O为焦点的椭圆．

(2)如下图所示，设椭圆右焦点为F1，则|PF|＋|PF1|＝6．

∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6．
由椭圆方程＋＝1知c＝＝2，
∴F1(2,0)，∴|AF1|＝．
利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P、A、F1共线时等号成立)．
∴|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－．
故|PA|＋|PF|的最大值为6＋，最小值为6－．
(3)|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2，
即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，
所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝b2，
又因为S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin60°＝×b2×
＝b2＝3，所以b＝3.故填3．
名师点拨 ☞
(1)椭圆定义的应用范围：
①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．
②解决与焦点有关的距离问题．
(2)焦点三角形的应用：
椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等．
〔变式训练1〕
(1)(2019·大庆模拟)已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B，则△ABM的周长为__8__．
(2)(2020·河北衡水调研)设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为__－5__．
[解析]　(1)直线y＝k(x＋)过定点N(－，0)．而M、N恰为椭圆＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8．
(2)由题意可知F2(3,0)，由椭圆定义可知|PF1|＝2a－|PF2|.∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|＝＝5,2a＝10，∴|PM|－|PF2|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5．
考点二　求椭圆的标准方程——师生共研
例2　求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；
(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)两点；
(4)与椭圆＋＝1有相同离心率，且经过点(2，－)．
[解析]　(1)若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆过点A(3,0)，
∴＝1，∴a＝3.∵2a＝3×2b，
∴b＝1.∴方程为＋y2＝1．
若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)．
∵椭圆过点A(3,0)，∴＝1，∴b＝3．
又2a＝3×2b，∴a＝9.∴方程为＋＝1．
综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1．
(2)由已知，有解得
从而b2＝a2－c2＝9．
∴所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1．
(3)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
∵点P(－2，1)，Q(，－2)在椭圆上，
∴解得m＝，n＝．
故椭圆方程为＋＝1．
(4)若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＋＝t(t>0)，将点(2，－)代入，得t＝＋＝2．
故所求方程为＋＝1．
若焦点在y轴上，设方程为＋＝λ(λ>0)代入点(2，－)，得λ＝，∴所求方程为＋＝1．
综上可知椭圆方程为＋＝1或＋＝1．
名师点拨 ☞
(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．
(2)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：
①作判断：根据条件判断焦点的位置；
②设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠0)；
③找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组；
④求解，得方程．
〔变式训练2〕
(1)“2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2019·广东模拟)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　D　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
考点三　椭圆的几何性质——师生共研
例3　(1)(2019·河南中原名校、大连市、赤峰市联考)已知椭圆y2＋mx2＝1(m>0)的离心率为，则m＝　或　．
(2)(2020·河北省衡水中学调研)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　B　)
A． B．
C． D．
(3)(2019·广东省期末联考)设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是(　D　)
A．(0，] B．(0，]
C．[，1) D．[，1)
[解析]　(1)将椭圆y2＋mx2＝1(m>0)化为标准方程是y2＋＝1，若>1，即01，则椭圆的离心率为e＝＝＝，解得：m＝.故答案为：m＝或m＝．
(2)不妨设直线l：＋＝1，即bx＋cy－bc＝0⇒椭圆中心到l的距离＝⇒e＝＝，故选B．
(3)如图F2H⊥PF1，∴|F1F2|＝|PF2|，由题意可知－c≤2c，∴e2＝≥，即e≥，又0
名师点拨 ☞
椭圆离心率的求解方法
求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
椭圆离心率的范围问题一般借助几何量的取值范围求解，遇直线与椭圆位置关系通常由直线与椭圆方程联立所得方程判别式Δ的符号求解．
〔变式训练3〕
(1)(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　A　)
A． B．
C． D．
(2)(2020·内蒙古呼和浩特市质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点，若∠A1PA2的最大可以取到120°，则椭圆C的离心率为(　D　)
A． B．
C． D．
(3)(2019·贵州贵阳适应性考试)过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点F的直线过C的上顶点B，且与椭圆相交于点A，若＝3，则C的离心率为(　D　)
A． B．
C． D．
[解析]　(1)由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a．
又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，
∴＝，
∴e＝＝＝＝＝.故选A．
(2)当P为短轴端点时∠A1PA2最大，由题意可知＝tan 60°＝，∴＝，∴e＝＝，故选D．
(3)由题意可得B(0，b)，F(－c,0)，
由＝3，得A(－c，－)，
点A在椭圆上，则：＋＝1，
整理可得：·＝，∴e2＝＝，e＝.故选D．
考点四　直线与椭圆——多维探究
角度1　直线与椭圆的位置关系
例4　(多选题)若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的值可能是(　BCD　)
A． B．1
C． D．4
[解析]　解法一：由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，
所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，
则0<≤1且m≠5，
故m≥1且m≠5.故选B、C、D．
解法二：由
消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0．
由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，
即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，
由于m>0且m≠5，∴m≥1且m≠5.故选B、C、D．
角度2　中点弦问题
例5　(2020·湖北省宜昌市调研)过点P(3、1)且倾斜角为的直线与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若＝，则该椭圆的离心率为(　C　)
A． B．
C． D．
[解析]　由题意可知P为AB的中点，且kAB＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减得＝－，∴kAB＝＝－＝－＝－1，即＝，∴e＝＝，故选C．
角度3　弦长问题
例6　(2020·厦门模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点P(－，)，椭圆E的一个焦点为(，0)．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线l过点M(0，)且与椭圆E交于A，B两点，求|AB|的最大值．
[解析]　(1)依题意，设椭圆E的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)．
由椭圆E经过点P(－，)，得|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，
∴a＝2，c＝，∴b2＝a2－c2＝1．
∴椭圆E的方程为＋y2＝1．
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得(1＋4k2)x2＋8kx＋4＝0．
由Δ>0得(8k)2－4(1＋4k2)×4>0，∴4k2>1．
由x1＋x2＝－，x1x2＝
得|AB|＝·
＝2．
设t＝，则0 ∴|AB|＝2＝2≤，当且仅当t＝时等号成立．
当直线l的斜率不存在时，|AB|＝2<．
综上，|AB|的最大值为．
名师点拨 ☞
直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略
(1)直线与椭圆位置关系的判断方法
①联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来判断；②借助几何性质来判断．
(2)求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件寻找满足条件的关于a，b，c的等式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．
(3)关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．
(4)对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解．若直线l与圆锥曲线C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，从而建立中点坐标和斜率的关系．注意答题时不要忽视对判别式的讨论．
〔变式训练4〕
(1)(角度1)直线y＝kx＋k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是__相交__．
(2)(角度2)(2020·广东珠海期末)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，离心率，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB中点为(1,1)，则直线l的斜率为(　D　)
A．2 B．－2
C． D．－
(3)(角度3)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　C　)
A．2 B．
C． D．
[解析]　(1)由于直线y＝kx＋k＋1＝k(x＋1)＋1过定点(－1,1)，而(－1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．
(2)因为＝，∴4c2＝2a2，∴4(a2－b2)＝2a2，∴a2＝2b2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，，相减得b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以2b2(x1－x2)＋2a2(y1－y2)＝0，所以2b2＋4b2＝0，所以1＋2k＝0，∴k＝－，选D．
(3)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝．
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝·，
当t＝0时，|AB|max＝.故选C．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
利用换元法求解与椭圆相关的最值问题
例7　如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为__4__．

[解析]　e2＝＝1－＝1－＝，∴b2＝3，
∴椭圆方程为＋＝1，且F(－1,0)，A(2,0)，设P(2sin θ，cos θ)，则
·＝(－1－2sin θ，－cos θ)·(2－2sin θ，－cos θ)＝sin2θ－2sin θ＋1＝(sin θ－1)2≤4．
当且仅当sin θ＝－1时取等号，
故·的最大值为4．
另解：设P(x，y)，由上述解法知·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝x2＋y2－x－2＝(x－2)2(－2≤x≤2)，显然当x＝－2时，·最大且最大值为4．
名师点拨 ☞
遇椭圆＋＝1(a>b>0)上的点到定点或定直线距离相关的最值问题，一般用三角换元法求解，即令x＝asin θ，y＝bcos θ，将其化为三角最值问题．
〔变式训练5〕
椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是(　D　)
A．3 B．
C．2 D．
[解析]　设椭圆＋＝1上的点P(4cos θ，2sin θ)，则点P到直线x＋2y－＝0的距离为d＝＝，∴dmax＝＝．