（山东专用）2021版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第七讲对数与对数函数学案（含解析）

第七讲　对数与对数函数

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理·双基自测

知识点一　对数与对数运算

1．对数的概念

(1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

(2)几种常见对数

2.对数的性质与运算法则

(1)对数的性质：

①loga1＝0；

②logaa＝1(其中a>0且a≠1).

(2)对数恒等式：

alogaN＝N.(其中a>0且a≠1，N>0)

(3)对数的换底公式：

logbN＝(a，b均大于零且不等于1，N>0)．

(4)对数的运算法则：

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R)．

知识点二　对数函数的图象与性质

1．对数函数的定义、图象和性质

2.反函数

指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

1．指数式与对数式互化

2．换底公式的两个重要结论

①logab＝；

②logambn＝logab.

其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.

3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.

由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

题组一　走出误区

1．(多选题)下列结论不正确的是(　ABC　)

A．2lg 3≠3lg 2

B．若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN

C．y＝log2x2不是对数函数，而y＝log2(－x)是对数函数

D．函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同

[解析]　对于A，设2lg 3＝M,3lg 2＝N，则lg M＝lg 2lg 3＝lg 3lg 2＝lg 3lg 2＝lg N，∴M＝N.对于B，M>0，N>0才正确；对于C，y＝log2(－x)不是对数函数；对于D正确；故选A、B．

题组二　走进教材

2．(必修1P75T11改编)写出下列各式的值：

(1)log2＝－；

(2)log53＋log5＝0；

(3)lg＋2lg2－()－1＝－1；

(4)(log29)·(log34)＝4.

[解析]　(1)log2＝log22＝－；

(2)log53＋log5＝log51＝0；

(3)lg＋2lg2－()－1＝lg＋lg4－()－1＝lg10－2＝－1；

(4)解法一：原式＝·＝＝4.

解法二：原式＝2log23·＝2×2＝4.

3．(必修1P74AT4改编)若lg2＝a，lg3＝b，则lg12的值为(　C　)

A．a  B．b

C．2a＋b  D．2ab

[解析]　因为lg2＝a，lg3＝b，所以lg12＝lg(4×3)＝2lg 2＋lg3＝2a＋b.故选C．

4．(必修1P74AT7改编)函数y＝的定义域是(，1].　

[解析]　log(2x－1)≥0，即0<2x－1≤1，

解得<x≤1，定义域为(，1]．

5．(必修1P75AT10改编)已知图中曲线C1，C2，C3，C4是函数y＝logax的图象，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次为(　B　)

A．3,2，，

B．2,3，，

C．2,3，，

D．3,2，，

[解析]　解法一：因为C1，C2为增函数，可知它们的底数都大于1，又当x>1时，图象越靠近x轴，其底数越大，故C1，C2对应的a值分虽为2,3.又因为C3，C4为减函数，可知它们的底数都小于1，此时x>1时，图象越靠近x轴，其底数越小，所以C3，C4对应的a分别，.综上可得C1，C2，C3，C4的a值依次为2,3，，.

解法二：可以画直线y＝1，看交点的位置自左向右，底数由小到大．

题组三　考题再现

6．(2019·全国卷Ⅰ，5分)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　B　)

A．a<b<c  B．a<c<b

C．c<a<b  D．b<c<a

[解析]　∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a<c<b.故选B．

7．(2017·全国卷Ⅱ，5分)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　D　)

A．(－∞，－2)  B．(－∞，1)

C．(1，＋∞)  D．(4，＋∞)

[解析]　由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一　对数与对数运算——自主练透

例1 (1)＝.

(2)(log32＋log92)·(log43＋log83)＝.

(3)(2020·保定模拟)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝.

(4)若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝12，用m，n表示log46为.

[解析]　(1)原式＝＝＝＝.

(2)原式＝(＋)·(＋)＝(＋)·(＋)＝·＝.

(3)因为2a＝5b＝m，所以a＝log2m，b＝log5m，

所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝.

(4)因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，a2m＋n＝(am)2×an＝22×3＝12，log46＝＝＝.故填12；.

考点二　对数函数的图象与性质

考向1　对数函数的图象及其应用——师生共研

例2 (1)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　B　)

(2)(2020·合肥月考)当0<x≤时，4x<logax(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是(　B　)

A．(0，)  B．(，1)

C．(1，)  D．(，2)

[解析]　(1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B．

(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在(0，]上的图象，可知，f()<g()，即2<loga，则a>，所以a的取值范围为(，1)．

本题还有以下解法：

因为0<x≤，所以1<4x≤2，

所以logax>4x>1，

所以0<a<1，排除选项C，D；取a＝，x＝，

则有4＝2，＝1，显然4x<logax不成立，排除选项A．故选B．

名师点拨 ☞

应用对数型函数的图象可求解的问题

(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

〔变式训练1〕

(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为(　A　)

(2)若不等式x2－logax<0对x∈(0，)恒成立，则实数a的取值范围为[，1).

[解析]　(1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A．

(2)由x2－logax<0

得x2<logax，

设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，

要使x∈(0，)时，不等式x2<logax恒成立，

只需f1(x)＝x2在(0，)上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当a>1时，显然不成立；

当0<a<1时，如图所示，

要使x2<logax在x∈(0，)上恒成立，

需f1()≤f2()，

所以有()2≤loga，解得a≥，所以≤a<1.

即实数a的取值范围是[，1)．

考向2　对数函数的性质及其应用——多维探究

角度1　比较对数值的大小

例3 (2019·天津，5分)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　A　)

A．a<c<b  B．a<b<c

C．b<c<a  D．c<a<b

[解析]　a＝log52<log5＝，而c＝0.50.2>0.51＝，故a<c；b＝log0.50.2>log0.50.25＝2，而c＝0.50.2<0.50＝1，故c<b.所以a<c<b.

角度2　利用对数函数单调性求参数的取值范围

例4 (2020·华南师大附中模拟)已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　D　)

A．(－∞，4]  B．[4，＋∞)

C．[－4,4]  D．(－4,4]

[分析]　函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减，说明在[2，＋∞)上，函数t＝x2－ax＋3a>0成立，且为增函数．

[解析]　函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减⇒函数t＝x2－ax＋3a在[2，＋∞)上单调递增，且t>0⇒⇒－4<a≤4.故选D．

角度3　简单对数不等式的解法

例5 (2020·福建漳州调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)为减函数，则不等式f(log(2x－5))>f(log38)的解集为(　C　)

A．{x|<x<}

B．{x|x>}

C．{x|<x<或x>}

D．{x|x<或<x<}

[解析]　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以可将f( (2x－5))>f(log38)化为| (2x－5)|>|log38|，即log3(2x－5)>log38或log3(2x－5)<－log38＝log3，即2x－5>8或0<2x－5<，解得x>或<x<.故选C．

名师点拨 ☞

1．比较对数式的大小的关系：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需要对底数进行分类讨论；(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．

2．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤

〔变式训练2〕

(1)(角度1)(2020·山东日照一中期中)已知a＝log23，b＝log34，c＝log411，则a，b，c的大小关系为(　B　)

A．b<c<a  B．b<a<c

C．a<b<c  D．a<c<b

(2)(角度2)若函数f(x)＝ (－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(　C　)

A．[，3]  B．[，2]

C．[，2)  D．[，＋∞)

(3)(角度3)(2020·河南信阳质量检测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)内单调递增．若实数a满足f(log4a)＋f(log0.25a)≤2f(1)，则a的取值范围是(　B　)

A．[，2]  B．[，4]

C．[，2]  D．[，4]

[解析]　(1)∵a＝log23，b＝log34，c＝log411，

∴b＝log34<log33＝＝log22<log23＝a<c＝log411＝log2，∴b<a<c.故选B．

(2)由题意得：y＝ (－x2＋4x＋5)增区间为(2,5)，

所以，解得m∈[，2)，故选C．

(3)∵log0.25a＝a＝－log4a且f(x)为偶函数，

∴f(log4a)＋f(log0.25a)≤2f(1)可化为f(log4a)≤f(1)，

又f(x)在[0，＋∞)内单调递增，∴|log4a|≤1，

∴log4＝－1≤log4a≤1≤log44，∴≤a≤4，故选B．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

名师讲坛·素养提升

有关对数运算的创新应用问题

例6 (2019·北京，5分)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　A　)

A．1010.1  B．10.1

C．lg 10.1  D．10－10.1

[解析]　由题意可设太阳的星等为m2，太阳的亮度为E2，天狼星的星等为m1，天狼星的亮度为E1，则由m2－m1＝lg ，得－26.7＋1.45＝lg ，lg ＝－25.25，

∴lg ＝－10.1，lg ＝10.1，＝1010.1.故选A．

名师点拨 ☞

在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化，有助于提升学生的转化能力和数学运算能力．

〔变式训练3〕

　里氏震级M的计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为6级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10_000倍．

[解析]　根据题意，由lg 1 000－lg 0.001＝6得此次地震的震级为6级，因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A9，则lg A9－lg 0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震的最大振幅A6＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．