（山东专用）2021版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第六讲指数与指数函数学案（含解析）

第六讲　指数与指数函数

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理·双基自测

知识点一　指数与指数运算

1．根式

(1)根式的概念

(2)两个重要公式

①＝

②()n＝a(注意a必须使有意义)．

2．分数指数幂

(1)正数的正分数指数幂是a＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．

(2)正数的负分数指数幂是a－＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)．

(3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．

3．有理指数幂的运算性质

(1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q)；

(2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈Q)；

(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．

知识点二　指数函数图象与性质

指数函数的概念、图象和性质

1．画指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象时注意两个关键点：(1，a)，(0,1)．

2．底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”．

3．f(x)＝ax与g(x)＝()x(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称．

题组一　走出误区

1．(多选题)下列结论不正确的是(　ABCD　)

A．＝()n＝a(n∈N*)

B．a－＝－a (n，m∈N*)

C．函数y＝3·2x，与y＝22x都不是指数函数

D．若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n

[解析]　对于A，n为奇数时正确，n为偶数时不一定正确；对于B，不正确，a－＝；对于C，y＝22x＝4x是指数函数；对于D，当a>1时m<n，当0<a<1时m>n.

题组二　走进教材

2．(必修1P59AT2改编)设a>0，将表示成分数指数幂，其结果是(　C　)

A．a  B．a

C．a  D．a

[解析]　由题意得＝a2＝a，故选C．

3．(必修1P60BT2改编)已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于(　B　)

A．5  B．7

C．9  D．11

[解析]　f(2a)＝22a＋2－2a＝(2a＋2－a)2－2＝[f(a)]2－2＝7.故选B．

4．(必修1P82AT10改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P(2，)，则f(－1)＝.

[解析]　a2＝，∴a＝，f(－1)＝()－1＝.

题组三　考题再现

5．(2017·北京，5分)已知函数f(x)＝3x－()x，则f(x)(　A　)

A．是奇函数，且在R上是增函数

B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数

D．是偶函数，且在R上是减函数

[解析]　因为f(x)＝3x－()x，且定义域为R，所以f(－x)＝3－x－()－x＝()x－3x＝－[3x－()x]＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y＝3x在R上是增函数，y＝()x在R上是减函数，所以f(x)＝3x－()x在R上是增函数，故选A．

6．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　A　)

A．b<a<c  B．a<b<c

C．b<c<a  D．c<a<b

[解析]　因为a＝2＝16，b＝4＝16，c＝25，且幂函数y＝x在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b<a<c.

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一　指数与指数运算——自主练透

例1 (1)(多选题)下列命题中不正确的是(　ACD　)

A．＝a

B．a∈R，则(a2－a＋1)0＝1

C．＝x·y

D．＝

(2)(－)＋(0.002) －10(－2)－1＋(－)0＝－.

(3)化简：()·＝.

(4)已知a＋a＝3，求下列各式的值．

①a＋a－1；②a2＋a－2；③.

[解析]　(1)若n是奇数，则＝a；若n是偶数，则＝|a|＝所以A错误；因为a2－a＋1恒不为0，所以(a2－a＋1)0有意义且等于1，所以B正确；不能化简为x·y，所以C错误；因为<0，>0，所以≠，所以D错误．故选A、C、D．

(2)原式＝(－)＋()－＋1＝(－)＋500－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.故填－.

(3)原式＝2×＝21＋3×10－1＝.故填.

(4)①将a＋a＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，所以a＋a－1＝7.

②将a＋a－1＝7两边平方，得a2＋a－2＋2＝49，所以a2＋a－2＝47.

③由①②可得＝＝6.

名师点拨 ☞

指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．

考点二　指数函数图象与性质

考向1　指数函数的图象及应用——师生共研

例2 (1)(2020·秦皇岛模拟)函数f(x)＝21－x的大致图象为(　A　)

(2)(2020·湖北黄冈质检)函数y＝ax(a>0，a≠1)与y＝xb的图象如图，则下列不等式一定成立的是(　D　)

A．ba>0  B．a＋b>0

C．ab>1  D．loga2>b

(3)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是[－1,1].

[分析]　(1)将函数化为f(x)＝2×()x的形式，根据函数的性质及过定点，并结合选项判断；

(2)由图确定a、b的范围求解；

(3)分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，数形结合求解．

[解析]　(1)解法一：函数f(x)＝21－x＝2×()x，单调递减且过点(0,2)，选项A中的图象符合要求．

解法二：(采用平移法)因为函数f(x)＝21－x＝2－(x－1)，所以先画出函数y＝2－x的图象，再将y＝2－x图象的所有点的横坐标向右平移1个单位，只有选项A符合．

(2)由图可知，y＝ax单调递增，则a>1；y＝xb单调递减，则b<0，

A：ba>0不一定成立，如a＝3，b＝－1；

B：a＋b>0不一定成立，如a＝2，b＝－3；

C：ab>1不成立，ab<0时；故选D．

(3)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．

[引申](1)f(x)＝a1－x＋3的图象过定点(1,4).

(2)若将本例(3)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，b的取值范围是(0,1).

(3)若将本例(3)改为：函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是(－∞，0).

[解析]　(1)当x＝1时，y＝4，因此函数y＝a1－x＋3过定点(1,4)．

(2)

曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)．

(3)因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]．

名师点拨 ☞

指数函数图象的画法及应用

(1)画指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，(－1，)．由函数解析式判断其图象一般取特殊点验证，从而作出判断．

(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．

(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．

〔变式训练1〕

 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　D　)

A．a>1，b<0

B．a>1，b>0

C．0<a<1，b>0

D．0<a<1，b<0

(2)(多选题)已知实数a，b满足等式()a＝()b，下列关系式中不可能成立的是(　CD　)

A．0<b<a  B．a<b<0

C．0<a<b   D．b<a<0

(3)若方程3|x|－1＝m有两个不同实根，求m的取值范围．

[解析]　(1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.故选D．

(2)在同一坐标系内，作出函数y＝()x和y＝()x的图象(如图)．

如图：a>b>0时，()a＝()b可能成立．

a<b<0时，()a＝()b可能成立．

0<a<b时，显然()a>()b.

b<a<0时，显然()a<()b.

综上可知：A、B可能成立，C、D不可能成立．故选C、D．

(3)作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得m>0.

考向2　指数函数的性质及其应用——多维探究

角度1　比较指数幂的大小

例3 (1)设a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是(　C　)

A．a>b>c  B．b>c>a

C．c>a>b  D．c>b>a

[解析]　∵函数y＝0.8x在R上是减函数，1>0.9>0.7>0，∴1＝0.80>0.80.7>0.80.9>0.81，即1>a>b.∵函数y＝1.2x在R上是增函数，0.8>0，∴1.20.8>1.20>1，即c>1.综上，c>a>b.故选C．

角度2　利用指数函数的性质求解简单指数方程、不等式

例4 (2020·珠海模拟)若xlog52≥－1，则函数y＝4x－2x＋1－3的最小值为(　A　)

A．－4  B．－3

C．－1  D．0

[解析]　由xlog52≥－1得log52x≥log5，即2x≥，令t＝2x，则有y＝t2－2t－3＝(t－1)2－4，因为t≥，所以当t＝1，即x＝0时，函数取得最小值为－4.故选A．

角度3　与指数函数有关的复合函数问题

例5 若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　B　)

A．(－∞，－2]  B．[2，＋∞)

C．[－2，＋∞)  D．(－∞，－2]

[解析]　由f(1)＝得a2＝，

又a>0，所以a＝，因此f(x)＝()|2x－4|.

∵y＝()t为减函数，∴f(x)的减区间为t＝|2x－4|的递增区间[2，＋∞)，

所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．

名师点拨 ☞

(1)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性．要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．

(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．

(3)解指数方程的方法

①同底法：把方程化为af(x)＝ag(x)的情形，然后得出f(x)＝g(x)．

②化为ax＝b，利用对数定义求解x＝logab.

③把方程化为f(ax)＝0的情形，然后换元，即设ax＝t，然后解方程f(t)＝0，注意只要t>0的解．

(4)解指数不等式的方法

同底法：把方程化为af(x)>ag(x)的情形，根据函数单调性建立f(x)和g(x)的不等式．

〔变式训练2〕

(1)(角度1)下列各式比较大小不正确的是(　D　)

A．1.72.5<1.73  B．0.6－1>0.62

C．0.8－0.1<1.250.2  D．1.70.3<0.93.1

(2)(角度2)(2020·衡阳模拟)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是(　C　)

A．(－2,1)  B．(－4,3)

C．(－1,2)  D．(－3,4)

(3)(角度3)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是(－∞，4].

[解析]　(1)对于A、B显然正确；对于C,0.8－0.1＝1.250.1，显然正确；对于D,1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，∴D不正确，故选D．

(2)原不等式变形为m2－m<()x，

∵函数y＝()x在(－∞，－1]上是减函数，

∴()x≥()－1＝2，当x∈(－∞，－1]时，m2－m<()x恒成立等价于m2－m<2，解得－1<m<2.故选C．

(3)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间[，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，]上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

名师讲坛·素养提升

指数函数中的分类与整合思想

例6 已知函数f(x)＝a x2＋2x＋b(a，b是常数且a>0，a≠1)在区间[－，0]上有最大值3和最小值，试求a，b的值．

[分析]　本题易出现的错误有两个，一个是二次函数t＝x2＋2x在区间[－，0]上的范围求错，直接将端点值代入，二是不分类讨论，直接认为f(x)是单调递增函数．

[解析]　设t＝x2＋2x，x∈[－，0]，

由图象得t∈[－1,0]．

①当a>1时，f(t)＝at＋b在[－1,0]上为增函数，值域为[＋b,1＋b]，

∴解得

②当0<a<1时，f(t)＝at＋b在[－1,0]上为减函数，值域为[1＋b，＋b]，

∴解得

综上所述，a＝2，b＝2或a＝，b＝.

名师点拨 ☞

分类与整合就是所给变量不能进行统一研究时，要分类研究，再整合得到的结论．指数函数的单调性与底数的取值有关，如果底数是字母时，常分情况讨论．解指数函数综合问题的两个注意点：

(1)指数函数的底数不确定时，应分a>1和0<a<1两种情况讨论．

(2)解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法求解时要注意新元的取值范围．

〔变式训练3〕

　设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a的值．

[解析]　设ax＝t，则a2x＝t2，

①当a>1时，t∈[，a]，y＝t2＋2t－1，在[，a]上为增函数，

当t＝a时，取得最大值，a2＋2a－1，

所以a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5(舍)；

②当0<a<1时，t∈[a，]，y＝t2＋2t－1，在[a，]上为增函数，

当t＝时，取得最大值，()2＋－1，

所以()2＋－1＝14，解得a＝或a＝－(舍)．

综上所述，a＝3或.