（山东专用）2021版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第十二讲第2课时导数与函数的极值、最值学案（含解析）

第二课时　导数与函数的极值、最值

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理·双基自测

知识点一　函数的极值

1．函数的极值

(1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)< f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作f(x)极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)> f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作f(x)极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．

(2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法：

如果x<x0有f′(x)>0，x>x0有f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．

如果x<x0有f′(x)<0，x>x0有f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．

2．求可导函数f(x)极值的步骤

(1)求导数f′(x)；

(2)求方程f′(x)＝0的根；

(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的值的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值.

知识点二　函数的最值

1．函数的最值的概念

设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，函数f(x)在[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y＝f(x)的最大(最小)值．

2．求函数最值的步骤

设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最值，可分两步进行：

(1)求f(x)在(a，b)内的极值；

(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

1．f′(x0)＝0与x0是f(x)极值点的关系

函数f(x)可导，则f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．

2．极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值．

3．极值与最值的关系

极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得；有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．

4．定义在开区间(a，b)内的函数不一定存在最大(小)值．

题组一　走出误区

1．(多选题)下列结论正确的是(　ABCD　)

A．函数的极大值不一定比极小值大

B．导数等于0的点不一定是函数的极值点

C．若x0是函数y＝f(x)的极值点，则一定有f′(x0)＝0

D．函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值

[解析]　对于A，如图，在x1处的极大值比在x2处的极小值小．

对于B，如y＝x3在x＝0处，导数为0，但不是极值点．

对于C，由极点定义知显然正确．

对于D，如图知正确．

故选A、B、C、D．

题组二　走进教材

2．(多选题)(选修2－2P32AT4改编)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下面正确的是(　CD　)

A．x＝1是最小值点

B．x＝0是极小值点

C．x＝2是极小值点

D．函数f(x)在(1,2)上单调递减

[解析]　由导数图象可知，x＝0，x＝2为两极值点，x＝0为极大值点，x＝2为极小值点，f′(x)在(1,2)上小于0，因此f(x)单调递减，选C、D．

3．(选修2－2P32AT5改编)函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　C　)

A．x＝1  B．x＝－1

C．x＝1或－1或0  D．x＝0

[解析]　∵f(x)＝x4－2x2＋3，由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.又当x<－1时，f′(x)<0，当－1<x<0时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．

4．(选修2－2P32AT6改编)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　B　)

A．1－e  B．－1

C．－e  D．0

[解析]　因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，e]时，f′(x)<0，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1.故选B．

题组三　考题再现

5．(2017·课标Ⅱ，11)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　A　)

A．－1  B．－2e－3

C．5e－3  D．1

[解析]　由题意可得f′(x)＝ex－1[x2＋(a＋2)x＋a－1]．∵x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，∴f′(－2)＝0，∴a＝－1，∴f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1(x2＋x－2)＝ex－1(x－1)(x＋2)，∴x∈(－∞，－2)，(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；x∈(－2,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．∴f(x)极小值＝f(1)＝－1.故选A．

6．(2018·课标Ⅰ，16,5分)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是－.

[解析]　由f(x)＝2sin x＋sin 2x，得f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝4cos2x＋2cos x－2，令f′(x)＝0，得cos x＝或cos x＝－1，可得当cos x∈(－1，)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当cos x∈(，1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，所以当cos x＝时，f(x)取最小值，此时sin x＝±.又因为f(x)＝2sin x＋2sin xcos x＝2sin x(1＋cos x)，1＋cos x≥0恒成立，∴f(x)取最小值时，sin x＝－，∴f(x)min＝2×(－)×(1＋)＝－.

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一　用导数求解函数极值问题——多维探究

角度1　根据函数图象判断极值

例1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　D　)

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)

B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)

C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)

D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

[解析]　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．故选D．

角度2　求函数的极值

例2 求下列函数的极值．

(1)f(x)＝(x－5)2＋6ln x；

(2)f(x)＝x－aln x(a∈R)．

[分析]　求导，研究函数的单调性从而确定极值．

[解析]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝x－5＋＝.

令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3，可得

由上表可知当x＝2时，极大值f(2)＝＋6ln 2，当x＝3时，极小值f(3)＝2＋6ln 3.

(2)f′(x)＝1－＝，x>0.

若a≤0，则f′(x)>0恒成立，f(x)不存在极值．

若a>0，则x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以f(x)的极小值f(a)＝a－aln a．无极大值．

综上可知a≤0时，无极值；a>0时，极小值f(a)＝a－aln a.

名师点拨 ☞

可导函数求极值的步骤

(1)确定函数的定义域．

(2)求方程f′(x)＝0的根．

(3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格．

(4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少．f′(x)＝0是函数有极值的必要条件．

角度3　根据极值求参数的取值范围

例3 (1)已知函数f(x)＝xex在区间(a，a＋1)上存在极值点，则实数a的取值范围为(－2，－1).

(2)(2020·江西八校联考)若函数f(x)＝x2－x＋aln x在[1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为a∈(－∞，－1].

[解析]　(1)f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝－1，当x∈(－∞，－1)时，f(x)单调递减；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)单调递增，则－1是函数f(x)的极值点，所以a<－1<a＋1，即－2<a<－1.故填(－2，－1)．

(2)解法一：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－1＋＝，由题意知2x2－x＋a＝0在R上有两个不同的实数解，且在[1，＋∞)上有解，所以Δ＝1－8a>0，且2×12－1＋a≤0，所以a∈(－∞，－1]．

由解法一得2x2－x＋a＝0在[1，＋∞)上有解即a＝－2x2＋x，x∈[1，＋∞)，当x＝1时有最大值－1，∴a≤－1.

名师点拨 ☞

函数极值问题的常见类型及解题策略：

(1)已知导函数图象判断函数极值的情况．先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．

(2)已知函数求极值．求f′(x)→求方程f′(x)＝0的根→列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根的两侧的符号→得出结论．

(3)已知极值求参数．若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f′(x0)＝0，且f(x)在该点左、右两侧的导数值符号相反．

〔变式训练1〕

(1)(多选题)(角度1)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是(　ABD　)

A． f(b)>f(a)>f(c)

B．函数f(x)在x＝c处取得极小值，在x＝e处取得极大值

C．函数f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值

D．函数f(x)的最小值为f(d)

(2)(角度2)函数y＝的极小值为(　B　)

A．1  B．e

C．－1  D．－

(3)(角度3)(2020·广东肇庆第二次检测)已知x＝1是f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数a的取值范围是(　D　)

A．(1，＋∞)  B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1)  D．(－∞，1)

[解析]　(1)由图可知x∈[a，c]时f′(x)≥0，f(x)单调递增，又a<b<c，∴f(a)<f(b)<f(c)，A错；x<c时，f′(x)>0，f(x)递增；c<x<e时，f′(x)<0，f(x)递减，x>e时，f′(x)>0，f(x)递增．∴f(x)在x＝c处取得极大值，在x＝e处取得极小值，B错，C对；f(d)不是极值，又不是定义域端点的函数值，∴f(d)不是最小值，D错，故选A、B、D．

(2)∵y′＝＝，

x，y′，y的极值情况如下表.

f(x)极小值为f(1)＝e，故选B．

(3)依题意f′(x)＝(x－a)(x－1)ex，它的两个零点为x＝1，x＝a，若x＝1是函数y(x)的极小值点，则需a<1，此时函数f(x)在(a,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，在x＝1处取得极小值．故选D．

考点二　用导数求函数的最值——师生共研

例4 (2017·北京，20)已知函数f(x)＝excosx－x.

(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．

[解析]　(1)因为f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0.

又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.

(2)设h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，则h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.

当x∈(0，)时，h′(x)<0，

所以h(x)在区间[0，]上单调递减．

所以对任意x∈(0，]有h(x)<h(0)＝0，即f′(x)<0.

所以函数f(x)在区间[0，]上单调递减．

因此f(x)在区间[0，]上的最大值为f(0)＝1，最小值为f()＝－.

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1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤

(1)求函数在(a，b)内的极值．

(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)．

(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，一般要根据其极值及单调性画出函数的大致图象，借图求解．

注：求最值时，不可想当然认为极值点就是最值点，要通过比较再下结论．

〔变式训练2〕

(1)(2020·辽宁辽阳期末)函数f(x)＝x3－3ln x的最小值为(　B　)

A．0  B．1

C．2  D．3

(2)(2020·潍坊期末)函数f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是(　D　)

A．1＋  B．1

C．e＋1  D．e－1

[解析]　(1)函数f(x)＝x3－3ln x的定义域为(0，＋∞)．

可得f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，可得x＝1，

所以x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数f(x)是减函数；

x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)是增函数，

所以函数f(x)的最小值为f(1)＝1.故选B．

(2)因为f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0.且当x>0时，f′(x)＝ex－1>0；x<0时，f′(x)＝ex－1<0，即函数f(x)在x＝0处取得极小值，f(0)＝1，又f(－1)＝＋1，f(1)＝e－1，比较得函数f(x)＝ex－1在区间[－1,1]上的最大值是e－1.故选D．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

名师讲坛·素养提升

利用导数研究生活中的优化问题

例5 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2.其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

[解析]　(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.

(2)由(1)可知，该商品每日的销售量

y＝＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)[＋10(x－6)2]

＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.

从而，f′(x)＝30(x－4)(x－6)．

于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．

所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.

即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

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函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为：一设，设出自变量、因变量；二列，列出函数关系式，并写出定义域；三解，解出函数的最值，一般常用导数求解；四答，回答实际问题．

〔变式训练3〕

　已知圆柱的体积为16π cm3，则当底面半径r＝2cm时，圆柱的表面积最小．

[解析]　圆柱的体积为V＝πr2h＝16π⇒r2h＝16，圆柱的表面积S＝2πrh＋2πr2＝＋2πr2＝2π(＋r2)，

由S′＝2π·(－＋2r)＝0，得r＝2.因此

所以当底面半径r＝2时，圆柱的表面积最小．故填2.