（山东专用）2021版高考数学一轮复习第六章不等式第二讲一元二次不等式及其解法学案（含解析）

第二讲　一元二次不等式及其解法
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数__大于__零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．
(2)计算相应的__判别式__.
(3)当__Δ≥0__时，求出相应的一元二次方程的根．
(4)利用二次函数的图象与x轴的__交点__确定一元二次不等式的解集．
知识点二　三个二次之间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象



一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有__两相异__实根x1，x2
(x1 有__两相等__实根x1＝x2＝－
__没有__
实数根
ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集
{x|__x>x2或x {x|x∈R
且__x≠x1__}
__R__
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
{x|
__x1 __∅__
__∅__

1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．
2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．
注意：在题目中没有指明不等式为二次不等式时，若二次项系数中含有参数，应先对二次项系数为0的情况进行分析，检验此时是否符合条件．
3．二次不等式解集的“边界值”是相应二次方程的根．
4．简单分式不等式的解法
(1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)⇔.
5．简单的指数与对数不等式的解法
(1)若a>1，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)；
若0ag(x)⇔f(x) (2)若a>1，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0；
若0logag(x)⇔0
题组一　走出误区
1．(多选题)下列命题正确的是(　AD　)
A．若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R
C．不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0
D．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集
题组二　走进教材
2．(必修5P80A组T4改编)已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，则∁RA等于(　B　)
A．{x|－2 C．{x|x<－2}∪{x|x>3}　　 D．{x|x≤－2}∪{x|x≥3}
[解析]　∵x2－x－6>0，∴(x＋2)(x－3)>0，
∴x>3或x<－2，即A＝{x|x>3或x<－2}．
在数轴上表示出集合A，如图所示．

由图可得∁RA＝{x|－2≤x≤3}．故选B．
3．(必修5P80A组T2改编)y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是__(－∞，)∪(，＋∞)__.
[解析]　由题意，得3x2－2x－2>0，
令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝，
∴3x2－2x－2>0的解集为
(－∞，)∪(，＋∞)．
题组三　考题再现
4．(2019·天津高考)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围是__(－1，)__.
[解析]　3x2＋x－2<0⇒(x＋1)(3x－2)<0，
⇒(x＋1)(x－)<0⇒－1 ∴x的取值范围是(－1，)．
5．(2020·湖北黄冈元月调研)关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是(　C　)
A．(－∞，1)∪(2，＋∞)　　 B．(－1,2)
C．(1,2)　　 D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
[解析]　∵关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，∴a>0，且－＝1，∴关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0可化为(x＋)(x－2)<0，即(x－1)(x－2)<0，所以不等式的解集为{x|1
KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　一元二次不等式的解法——多维探究
角度1　不含参数的不等式
例1　解下列不等式
(1)－2x2＋x＋3<0；
(2)x2－2x＋2>0；
(3)≥1.
[分析]　(1)将二次项系数化为正数，变为2x2－x－3>0，求方程2x2－x－3＝0的根，若无根，则解集为R，若有根，则按“小于取中间，大于取两边”写出解集；
(3)移项通分化为>0的形式，进而化为f(x)·g(x)>0求解．
[解析]　(1)化－2x2＋x＋3<0为2x2－x－3>0，
∴(x＋1)(2x－3)>0，即(x＋1)(x－)>0，
∴x>或x<－1，
∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞)．
(2)因为Δ<0，所以方程x2－2x＋2＝0无实数解，而y＝x2－2x＋2的图象开口向上，可得原不等式x2－2x＋2>0的解集为R.
(3)化≥1为≥0，即≤0，
∴(3x－2)(4x－3)≤0，且x≠，即(x－)(x－)≤0(且x≠)
∴原不等式的解集为{x|≤x<}．
名师点拨　☞
解一元二次不等式的一般步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
(2)判：计算对应方程的判别式．
(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
角度2　含参数的不等式
例2　解下列关于x的不等式：
(1)ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)；
(2)x2－2ax＋2≤0(a∈R)；
[分析]　(1)因二次项系数含有字母，故需对其符号分类求解，即讨论a与0的关系，并注意根的大小关系，即讨论与1的关系，故需分a<0，a＝0,01五种情况求解；
(2)由于系数中含有字母，故需考虑对应的方程有无实根，以及有根时根的大小关系；
[解析]　(1)若a＝0，原不等式等价于－x＋1＜0，解得x＞1.
若a＜0，则原不等式等价于(x－)(x－1)＞0，解得x＜或x＞1.
若a＞0，原不等式等价于(x－)(x－1)＜0.
①当a＝1时，＝1，(x－)(x－1)＜0无解；
②当a＞1时，＜1，解(x－)(x－1)＜0得＜x＜1；
③当0＜a＜1时，＞1，解(x－)(x－1)＜0得1＜x＜.
综上所述：当a＜0时，解集为{x|x＜或x＞1}；当a＝0时，解集为{x|x＞1}；当0＜a＜1时，解集为{x|1＜x＜}；当a＝1时，解集为∅；当a＞1时，解集为{x|＜x＜1}．
(2)对于方程x2－2ax＋2＝0，因为Δ＝4a2－8，所以当Δ＜0，即－＜a＜时，x2－2ax＋2＝0无实根．又二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅；
当Δ＝0，即a＝±时，x2－2ax＋2＝0有两个相等的实根，
当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}，
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；
当Δ＞0，即a＞或a＜－时，x2－2ax＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1＜x2，所以原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}．
综上，当a＞或a＜－时，解集为{x|a－≤x≤a＋}；当a＝时，解集为{x|x＝}；当a＝－时，解集为{x|x＝－}；当－＜a＜时，解集为∅.
名师点拨　☞
含参数的不等式的求解往往需要分类讨论
(1)若二次项系数为常数，若判别式Δ≥0，可先考虑分解因式，再对根的大小分类讨论(分点由x1＝x2确定)；若不易分解因式，可考虑求根公式，以便写出解集，若Δ<0，则结合二次函数图象写出解集，若判别式符号不能确定，则需对判别式分类讨论(分点由Δ＝0确定)．
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后讨论二次项系数大于零、小于零，以便确定解集形式．
(3)解简单分式不等式是通过移项、通分化为整式不等式求解，要注意分母不能为零．
(4)解简单的指数、对数不等式时，若底含有参数，则需对其是否大于1分类求解，注意对数的真数必须为正．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(2020·河南南阳期中)已知集合M＝{x|x2－x－6<0}，N＝{x|<－1}，则M∩N＝(　C　)
A．(－4,3)　　 B．(－4，－2)　　
C．(－2,2)　　 D．(2,3)
(2)(角度1)不等式≤1的解集为__{x|x>－或x≤－2}__.
(3)(角度2)解不等式x2－(a＋1)x＋a<0(a∈R)
[解析]　(1)x2－x－6<0⇒(x－3)(x＋2)<0⇒－2 ∴M＝{x|－2 <－1⇒<0⇒(x＋4)(x－2)<0⇒－4 ∴N＝{x|－4 ∴M∩N＝{x|－2 (2)≤1⇔－1≤0⇔≤0⇔≥0.
≥0⇔解得{x|x>－或x≤－2}．
(3)由x2－(a＋1)x＋a＝0，得(x－a)(x－1)＝0，
∴x1＝a，x2＝1，
①当a>1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|1 ②当a＝1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为∅，
③当a<1时，x2－(a＋1)x＋a<0的解集为{x|a 考点二　三个二次间的关系——师生共研
例3　(1)(2020·黑龙江大庆实验中学期末)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－ A．{x|2 C．{x| (2)若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是(　A　)
A．(－，＋∞)　　 B．(－，1]
C．(1，＋∞)　　 D．(－∞，－]
[分析]　(1)利用根与系数的关系求解．
(2)令f(x)＝x2＋ax－2，Δ＝a2＋8>0恒成立，又两根之积为负值，所以只要f(1)≥0或f(1)<0且f(5)>0，于是得解；思路二：“正难则反”，求x2＋ax－2≤0在区间[1,5]上恒成立的a的取值集合，只需f(5)≤0，再求其补集即可；思路三：分离参数．
[解析]　(1)∵不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－ ∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0，
∴解得
则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.故选B．
(2)令f(x)＝x2＋ax－2，则Δ＝a2＋8>0，
∴方程f(x)＝0，有两个不等实根，又两根之积为负，
∴方程有一正根和一负根．
解法一：不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，只要f(1)≥0或解得a≥1或－ ∴a的取值范围是(－，＋∞)，故选A．
解法二：不等式x2＋ax－2≤0在[1,5]上恒成立，只要f(5)≤0，即25＋5a－2≤0，解得a≤－，∴不等式x2＋ax－2>0在区间(1,5]上有解的a的取值范围是(－，＋∞)．
解法三：x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解⇔a>－x在[1,5]上有解⇔a>f(x)min(记f(x)＝－x，x∈[1,5])，显然f(x)为减函数，∴f(x)min＝f(5)＝－，∴a>－.
[引申]若不等式x2＋ax－2<0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是__(－∞，1)__.
[解析]　由例3(2)的解析知，不等式x2＋ax－2<0在区间[1,5]上有解，a<－x，x∈[1,5]有解，显然g(x)＝－x在[1,5]上递减，gmax(x)＝g(1)＝1，∴a<1.
名师点拨　☞
已知不等式的解集，等于知道了与之对应方程的根，此时利用韦达定理或判别式即可求出参数的值或范围，为简化讨论注意数形结合，如本例(2)中对应的二次函数图象过点(0，－2)．
〔变式训练2〕
(1)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝(　A　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
(2)(2020·九江模拟)若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是(　A　)
A．(－∞，－2)　　 B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞)　　 D．(－∞，－6)
[解析]　(1)解法一：由题意知x1，x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.又x2－x1＝15，∴(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2＝152.∵a>0，∴a＝＝，故选A．
解法二：由x2－2ax－8a2＝(x＋2a)(x－4a)<0，∵a>0，∴不等式的解集为(－2a,4a)．
又不等式的解集为(x1，x2)，∴x1＝－2a，x2＝4a.∴x2－x1＝4a－(－2a)＝6a＝15，∴a＝，故选A．
(2)解法一：由函数f(x)＝x2－4x－2－a图象的对称轴为x＝2.∴不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解⇔f(4)>0，即a<－2，故选A．
解法二：(分离参数法)不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x) 考点三　一元二次不等式恒成立问题——师生共研
例4　已知f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若对于|m|≤1，f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围．
[分析]　(1)二次项系数含有字母m，应分m＝0和m≠0讨论求解；(2)数形结合，分类讨论；(3)把二次不等式转化为含m的一次不等式，根据一次函数的性质求解．
[解析]　(1)要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0；
若m≠0，则⇒－4 所以m的取值范围为(－4,0]．
(2)要使f(x)<－m＋5在[1,3]上恒成立，
只需mx2－mx＋m<6恒成立(x∈[1,3])，
又因为x2－x＋1＝(x－)2＋>0，
所以m<.令y＝＝.
因为t＝(x－)2＋在[1,3]上是增函数，
所以y＝在[1,3]上是减函数．
因此函数的最小值ymin＝.
所以m的取值范围是(－∞，)．
(3)将不等式f(x)<0整理成关于m的不等式为(x2－x)m－1<0.
令g(m)＝(x2－x)m－1，m∈[－1,1]．
则即
解得 即x的取值范围为(，)．
名师点拨　☞
一元二次不等式恒成立问题
1．在R上恒成立
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立的条件是
(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(或≤0)对于一切x∈R恒成立的条件是
2．在给定某区间上恒成立
(1)当x∈[m，n]，f(x)＝ax2＋bx＋c≥0恒成立，结合图象，只需f(x)min≥0即可；
(2)当x∈[m，n]，f(x)＝ax2＋bx＋c≤0恒成立，只需f(x)max≤0即可．
3．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．
4．“不等式f(x)≥0有解(或解集不空)的参数m的取值集合”是“f(x)<0恒成立的参数m取值集合”的补集；“f(x)>0的解集为∅”即“f(x)≤0恒成立．”
注意：ax2＋bx＋c>0恒成立⇔或；
ax2＋bx＋c<0恒成立⇔或.
〔变式训练3〕
(1)若不等式(a－3)x2＋2(a－3)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a取值的集合为(　D　)
A．(－∞，3)　　 B．(－1,3)　　
C．[－1,3]　　 D．(－1,3]
(2)(2020·山西忻州第一中学模拟)已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意的x∈(0,1]恒成立，则有(　A　)
A．m≤－3　　 B．m≥－3
C．－3≤m<0　　 D．m≥－4
(3)已知对于任意的a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是(　B　)
A．{x|13}
C．{x|12}
[解析]　(1)当a＝3时，－4<0恒成立；
当a≠3时，
解得－1 (2)令f(x)＝x2－4x，x∈(0,1]，∵f(x)图象的对称轴为直线x＝2，∴f(x)在(0,1]上单调递减，∴当x＝1时，f(x)取得最小值－3，∴m≤－3，故选A．
(3)记g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，a∈[－1,1]，
依题意，只须⇒⇒x<1或x>3，故选B．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
一元二次方程根的分布
设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，记f(x)＝ax2＋bx＋c.
(1)方程无根Δ＝b2－4ac<0；
(2)方程有两等根Δ＝b2－4ac＝0；
(3)方程有两不等实根Δ＝b2－4ac>0，记其根为x1，x2且x1 ①x1>0⇔或x1>0⇔　　　
②x1<0 　③x1 x1 ④x2>x1>k⇔　
⑤x1 ⑥x1 ⑦m m x1 ⑧m 例5　若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0，分别满足下列条件时，求m的取值范围
(1)一根在(1,2)内，另一根在(－1,0)内，
(2)一根在(－1,1)，另一根不在(－1,1)内
(3)一根小于1，另一根大于2
(4)一根大于－1，另一根小于－1
(5)两根都在区间(－1,3)
(6)两根都大于0
(7)两根都小于1
(8)在(1,2)内有解
[解析]　设f(x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－m，Δ＝4(m＋1)2＋4m(m－1)＝8m2＋4m＋4＝4(2m2＋m＋1)>0
(1)一根在(1,2)内，另一根在(－1,0)内应满足即，解得－ (2)一根在(－1,1)内，另一根不在(－1,1)内，应满足f(－1)f(1)<0，即(2m＋1)(－2m－3)<0，∴m>－或m<－，又∵m－1≠0，∴m≠1
∴m范围(－∞，－)∪(－，1)∪(1，＋∞)
(3)一根小于1，另一根大于2，应满足
即解得：0 (4)一根大于－1，另一根小于－1，
应满足(m－1)f(－1)<0，即(m－1)(－2m－3)<0，
解得：m>1或m<－
(5)两根都在(－1,3)内，应满足
解得：－ (6)两根都大于0，应满足解得：0 (7)两根都小于1，应满足：
解得：m>1或m<－
(8)在(1,2)内有解应满足或f(1)f(2)≤0
解得－≤m≤0，
经检验m＝－及m＝0都不合题意舍去，
∴－ 〔变式训练4〕
(1)(2020·山东实验中学诊断)如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是__(－2,1)__.
(2)若方程x2＋(k＋2)x－k＝0的两实根均在区间(－1,1)内，则k的取值范围为__－4＋2≤k<－__.
[解析]　(1)记f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，由题意可知f(1)＝m2＋m－2<0，解得－2 (2)由题意得，解得－4＋2≤k<－.