（山东专用）2021版高考数学一轮复习第六章不等式第一讲不等关系与不等式学案（含解析）

第六章　不等式

第一讲　不等关系与不等式

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理·双基自测

知识点一　实数的大小与运算性质的关系

(1)a>b⇔__a－b>0__；

(2)a＝b⇔__a－b＝0__；

(3)a<b⇔__a－b<0__.

知识点二　比较大小的常用方法

(1)作差法

一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差．

(2)作商法

一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论(注意所比较的两个数的符号)．

知识点三　不等式的性质

(1)对称性：a>b⇔b<a；

(2)传递性：a>b，b>c⇒__a>c__；

(3)同向可加性：a>b⇔a＋c__>__b＋c；a>b，c>d⇒a＋c__>__b＋d；

(4)同向同正可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac__<__bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；

(5)可乘方性：a>b>0⇒an__>__bn(n∈N，n≥2)；

(6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．

1．a>b，ab>0⇒<.

2．a<0<b⇒<.

3．a>b>0,0<c<d⇒>.

4．若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0)．

题组一　走出误区

1．(多选题)下列命题正确的是(　BD　)

A．若>1，则a>b

B．a>b>0，c>d>0⇒>

C．一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变

D．ab>0，a>b⇔<

题组二　走进教材

2．(必修5P74T3改编)若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的(　A　)

A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件

C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件

[解析]　－>0⇒>⇒a>b≥0⇒a2>b2，

但由a2－b2>0－>0.

3．(必修5P74T3改编)设b<a，d<c，则下列不等式中一定成立的是(　C　)

A．a－c<b－d　　 B．ac<bd

C．a＋c>b＋d　　 D．a＋d>b＋c

[解析]　由同向不等式具有可加性可知C正确．

题组三　考题再现

4．(2016·北京)已知x，y∈R，且x>y>0，则(　C　)

A．－>0　　 B．sin x－sin y>0

C．()x－()y<0　　 D．ln x＋ln y>0

[解析]　∵x，y∈R，且x>y>0，则<，

sin x与sin y的大小关系不确定，()x<()y，即()x－()y<0，ln x＋ln y与0的大小关系不确定，故选C．

5．(2019·全国)若a>b，则(　C　)

A．ln(a－b)>0　　 B．3a<3b

C．a3－b3>0　　 D．|a|>|b|

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一　比较代数式的大小——自主练透

例1　(1)若x<y<0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小；

(2)设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小；

(3)若a>b>0，试比较与－的大小．

[解析]　(1)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x<y<0，∴xy>0，x－y<0.∴－2xy(x－y)>0.∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．

(2)＝aa－b·bb－a＝()a－b.当a>b>0时，>1，a－b>0，∴()a－b>1，∴aabb>abba；当b>a>0时，0<<1，a－b<0，∴()a－b>1，∴aabb>abba.

(3)∵a>b>0，∴>0，－>0，又()2－(－)2＝a－b－(a＋b－2)＝2－2b，∵a>b>0，∴>，∴>b，∴2－2b>0，即()2>(－)2，∴>－.

[引申]本例(2)的条件下aabb__>__(ab).

名师点拨　☞

比较两个代数式的大小，常用的方法有两种，一种是作差法，解题步骤是：作差—变形—与0比较，变形的方法主要有通分、因式分解、配方等，变形的目的是为了更有利于判断符号．另一种是作商法，解题步骤是作商—变形—与1比较．作商法通常适用于两代数式同号的情形．注意①若>1，b<0，则a<b；②比较两式大小时可以先赋值判断两式大小关系，以明确比较时变形的方向；③注意函数单调性在比较大小中的应用．

考点二　不等式的性质——师生共研

例2　(1)(多选题)(2020·北京海淀区高三模拟改编)已知x>y，则下列各式中一定成立的是(　CD　)

A．<　　 B．x＋>2

C．2－x<2－y　　 D．2x＋2－y>2

(2)(2020·广东华附、省实、广雅、深中期末联考)设a>1>b>－1，b≠0，则下列不等式中恒成立的是(　C　)

A．<　　 B．>　　

C．a>b2　　 D．a2>2b

(3)(2020·四省八校质检)若logab<logac，则下列不等式一定成立的是(　C　)

A．ab<ac　　 B．>　　

C．ab<ac　　 D．ba>ca

[解析]　(1)当x＝1，y＝－1时，满足x>y，但>，x＋＝0<2，故A、B都错，对于C，∵x>y，∴－x<－y，∴2－x<2－y，正确；对于D,2x＋2－y≥2>2，D正确，故选C、D．

(2)对于A，当a为正数，b为负数时，>，所以，A错误；对于B，当a＝2，b＝时，B不成立，所以错误；对于C,1>b>－1⇒b2<1，而a>1，所以选项C正确；对于D，取反例：a＝1.1⇒a2＝1.21，b＝0.8⇒2b＝1.6.D错误。

(3)由题意知0<a且a≠1，当0<a<1时，b>c>0，∴ab>ac，且<，从而<，∴A，B错，当a>1时，0<b<c，∴ba<ca，∴D错．故选C．

名师点拨　☞

(1)在判断一个关于不等式命题的真假时，先把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并根据性质判断命题的真假，有时还要用到其他知识，如本例中幂函数、对数函数的性质等．

(2)在应用不等式的性质时，不可以强化或弱化不等式成立的条件，如“同向不等式”才可以相加，“同向正数不等式”才可以相乘．

(3)在不等关系的判断中，赋值法是非常有效的方法．

〔变式训练1〕

(1)(多选题)(2020·四川攀枝花统考改编)设a，b，c为实数，且a<b<0，则下列不等式正确的是(　CD　)

A．<　　 B．ac2<bc2

C．<　　 D．a2>ab>b2

(2)(2020·山东省枣庄市模拟)已知0<a<1,0<c<b<1，下列不等式成立的是(　D　)

A．ab>ac　　 B．>

C．logba<logca　　 D．>

[解析]　(1)对于A显然错误；对于B，当c＝0时，不正确；对于C，－＝＝<0，故正确，对于D，⇒a2>ab>b2，故选C、D．

(2)显然b＋a>0，c＋a>0，

∴>⇔bc＋ab>bc＋ac，

即ab>ac⇔b>c，故选D．

另解：不妨取c＝，a＝b＝，

代入选项A，B，C都错，故选D．

考点三　不等式性质的应用——多维探究

角度1　应用性质判断不等式是否成立

例3　(2018·课标Ⅲ，12)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　B　)

A．a＋b<ab<0　　 B．ab<a＋b<0

C．a＋b<0<ab　　 D．ab<0<a＋b

[解析]　本题考查不等式及对数运算．

解法一：∵a＝log0.20.3>log0.21＝0，b＝log20.3<log21＝0，∴ab<0，排除C．

∵0<log0.20.3<log0.20.2＝1，log20.3<log20.5＝－1，即0<a<1，b<－1，∴a＋b<0，排除D．

∵＝＝＝log20.2，

∴b－＝log20.3－log20.2＝log2<1，

∴b<1＋⇒ab<a＋b，排除A．故选B．

解法二：易知0<a<1，b<－1，∴ab<0，a＋b<0，

∵＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4<1，

即<1，∴a＋b>ab，∴ab<a＋b<0.故选B．

角度2　利用不等式的性质求范围问题

例4　(1)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是__(－4,2)__,3x＋2y的取值范围是__(1,18)__.

(2)(2020·河北衡水中学五调)已知1≤a≤3，－4<b<2，则a＋|b|的取值范围是__[1,7)__.

[解析]　(1)∵－1<x<4,2<y<3，

∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.

由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6,

∴1<3x＋2y<18.

(2)∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，又1≤a≤3，

∴1≤a＋|b|<7.

名师点拨　☞

利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．

〔变式训练2〕

(1)(角度1)(多选题)(2020·广东省清远市期末改编)已知<<0，下列结论正确的是(　AB　)

A．a2<b2　　 B．＋>2

C．lg a2>lg(ab)　　 D．2a＋b>2a－b

(2)(角度2)(2020·上海金山中学期中)已知1<a<2,2<b<3，则的取值范围是__(，1)__.

(3)(角度2)若1<α<3，－4<β<2，则－β的取值范围是__(－，)__.

[解析]　(1)对于A，a2－b2＝(a－b)(a＋b)<0正确；对于B，＋≥2＝2，又a>b，∴＋>2，正确；对于C，a2－ab＝a(a－b)<0，∴lg a2<lg(ab)，不正确；对于D，(a＋b)－(a－b)＝2b<0，∴2a＋b>2a－b不正确，故选A、B．

(2)∵2<b<6，∴<<，

又∵1<a<2，∴<<1.

(3)由1<α<3得<<，

由－4<β<2得－2<－β<4，

所以－β的取值范围是(－，)．故填(－，)．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

名师讲坛·素养提升

利用不等式变形求范围

　　例5　设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是__[5,10]__.

[分析]　用f(1)和f(－1)表示f(－2)，也就是把f(－1)，f(1)看作一个整体求f(－2)，或用待定系数法求解．

[解析]　∵y＝f(x)＝ax2＋bx，∴f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.

解法一：(待定系数法)

设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，

又f(－2)＝4a－2b，

所以4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b，

可得解得

所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．

又1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，

所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10.

故5≤f(－2)≤10.

解法二：(运用方程思想)

由

得

所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．

又1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，

所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10.

故5≤f(－2)≤10.

名师点拨　☞

若题目中所给范围的式子比较复杂，一定要把这样的式子当成一个整体，利用待定系数法求解，在解题过程中还要注意不等式链中的隐含条件，如a<α<β<b中，千万不要忽略α<β这一条件．本例中若直接求出a，b范围，再求f(－2)范围，会因扩大范围而出错．

〔变式训练3〕

(1)已知1<a＋b≤5，－1≤a－b<3，则3a－2b的取值范围是__(－2,10)__.

(2)(2020·云南模拟)已知x>0，y>0，若－1≤lg≤2，1≤lg(xy)≤4，则lg的取值范围是__[－1,5]__.

[解析]　(1)设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，

则3a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b，

∴解得

∴3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)．

又∵1<a＋b≤5，－1≤a－b<3，

∴<(a＋b)≤，－≤(a－b)<.

∴－2<3a－2b<10.

(2)由1≤lg(xy)≤4，－1≤lg≤2，

得1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2，

∴≤(lg x＋lg y)≤2，－≤(lg x－lg y)≤3，

则lg＝2lgx－lgy＝(lgx＋lgy)＋(lgx－lgy)，

所以－1≤lg≤5.故填[－1,5]．