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(山东专用)2021版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第六讲正弦定理、余弦定理学案(含解析)
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第六讲 正弦定理、余弦定理
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测
知识点一 正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
__==__=2R(其中R是△ABC外接圆的半径)
a2=__b2+c2-2bccos A__
b2=__a2+c2-2accos B__
c2=__a2+b2-2abcos C__
常见
变形
①a=__2Rsin A__,
b=__2Rsin B__,
c=__2Rsin C__
②sin A=____,
sin B=____,
sin C=____
③a︰b︰c=__sin A︰sin B︰sin C__
④asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A
cos A=____
cos B=____
cos C=____
解决解斜三角形的问题
(1)已知两角和任一边,求另一角和其他两条边
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角
(1)已知三边,求各角
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角
知识点二 在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a
a=bsin A
bsin A a≥b
a>b
a≤b
解的个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解
知识点三 三角形常用面积公式
(1)S=a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S=absin C=acsin B=bcsin A.
(3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径).
在△ABC中,常有以下结论
1.∠A+∠B+∠C=π.
2.在三角形中,大边对大角,大角对大边.
3.任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
4.sin (A+B)=sin C;cos (A+B)=-cos C;tan (A+B)=-tan C;sin =cos ,cos =sin .
5.tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.
6.∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A
7.三角形式的余弦定理sin2A=sin2B+sin2C-2sin Bsin Ccos A,
sin2B=sin2A+sin2C-2sin Asin Ccos B,
sin2C=sin2A+sin2B-2sin Asin Bcos C.
8.若A为最大的角,则A∈[,π);若A为最小的角,则A∈(0,];若A、B、C成等差数列,则B=.
题组一 走出误区
1.(多选题)下列命题正确的是( ABC )
A.在△ABC中,A>B必有sin A>sin B
B.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c且a=1,c=,A=,则b=1或2
C.若满足条件C=60°,AB=,BC=a的△ABC有两个,则实数a的取值范围是(,2)
D.在△ABC中,若bcos B=acos A,则△ABC是等腰三角形
题组二 走进教材
2.(必修5P10A组T8改编)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=( D )
A. B.
C.2 D.3
[解析] 由余弦定理,得4+b2-2×2bcos A=5,整理得3b2-8b-3=0,解得b=3或b=-(舍去),故选D.
3.(必修5P10A组T3改编)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=( B )
A.45° B.75°
C.105° D.60°
[解析] 由题意:=,即sin B===,结合b
4.(必修5P18T1改编)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于__2__.
[解析] 设△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c.
由题意及余弦定理得
cos A===,解得c=2.
所以S=bcsin A=×4×2×sin 60°=2.
题组三 考题再现
5.(2019·全国卷Ⅰ,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-,则=( A )
A.6 B.5
C.4 D.3
[解析] 由题意及正弦定理得,b2-a2=-4c2,所以由余弦定理得,cos A===-,得=6.故选A.
6.(2019·全国卷Ⅱ,5分)在△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B=____.
[解析] 方法一:依题意与正弦定理得sin Bsin A+sin Acos B=0,即sin B=-cos B,则tan B=-1.又0 方法二:由正弦定理得bsin A=asin B,又bsin A+acos B=0,所以asin B+acos B=0,即sin B=-cos B,则tan B=-1.又0 方法三:依题意得bsin A=-acos B>0,故cos B<0,B为钝角.如图,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,则CE=bsin ∠BAC,BE=-acos ∠ABC,故BE=CE.又CE⊥AB,所以∠CBE=,∠ABC=.
7.(2019·全国卷Ⅱ,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为__6__.
[解析] 方法一:因为a=2c,b=6,B=,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得62=(2c)2+c2-2×2c×ccos ,得c=2,所以a=4,所以△ABC的面积S=acsin B=×4×2×sin =6.
方法二:因为a=2c,b=6,B=,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得62=(2c)2+c2-2×2c×ccos ,得c=2,所以a=4,所以a2=b2+c2,所以A=,所以△ABC的面积S=×2×6=6.
KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一 利用正、余弦定理解
三角形——自主练透
考向1 正弦定理的应用
例1 (1)(2020·东北师范大学附属中学模拟)在△ABC中,a=1,A=,B=,则c=( A )
A. B.
C. D.
(2)(2020·河南南阳期中)在△ABC中,a=8,b=10,A=45°,则此三角形解的情况是( B )
A.一解 B.两解
C.一解或两解 D.无解
[解析] (1)方法一:sin C=sin [π-(A+B)]=sin (A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,由正弦定理=得c===,故选A.
方法二:由正弦定理=,得b===,则cos C=-cos (A+B)=-(cos Acos B-sin Asin B)=-.由余弦定理可得,c===.故选A.
(2)因为bsin 45°=5<8 考向2 余弦定理的应用
例2 (1)(2020·吉林模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=3,A=60°,则边c=( C )
A.1 B.2
C.4 D.6
(2)(2020·百校联盟第二次联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若sin A=3sin B,c=,且cos C=,则a=( B )
A.2 B.3
C.3 D.4
(3)在△ABC中,sin A︰sin B︰sin C=4︰5︰6,则=__1__.
[解析] (1)a2=c2+b2-2cbcos A⇒13=c2+9-2c×3×cos 60°,即c2-3c-4=0,解得c=4或c=-1(舍去).故选C.
(2)由正弦定理结合题意得a=3b,不妨设b=m,a=3m(m>0),结合余弦定理有:cos C===,求解关于实数m的方程可得m=1,则a=3m=3.
(3)由正弦定理得sin A︰sin B︰sin C=a︰b︰c=4︰5︰6,设a=4,则b=5,c=6,又由余弦定理知cos A===,所以==2××cos A=2××=1.
名师点拨 ☞
(1)在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其他边角的问题时,首先必须判明是否有解,(例如在△ABC中,已知a=1,b=2,A=60°,则sin B=sin A=>1,问题就无解),如果有解,是一解,还是两解.
(2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系,也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系.
(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”.
(4)已知边多优先考虑余弦定理,角多优先考虑正弦定理.
考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状——师生共研
例3 (1)(2020·长春调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos C-2ccos B=a,且B=2C,则△ABC的形状是( B )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
(2)(2020·开封调研)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+b2)sin (A-B)=(a2-b2)sin (A+B),则△ABC的形状是( D )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
[解析] (1)因为2bcos C-2ccos B=a,所以2sin Bcos C-2sin Ccos B=sin A=sin (B+C),即sin Bcos C=3cos Bsin C,所以tan B=3tan C,又B=2C,所以=3tan C,得tan C=,C=,B=2C=,A=,故△ABC为直角三角形.故选B.
(2)解法一:已知等式可化为a2[sin (A-B)-sin (A+B)]=b2[-sin (A+B)-sin (A-B)],
∴2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A.
由正弦定理知上式可化为sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A,
∴sin 2A=sin 2B,由0<2A<2π,0<2B<2π,
得2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A=-B,
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.
解法二:同解法一可得
2a2cos Asin B=2b2sin Acos B.
a2b·=b2a·,
∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),
即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a=b或a2+b2=c2,
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.
名师点拨 ☞
三角形形状的判定方法
(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如a=2Rsin A,a2+b2-c2=2abcos C等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系,如sin A=sin B⇔A=B;sin (A-B)=0⇔A=B;sin 2A=sin 2B⇔A=B或A+B=等.
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,如sin A=,cos A=等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.
(3)注意无论是化边还是化角,在化简过程中出现公因式不要轻易约掉,否则会有漏掉一种形状的可能.
〔变式训练1〕
(1)(2020·济南一中检测)在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别为a,b,c,A为锐角,lg b+lg =lg sin A=-lg ,则△ABC为( D )
A.锐角三角形 B.等边三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
(2)在△ABC中,若c-acos B=(2a-b)cos A,则△ABC的形状为__等腰或直角三角形__.
[解析] (1)由lg b+lg =lg =-lg =lg ,得=,即c=b.由lgsin A=-lg,得sin A=,
又A为锐角,所以cos A=.
由余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A得a=b,
故B=A=45°,因此C=90°.故选D.
(2)因为c-acos B=(2a-b)cos A,所以由正弦定理
得sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A,
所以sin (A+B)-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A,
故cos A(sin B-sin A)=0,
所以cos A=0或sin A=sin B,即A=或A=B,
故△ABC为等腰或直角三角形.
考点三 与三角形面积有关的问题——师生共研
例4 (2019全国卷Ⅲ,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin =bsin A.
(1)求B;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
[解析] (1)由题设及正弦定理得sin Asin =sin Bsin A.
因为sin A≠0,所以sin =sin B.
由A+B+C=180°,可得sin =cos ,
故cos =2sin cos .
因为cos ≠0,故sin =,因此B=60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=a.
由正弦定理得a===+.
由于△ABC为锐角三角形,故0° 由(1)知A+C=120°,
所以30°
因此,△ABC面积的取值范围是(,).
名师点拨 ☞
三角形面积公式的应用原则
1.对于面积公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
2.与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
〔变式训练2〕
(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin (A+C)=8sin2.
(1)求cos B;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
[解析] (1)解法一:∵sin (A+C)=8sin2,
∴sin B=8sin2,即2sin ·cos =8sin2,
∵sin >0,∴cos =4sin ,
∴cos2=1-sin2=16sin2,∴sin2=
∴cos B=1-2sin2=.
解法二:由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2,
故sin B=4(1-cos B).
上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,
解得cos B=1(舍去),cos B=.
(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=acsin B=ac.
又S△ABC=2,则ac=.
由余弦定理及a+c=6得,
b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)
=36-17×=4,∴b=2.
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
三角形的最值问题
例5 (2020·河南郑州检测)在△ABC中,内角A,B,C对应的三边长分别为a,b,c,且满足c(acos B-b)=a2-b2.
(1)求角A;
(2)若a=,求b+c的取值范围.
[分析] (1)“化边”用余弦定理求A;
(2)b+c=(sin B+sin C),而已知,故可转化为求sin B+sin C的取值范围,也可用余弦定理及均值不等式构造关于b+c的不等关系求解.
[解析] (1)∵c(acos B-b)=a2-b2,
∴a2+c2-b2-bc=2a2-2b2,a2=b2+c2-bc,
∵a2=b2+c2-2bccos A,∴cos A=.
又0 (2)解法一:由正弦定理得b===2sin B,
c===2sin C.
∴b+c=2sin B+2sin C=2sin B+2sin (A+B)
=2sin B+2sin Acos B+2cos Asin B
=3sin B+cos B=2sin (B+) ,
∵B∈(0,),∴B+∈(,).
sin (B+)∈(,1],所以b+c∈(,2].
解法二:∵a=,∴a2=b2+c2-2bccos A,
3=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,
∵bc≤()2,3≥(b+c)2-3()2,
(b+c)2≤12,即b+c≤2,
∵b+c>a=,b+c∈(,2].
[引申] (1)在本例条件下:①cos B+cos C的最大值为__1__;
②若b+c=1,则a的取值范围是__[,1)__;
③的取值范围是__(1,2]__.
(2)在本例(2)的条件下,①△ABC面积的最大值为____;
②若△ABC为锐角三角形,则△ABC面积的取值范围是__(,]__.
③若△ABC的面积为2,则a的最小值为__2__.
[解析] (1)①cos B+cos C=cos B+cos (-B)
=cos B+sin B=sin (B+),
∵0 ∴
②由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos A
=(b+c)2-3bc≥=,
∴a≥,又a 另解:a2=(b+c)2-3bc=1-3b(1-b)=3(b-)2+
又∵0 ③==[sin B+sin (-B)]
=(sin B+cos B+sin B)=sin B+cos B
=2sin (B+).
∵0 ∴
即的取值范围是(1,2].
(2)①解法一:由余弦定理有a2=b2+c2-2bccos A,
即3=b2+c2-bc,
∴3≥2bc-bc=bc(当且仅当b=c时取等号),
∴S△ABC=bcsin A≤,
即△ABC面积的最大值为.
解法二:由题意b=2sin B,c=2sin C=2sin (-B),
∴bc=4sin Bsin (-B)=4sin B(cos B+sin B)
=sin 2B-cos 2B+1=2sin (2B-)+1.
∵0 ∴sin (2B-)≤1(当且仅当B=时取等号)故bc≤3.
∴S△ABC=bcsin A≤,
即△ABC面积的最大值为.
注:由A=知A的轨迹为弦BC所对优弧,显然当A在BC中垂线上即AB=AC,也就是△ABC为正三角形时S△ABC最大,又a=,∴S△ABC的最大值为.
换一角度理解,显然当S△ABC取最大值时对b、c要求相同,因此必有b=c.
②由①知S△ABC=bcsin A=sin (2B-)+,
∵△ABC为锐角三角形,
∴0,
即 ∴
注:根据上图显然当C=时,由tan =得b=1,此时S△ABC=.同理B=时,S△ABC=,又由①知S△ABC≤,故结合图形可知
③∵S△ABC=bcsin A=bc=2,∴bc=8,
又a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥bc=8,
(当且仅当b=c时取等号),∴amin=2.
名师点拨 ☞
三角函数中最值(或范围)问题
△ABC中,若已知角C及其对边c.
(1)可用“化角”的方法求形如a+b=(sin A+sin B)的式子的取值范围;
(2)可用余弦定理得含有a+b、ab及a2+b2的等式,再利用均值定理化为以a+b或ab为变量的不等式求得a+b或ab的最值,从而可得三角形周长或面积的最值.
〔变式训练3〕
(1)(2020·甘肃天水一中学段考试)在△ABC中,B=,若b=2,则△ABC面积的最大值是( D )
A.4+4 B.4
C.4 D.2+2
(2)(2018·北京,14)若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=____;的取值范围是__(2,+∞)__.
[解析] (1)由余弦定理有8=a2+c2-2accos ,
即8=a2+c2-ac≥(2-)ac,
(当且仅当a=c时取等号),
∴ac≤=4(2+),
∴S△ABC=acsin ≤2+2,故选D.
(2)本题主要考查正弦、余弦定理,三角形面积公式,三角恒等变换.
依题意有acsin B=(a2+c2-b2)=×2accos B,则tan B=,∵0<∠B<π,∴∠B=.
===+=+·,
∵∠C为钝角,∴-∠A>,
又∠A>0,∴0<∠A<,则0
∴>,故>+×=2.
故的取值范围为(2,+∞).
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知识梳理·双基自测
知识点一 正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
__==__=2R(其中R是△ABC外接圆的半径)
a2=__b2+c2-2bccos A__
b2=__a2+c2-2accos B__
c2=__a2+b2-2abcos C__
常见
变形
①a=__2Rsin A__,
b=__2Rsin B__,
c=__2Rsin C__
②sin A=____,
sin B=____,
sin C=____
③a︰b︰c=__sin A︰sin B︰sin C__
④asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A
cos A=____
cos B=____
cos C=____
解决解斜三角形的问题
(1)已知两角和任一边,求另一角和其他两条边
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角
(1)已知三边,求各角
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角
知识点二 在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a
bsin A a≥b
a>b
a≤b
解的个数
无解
一解
两解
一解
一解
无解
知识点三 三角形常用面积公式
(1)S=a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S=absin C=acsin B=bcsin A.
(3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径).
在△ABC中,常有以下结论
1.∠A+∠B+∠C=π.
2.在三角形中,大边对大角,大角对大边.
3.任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
4.sin (A+B)=sin C;cos (A+B)=-cos C;tan (A+B)=-tan C;sin =cos ,cos =sin .
5.tan A+tan B+tan C=tan A·tan B·tan C.
6.∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A
sin2B=sin2A+sin2C-2sin Asin Ccos B,
sin2C=sin2A+sin2B-2sin Asin Bcos C.
8.若A为最大的角,则A∈[,π);若A为最小的角,则A∈(0,];若A、B、C成等差数列,则B=.
题组一 走出误区
1.(多选题)下列命题正确的是( ABC )
A.在△ABC中,A>B必有sin A>sin B
B.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c且a=1,c=,A=,则b=1或2
C.若满足条件C=60°,AB=,BC=a的△ABC有两个,则实数a的取值范围是(,2)
D.在△ABC中,若bcos B=acos A,则△ABC是等腰三角形
题组二 走进教材
2.(必修5P10A组T8改编)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b=( D )
A. B.
C.2 D.3
[解析] 由余弦定理,得4+b2-2×2bcos A=5,整理得3b2-8b-3=0,解得b=3或b=-(舍去),故选D.
3.(必修5P10A组T3改编)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=( B )
A.45° B.75°
C.105° D.60°
[解析] 由题意:=,即sin B===,结合b
[解析] 设△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c.
由题意及余弦定理得
cos A===,解得c=2.
所以S=bcsin A=×4×2×sin 60°=2.
题组三 考题再现
5.(2019·全国卷Ⅰ,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-,则=( A )
A.6 B.5
C.4 D.3
[解析] 由题意及正弦定理得,b2-a2=-4c2,所以由余弦定理得,cos A===-,得=6.故选A.
6.(2019·全国卷Ⅱ,5分)在△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B=____.
[解析] 方法一:依题意与正弦定理得sin Bsin A+sin Acos B=0,即sin B=-cos B,则tan B=-1.又0 方法二:由正弦定理得bsin A=asin B,又bsin A+acos B=0,所以asin B+acos B=0,即sin B=-cos B,则tan B=-1.又0 方法三:依题意得bsin A=-acos B>0,故cos B<0,B为钝角.如图,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,则CE=bsin ∠BAC,BE=-acos ∠ABC,故BE=CE.又CE⊥AB,所以∠CBE=,∠ABC=.
7.(2019·全国卷Ⅱ,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为__6__.
[解析] 方法一:因为a=2c,b=6,B=,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得62=(2c)2+c2-2×2c×ccos ,得c=2,所以a=4,所以△ABC的面积S=acsin B=×4×2×sin =6.
方法二:因为a=2c,b=6,B=,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得62=(2c)2+c2-2×2c×ccos ,得c=2,所以a=4,所以a2=b2+c2,所以A=,所以△ABC的面积S=×2×6=6.
KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一 利用正、余弦定理解
三角形——自主练透
考向1 正弦定理的应用
例1 (1)(2020·东北师范大学附属中学模拟)在△ABC中,a=1,A=,B=,则c=( A )
A. B.
C. D.
(2)(2020·河南南阳期中)在△ABC中,a=8,b=10,A=45°,则此三角形解的情况是( B )
A.一解 B.两解
C.一解或两解 D.无解
[解析] (1)方法一:sin C=sin [π-(A+B)]=sin (A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,由正弦定理=得c===,故选A.
方法二:由正弦定理=,得b===,则cos C=-cos (A+B)=-(cos Acos B-sin Asin B)=-.由余弦定理可得,c===.故选A.
(2)因为bsin 45°=5<8 考向2 余弦定理的应用
例2 (1)(2020·吉林模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=3,A=60°,则边c=( C )
A.1 B.2
C.4 D.6
(2)(2020·百校联盟第二次联考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若sin A=3sin B,c=,且cos C=,则a=( B )
A.2 B.3
C.3 D.4
(3)在△ABC中,sin A︰sin B︰sin C=4︰5︰6,则=__1__.
[解析] (1)a2=c2+b2-2cbcos A⇒13=c2+9-2c×3×cos 60°,即c2-3c-4=0,解得c=4或c=-1(舍去).故选C.
(2)由正弦定理结合题意得a=3b,不妨设b=m,a=3m(m>0),结合余弦定理有:cos C===,求解关于实数m的方程可得m=1,则a=3m=3.
(3)由正弦定理得sin A︰sin B︰sin C=a︰b︰c=4︰5︰6,设a=4,则b=5,c=6,又由余弦定理知cos A===,所以==2××cos A=2××=1.
名师点拨 ☞
(1)在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其他边角的问题时,首先必须判明是否有解,(例如在△ABC中,已知a=1,b=2,A=60°,则sin B=sin A=>1,问题就无解),如果有解,是一解,还是两解.
(2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系,也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系.
(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”.
(4)已知边多优先考虑余弦定理,角多优先考虑正弦定理.
考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状——师生共研
例3 (1)(2020·长春调研)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos C-2ccos B=a,且B=2C,则△ABC的形状是( B )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
(2)(2020·开封调研)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+b2)sin (A-B)=(a2-b2)sin (A+B),则△ABC的形状是( D )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
[解析] (1)因为2bcos C-2ccos B=a,所以2sin Bcos C-2sin Ccos B=sin A=sin (B+C),即sin Bcos C=3cos Bsin C,所以tan B=3tan C,又B=2C,所以=3tan C,得tan C=,C=,B=2C=,A=,故△ABC为直角三角形.故选B.
(2)解法一:已知等式可化为a2[sin (A-B)-sin (A+B)]=b2[-sin (A+B)-sin (A-B)],
∴2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A.
由正弦定理知上式可化为sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A,
∴sin 2A=sin 2B,由0<2A<2π,0<2B<2π,
得2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A=-B,
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.
解法二:同解法一可得
2a2cos Asin B=2b2sin Acos B.
a2b·=b2a·,
∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),
即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a=b或a2+b2=c2,
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D.
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三角形形状的判定方法
(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如a=2Rsin A,a2+b2-c2=2abcos C等),利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系,如sin A=sin B⇔A=B;sin (A-B)=0⇔A=B;sin 2A=sin 2B⇔A=B或A+B=等.
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,如sin A=,cos A=等,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.
(3)注意无论是化边还是化角,在化简过程中出现公因式不要轻易约掉,否则会有漏掉一种形状的可能.
〔变式训练1〕
(1)(2020·济南一中检测)在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别为a,b,c,A为锐角,lg b+lg =lg sin A=-lg ,则△ABC为( D )
A.锐角三角形 B.等边三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
(2)在△ABC中,若c-acos B=(2a-b)cos A,则△ABC的形状为__等腰或直角三角形__.
[解析] (1)由lg b+lg =lg =-lg =lg ,得=,即c=b.由lgsin A=-lg,得sin A=,
又A为锐角,所以cos A=.
由余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A得a=b,
故B=A=45°,因此C=90°.故选D.
(2)因为c-acos B=(2a-b)cos A,所以由正弦定理
得sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A,
所以sin (A+B)-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A,
故cos A(sin B-sin A)=0,
所以cos A=0或sin A=sin B,即A=或A=B,
故△ABC为等腰或直角三角形.
考点三 与三角形面积有关的问题——师生共研
例4 (2019全国卷Ⅲ,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin =bsin A.
(1)求B;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
[解析] (1)由题设及正弦定理得sin Asin =sin Bsin A.
因为sin A≠0,所以sin =sin B.
由A+B+C=180°,可得sin =cos ,
故cos =2sin cos .
因为cos ≠0,故sin =,因此B=60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=a.
由正弦定理得a===+.
由于△ABC为锐角三角形,故0° 由(1)知A+C=120°,
所以30°
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三角形面积公式的应用原则
1.对于面积公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
2.与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
〔变式训练2〕
(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin (A+C)=8sin2.
(1)求cos B;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
[解析] (1)解法一:∵sin (A+C)=8sin2,
∴sin B=8sin2,即2sin ·cos =8sin2,
∵sin >0,∴cos =4sin ,
∴cos2=1-sin2=16sin2,∴sin2=
∴cos B=1-2sin2=.
解法二:由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2,
故sin B=4(1-cos B).
上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,
解得cos B=1(舍去),cos B=.
(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=acsin B=ac.
又S△ABC=2,则ac=.
由余弦定理及a+c=6得,
b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)
=36-17×=4,∴b=2.
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
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三角形的最值问题
例5 (2020·河南郑州检测)在△ABC中,内角A,B,C对应的三边长分别为a,b,c,且满足c(acos B-b)=a2-b2.
(1)求角A;
(2)若a=,求b+c的取值范围.
[分析] (1)“化边”用余弦定理求A;
(2)b+c=(sin B+sin C),而已知,故可转化为求sin B+sin C的取值范围,也可用余弦定理及均值不等式构造关于b+c的不等关系求解.
[解析] (1)∵c(acos B-b)=a2-b2,
∴a2+c2-b2-bc=2a2-2b2,a2=b2+c2-bc,
∵a2=b2+c2-2bccos A,∴cos A=.
又0 (2)解法一:由正弦定理得b===2sin B,
c===2sin C.
∴b+c=2sin B+2sin C=2sin B+2sin (A+B)
=2sin B+2sin Acos B+2cos Asin B
=3sin B+cos B=2sin (B+) ,
∵B∈(0,),∴B+∈(,).
sin (B+)∈(,1],所以b+c∈(,2].
解法二:∵a=,∴a2=b2+c2-2bccos A,
3=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,
∵bc≤()2,3≥(b+c)2-3()2,
(b+c)2≤12,即b+c≤2,
∵b+c>a=,b+c∈(,2].
[引申] (1)在本例条件下:①cos B+cos C的最大值为__1__;
②若b+c=1,则a的取值范围是__[,1)__;
③的取值范围是__(1,2]__.
(2)在本例(2)的条件下,①△ABC面积的最大值为____;
②若△ABC为锐角三角形,则△ABC面积的取值范围是__(,]__.
③若△ABC的面积为2,则a的最小值为__2__.
[解析] (1)①cos B+cos C=cos B+cos (-B)
=cos B+sin B=sin (B+),
∵0 ∴
=(b+c)2-3bc≥=,
∴a≥,又a 另解:a2=(b+c)2-3bc=1-3b(1-b)=3(b-)2+
又∵0 ③==[sin B+sin (-B)]
=(sin B+cos B+sin B)=sin B+cos B
=2sin (B+).
∵0 ∴
(2)①解法一:由余弦定理有a2=b2+c2-2bccos A,
即3=b2+c2-bc,
∴3≥2bc-bc=bc(当且仅当b=c时取等号),
∴S△ABC=bcsin A≤,
即△ABC面积的最大值为.
解法二:由题意b=2sin B,c=2sin C=2sin (-B),
∴bc=4sin Bsin (-B)=4sin B(cos B+sin B)
=sin 2B-cos 2B+1=2sin (2B-)+1.
∵0 ∴sin (2B-)≤1(当且仅当B=时取等号)故bc≤3.
∴S△ABC=bcsin A≤,
即△ABC面积的最大值为.
注:由A=知A的轨迹为弦BC所对优弧,显然当A在BC中垂线上即AB=AC,也就是△ABC为正三角形时S△ABC最大,又a=,∴S△ABC的最大值为.
换一角度理解,显然当S△ABC取最大值时对b、c要求相同,因此必有b=c.
②由①知S△ABC=bcsin A=sin (2B-)+,
∵△ABC为锐角三角形,
∴0,
即 ∴
又a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥bc=8,
(当且仅当b=c时取等号),∴amin=2.
名师点拨 ☞
三角函数中最值(或范围)问题
△ABC中,若已知角C及其对边c.
(1)可用“化角”的方法求形如a+b=(sin A+sin B)的式子的取值范围;
(2)可用余弦定理得含有a+b、ab及a2+b2的等式,再利用均值定理化为以a+b或ab为变量的不等式求得a+b或ab的最值,从而可得三角形周长或面积的最值.
〔变式训练3〕
(1)(2020·甘肃天水一中学段考试)在△ABC中,B=,若b=2,则△ABC面积的最大值是( D )
A.4+4 B.4
C.4 D.2+2
(2)(2018·北京,14)若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=____;的取值范围是__(2,+∞)__.
[解析] (1)由余弦定理有8=a2+c2-2accos ,
即8=a2+c2-ac≥(2-)ac,
(当且仅当a=c时取等号),
∴ac≤=4(2+),
∴S△ABC=acsin ≤2+2,故选D.
(2)本题主要考查正弦、余弦定理,三角形面积公式,三角恒等变换.
依题意有acsin B=(a2+c2-b2)=×2accos B,则tan B=,∵0<∠B<π,∴∠B=.
===+=+·,
∵∠C为钝角,∴-∠A>,
又∠A>0,∴0<∠A<,则0
故的取值范围为(2,+∞).
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