（山东专用）2021版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第四讲三角函数的图象与性质学案（含解析）

第四讲　三角函数的图象与性质
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　周期函数的定义及周期的概念
(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做__周期函数__.非零常数T叫做这个函数的__周期__.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小__正周期__.
(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，__2kπ(k∈Z，k≠0)__都是它们的周期，最小正周期是__2π__.
知识点二　正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
{x|x∈R}
{x|x∈R}
{x|x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z}
值域
__{y|－1≤y≤1}__
__{y|－1≤y≤1}__
__R__
单调性
在__[－＋2kπ，＋2kπ]__，k∈Z上递增；
在__[＋2kπ，＋2kπ]__，k∈Z上递减
在__[(2k－1)π，2kπ]__，k∈Z上递
增；在__[2kπ，(2k＋1)π]__，k∈Z上
递减
在(－＋kπ，＋kπ)，
k∈Z上递增
最值
x＝__＋2kπ(k∈Z) __
时，ymax＝1；x＝
__－＋2kπ(k∈Z)__
时，ymin＝－1
x＝__2kπ(k∈Z)__
时，ymax＝1；x＝
__π＋2kπ(k∈Z)__
时，ymin＝－1
无最值
奇偶性
__奇__
__偶__
__奇__
对
称
性
对称
中心
__(kπ，0)，k∈Z__
____
(，0)，k∈Z
对称
轴
__x＝kπ＋，k∈Z__
__x＝kπ，k∈Z__
无对称轴
最小正周期
__2π__
__2π__
__π__

1．函数y＝sin x，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是__(0,0)__、__(，1)__、__(π，0)__、__(，－1)__、__(2π，0)__.
函数y＝cos x，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是__(0,1)__、__(，0)__、__(π，－1)__、__(，0)__、__(2π，1)__.
2．函数y＝sin x与y＝cos x的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，如y＝cos x的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，而不是x＝2kπ(k∈Z)．
3．对于y＝tan x不能认为在其定义域上为增函数，而是在每个区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)内为增函数．

题组一　走出误区
1．(多选题)下列命题错误的是(　ABC　)
A．y＝sin x在第一象限是增函数
B．正切函数y＝tan x在定义域内是增函数
C．y＝sin |x|是周期为π的函数
D．y＝cos x，x∈(0,4π)不是周期函数
题组二　走进教材
2．(必修4P45T3改编)函数y＝tan 2x的定义域是(　D　)
A．{x|x≠kπ＋，k∈Z}　　 B．{x|x≠＋，k∈Z}
C．{x|x≠kπ＋，k∈Z}　　 D．{x|x≠＋，k∈Z}
[解析]　由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以y＝tan 2x的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．
3．(必修4P40T4改编)下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是(　B　)
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在[－，]上是增函数，在[－π，－]及[，π]上是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在[，π]及[－π，－]上是增函数，在[－，]上是减函数
[解析]　函数y＝4sin x在[－π，－]和[，π]上单调递减，在[－，]上单调递增．故选B．
4．(必修4P38T3改编)函数y＝3－2cos (x＋)的最大值为__5__，此时x＝__＋2kπ(k∈Z)__.
[解析]　函数y＝3－2cos (x＋)的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
题组三　考题再现
5．(2019·全国卷Ⅱ，5分)下列函数中，以为周期且在区间(，)上单调递增的是(　A　)
A．f(x)＝|cos 2x|　　 B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos |x|　　 D．f(x)＝sin |x|
[解析]　A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈(，)时，2x∈(，π)，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈(，)时，2x∈(，π)，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos |x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin |x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确，故选A．
6．(2019·全国卷Ⅰ，5分)关于函数f(x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数
②f(x)在区间(，π)上单调递增
③f(x)在[－π，π]有4个零点
④f(x)的最大值为2
其中所有正确的结论的编号是(　C　)
A．①②④　　 B．②④　　
C．①④　　 D．①③
[解析]　方法一：f(－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当
方法二：∵f(－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确，排除B；当
KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　三角函数的定义域、值域——自主练透
例1　(1)函数y＝的定义域为(　B　)
A．[，]
B．[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)
C．(2kπ＋，2kπ＋)(k∈Z)
D．[kπ＋，kπ＋](k∈Z)
(2)函数f(x)＝3sin (2x－)在区间[0，]上的值域为(　B　)
A．[－，]　　 B．[－，3]
C．[－，]　　 D．[－，3]
(3)(2020·山东邹平双语学校月考)函数f(x)＝sin2x＋cos x－(x∈[0，])的最大值是__1__.
[解析]　(1)由2sin x－1≥0，得sin x≥，作出单位圆与直线y＝的交点，可知2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．故选B．

(2)当x∈[0，]时，
2x－∈[－，]，sin (2x－)∈[－，1]，
故3sin (2x－)∈[－，3]，
即此时函数f(x)的值域是[－，3]．
(3)f(x)＝1－cos2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－(cos x－)2＋1，因为x∈[0，]，所以cos x∈[0,1]，所以当cos x＝时，函数取得最大值1.
名师点拨　☞
三角函数定义域、值域的求解策略
(1)求与三角函数有关的定义域问题实际上是解简单的三角不等式，可借助三角函数线或三角函数图象或借助单位圆求解．
(2)三角函数的值域或最值的求法：①对于形如y＝asin x＋bcos x的函数求最值，通过公式化为y＝sin (x＋φ)的形式，借助三角函数的图象求最值(值域)；②对于形如y＝Asin2x＋Bsin x＋C函数求最值，一般通过换元法求解(使用换元法时要注意新元的取值范围)．
考点二　三角函数的单调性——师生共研
例2　(1)(多选题)(2020·山东泰安第二次段考)函数f(x)＝3sin (－2x)的一个单调递增区间是(　AD　)
A．　　 B．
C．　　 D．
(2)(2020·洛阳模拟)已知ω>0，函数f(x)＝sin (ωx＋)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是(　A　)
A．　　 B．
C．　　 D．(0,2]
[解析]　(1)f(x)＝3sin (－2x)＝3cos (－2x)＝3cos (2x－)．令2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以函数f(x)的增区间为，k∈Z.令k＝0,1，可得选项AD正确，故选A、D．
(2)由 名师点拨　☞
三角函数单调性问题的解题策略
(1)求三角函数单调区间的两种方法：①代换法：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简．化为y＝Asin (ωx＋φ)或y＝Acos (ωx＋φ)的形式．求形如y＝Asin (ωx＋φ)或y＝Acos (ωx＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．②图解法：若函数的图象能够容易画出，可利用图象直观迅速求解．如某些含绝对值的三角函数．注：正、余弦型单调区间长度为半周期．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
〔变式训练1〕
(1)函数f(x)＝tan (2x－)的单调递增区间是(　B　)
A．[－，＋](k∈Z)
B．(－，＋)(k∈Z)
C．(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)
D．[kπ－，kπ＋](k∈Z)
(2)(2018· 课标全国Ⅱ，10)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]上是减函数，则实数a的最大值是(　C　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．π
[解析]　(1)由kπ－<2x－ (2)本题主要考查三角函数的图象及性质．f(x)＝cos x－sin x＝cos (x＋)．因为f(x)在[0，a]上是减函数，所以解得0 考点三　三角函数的周期性、奇偶性、对称性——多维探究
角度1　周期性
例3　(1)(2018·课标全国Ⅲ，6)函数f(x)＝的最小正周期为(　C　)
A．　　 B．　　
C．π　　 D．2π
(2)函数y＝2|sin (4x－)|的周期为__T＝__.
[解析]　(1)本题考查三角函数的周期．
解法一：f(x)的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．
f(x)＝＝sin x·cos x＝sin 2x，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
解法二：f(x＋π)＝＝＝f(x)，
∴π是f(x)的周期．
f(x＋)＝，
而tan (x＋)＝＝＝－，
∴f(x＋)＝－≠f(x)，
∴不是f(x)的周期，
∴也不是f(x)的周期．故选C．
(2)y＝2sin(4x－)的周期为，
所以y＝2|sin(4x－)|的周期为.
角度2　奇偶性
例4　已知函数f(x)＝sin (x＋θ)＋cos (x＋θ)，θ∈[－，]是偶函数，则θ的值为(　B　)
A．0　　 B．　　
C．　　 D．
[解析]　因为f(x)＝2sin (x＋＋θ)是偶函数，所以＋θ＝＋kπ，即θ＝＋kπ(k∈Z)，又因为θ∈[－，]，故θ＝.
角度3　对称性
例5　(多选题)已知函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　AD　)
A．关于点(，0)对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点(，0)对称
D．关于直线x＝对称
[解析]　由T＝π知ω＝＝＝2，
所以函数f(x)＝sin (2x＋)．
函数f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)；
函数f(x)的对称中心的横坐标满足2x＋＝kπ(k∈Z)，
解得x＝－＋(k∈Z)．故选A、D．
名师点拨　☞
(1)求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝Asin (ωx＋φ)或y＝Acos (ωx＋φ)或y＝Atan (ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)的形式，再分别应用公式T＝或T＝求解．
(2)三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y＝Asin (ωx＋φ)代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数．若y＝Asin (ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)．
(3)求函数y＝Asin (ωx＋φ)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题．
①∵y＝sin x的对称中心是(kπ，0)，(k∈Z)，
∴y＝Asin (ωx＋φ)的对称中心，由方程ωx＋φ＝kπ解出x＝，故对称中心为(，0)(k∈Z)．
②∵y＝sin x的对称轴是x＝kπ＋，k∈Z，
∴ωx＋φ＝kπ＋解出x＝，即x＝为函数y＝Asin (ωx＋φ)的对称轴方程．
③函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
(4)注意y＝tan x的对称中心为(，0)(k∈Z)．
〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2019·北京，5分)函数f(x)＝sin22x的最小正周期是____.
(2)(多选题)(角度2)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　BD　)
A．y＝sin (2x＋)
B．y＝cos (2x＋)
C．y＝sin 2x＋cos 2x
D．y＝sin(2x－)＋cos(2x－)
(3)(角度3)(2018·江苏)已知函数y＝sin (2x＋φ)(－<φ<)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是__－__.
[解析]　(1)∵f(x)＝sin22x＝，∴f(x)的最小正周期T＝＝.
(2)y＝sin (2x＋)＝cos 2x是偶函数，不符合题意．y＝cos (2x＋)＝－sin 2x是T＝π的奇函数，符合题意，同理C不是奇函数，D为y＝sin 2x，故选B、D．
(3)由题意可得sin (＋φ)＝±1，所以＋φ＝＋kπ，φ＝－＋kπ(k∈Z)，因为－<φ<，所以k＝0，φ＝－.故填－.

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
三角函数的值域与最值
　　例6　(1)函数y＝的值域为__[－3，]__.
(2)函数f(x)＝2sin xsin (x＋)，当x∈[0，]时，函数f(x)的值域为__[0，]__.
(3)函数y＝的值域为__[0，]__.
(4)若x是三角形的最小内角，则函数y＝sin x＋cos x－sin xcos x的最小值是(　A　)
A．－＋　　 B．＋
C．1　　 D．
[解析]　(1)解法一：y＝＝2＋，
由于－1≤sin x≤1，所以－5≤≤－，
∴函数的值域为[－3，]．
解法二：由y＝，解得sin x＝，
∵－1≤sin x≤1，
∴－1≤≤1，解得－3≤y≤，
∴函数的值域为[－3，]．
(2)f(x)＝2sin x(sin x＋cos x)＝sin2x＋sin xcos x＝＋＝sin (2x－)＋，
∵x∈[0，]，∴2x－∈[－，]，
∴sin (2x－)∈[－，1]．
∴f(x)∈[0，]．
(3)解法一：由y＝得sin x－ycos x＝3y－1，
∴sin (x＋φ)＝
其中sin φ＝，cos φ＝.
∴||≤1，解得0≤y≤.
解法二：可理解为点P(－cos x，－sin x)与点C(3,1)连线的斜率，点P(－cos x，－sin x)在单位圆上，如图所示．

故t＝满足kCA≤t≤kCB，设过点C(3,1)的直线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.
由原点到直线的距离不大于半径1，得≤1，解得0≤k≤.从而值域为[0，]．
(4)由条件知0 令t＝sin x＋cos x＝sin (x＋)，
又0 又t2＝1＋2sin xcos x，得sin xcos x＝，
得y＝t－＝－(t－1)2＋1，则－＋≤y<1，
所以函数的最小值为－＋.故选A．
名师点拨　☞
求三角函数值域或最值的方法
(1)y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)的值域为[－|a|＋b，|a|＋b]．
(2)y＝asin2x＋bcos x＋c可转化为关于cos x的二次函数，求在给定区间上的值域(或最值)即可．
(3)y＝asin2x＋bsin xcos x＋c·cos2xy＝Asin 2x＋Bcos 2xy＝sin (2x＋φ)，再利用sin (2x＋φ)的有界性求解，注意2x＋φ的取值范围．
(4)y＝(或y＝)可反解出sin x＝f(y)(或cos x＝f(y))由正、余弦函数的有界性(|f(y)|≤1)求解；y＝可根据式子的几何意义用数形结合方法求解，或化为sin (x＋φ)＝利用三角函数的有界性求解．
(5)y＝f(sin x±cos x，sin x·cos x)常用换元法，令t＝sin x±cos x＝sin (x±)，则cos xsin x＝，可化为关于t的二次函数在某区间上的值域或最值．
〔变式训练3〕
(1)函数y＝5－2cos (x－)的最大值为__7__，此时x＝__＋2kπ(k∈Z)__.
(2)(2020·黑龙江宜春二中月考)函数y＝的最大值是(　D　)
A．－1　　 B．－－1
C．1－　　 D．1＋
(3)(2019·云南调研)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域是__[－－，1]__.
[解析]　(1)函数y＝5－2cos (x－)的最大值为5＋2＝7，此时x－＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
(2)y＝，
∵2－≤2＋sin (x＋)≤2＋，
∴y≤＝1＋，故选D．
(3)设t＝sin x－cos x，则t2＝1－2sin xcos x，
sin xcos x＝，且－≤t≤，
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1，当t＝－时，ymin＝－－.
∴函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为[－－，1]．