（山东专用）2021版高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第二讲平面向量的基本定理及坐标表示学案（含解析）

第二讲　平面向量的基本定理及坐标表示

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理·双基自测

知识点一　平面向量的基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个__不共线__向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝__λ1e1＋λ2e2__.

知识点二　平面向量的坐标表示

在直角坐标系内，分别取与__x轴，y轴正方向相同__的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__(x，y)__叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝__(1,0)__，j＝(0,1)，0＝__(0,0)__.

知识点三　平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝__ (x1＋x2，y1＋y2) __，a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__，λa＝__(λx1，λy1)__，|a|＝____.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝__(x2－x1，y2－y1)__，||＝____.

知识点四　向量共线的坐标表示

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔__x1y2－x2y1＝0__.

　两个向量作为基底的条件：作为基底的两个向量必须是不共线的．平面向量的基底可以有无穷多组．

题组一　走出误区

1．(多选题)下列命题正确的是(　ACD　)

A．若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2

B．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝

C．平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变

D．当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标

题组二　走进教材

2．(必修4P100T2改编)(2020·北京十五中模拟)如果向量a＝(1,2)，b＝(4,3)，那么a－2b＝(　B　)

A．(9,8)　　 B．(－7，－4)

C．(7,4)　　 D．(－9，－8)

[解析]　a－2b＝(1,2)－(8,6)＝(－7，－4)，故选B．

3．(必修4P101A组T5改编)(2020·四川内江模拟)下列各组向量中，可以作为基底的是(　B　)

A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)

B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)

C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)

D．e1＝(2，－3)，e2＝(，－)

[解析]　A选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B选项中，不存在实数λ，使得e1＝λe2.故两向量不共线，故其可以作为基底；C选项中，e2＝2e1，两向量共线，故其不可以作为基底；D选项中，e1＝4e2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B．

题组三　考题再现

4．(2015·新课标全国Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　A　)

A．(－7，－4)　　 B．(7,4)

C．(－1,4)　　 D．(1,4)

[解析]　设C(x，y)，∵A(0,1)，＝(－4，－3)，

∴解得

∴C(－4，－2)，又B(3,2)，

∴＝(－7，－4)，选A．

5．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝____.

[解析]　由题意得2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，所以4λ＝2，得λ＝.

[名师点评]　本题考查平面向量共线的坐标条件——对应坐标成比例，难度与课本练习题目的程度相当．由向量共线、垂直求参数是高考命题的一个重点，做题时要做到：结论记得住，式子算得准．

6．(2015·北京)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝____；y＝__－__.

[解析]　由题中条件得＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－.

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一　平面向量基本定理的应用——师生共研

例1　(1)如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为__6__.

(2)已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λμ＝__－3__.

[分析]　利用平行四边形法则对作关于，为基底的分解．

[解析]　(1)解法一：以λ和μ为邻边作平行四边形OB1CA1，如图，则＝＋.

因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，

所以∠B1OC＝90°，在Rt△OB1C中，||＝2，

所以||＝2，||＝4，所以||＝||＝4，

所以＝4＋2，所以λ＋μ＝6.

解法二：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(1,0)，C(2cos 30°，2sin 30°)，B(cos 120°，sin 120°)．

即A(1,0)，C(3，)，B(－，)．

由＝λ＋μ＝λ(1,0)＋μ(－，)，

即(λ－μ，μ)＝(3，)，

得所以所以λ＋μ＝6.

(2)建立如图所示的平面直角坐标系xAy，

则＝(2，－2)，＝(1,2)，＝(1,0)．

由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，

即解得

所以λμ＝－3.故填－3.

[引申]　若将本例(1)中“＝λ＋μ”改为“＝λ＋μ”则λ＋μ＝__－__.

[解析]　过点B作BH∥OA交OC于H，由例(2)知在Rt△OBH中，|BH|＝2，|OH|＝，∴＝＋＝－2，∴λ＝－2，μ＝，故λ＋μ＝－.

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应用平面向量基本定理的关键

(1)基底必须是两个不共线的向量．

(2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．

(3)注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．

易错提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．

〔变式训练1〕

(2020·江苏南通月考)如图所示，半径长为1的扇形AOB的圆心角为120°，点C在弧AB上，且∠COB＝30°，若＝λ＋2μ，则λ＋μ＝____.

[解析]　根据题意，可得OA⊥OC，以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则有A(0,1)，C(1,0)，B(cos 30°，－sin 30°)，即(，－)，于是＝(0,1)，＝(1,0)，＝(，－)．

由＝λ＋2μ，得(1,0)＝λ(0,1)＋2μ(，－)，

∴解得故λ＋μ＝.

考点二　平面向量坐标的基本运算——自主练透

例2　(1)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.

①求3a＋b－3c；

②求满足a＝mb＋nc的实数m，n；

③求M，N的坐标及向量的坐标．

(2)设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为__(－4，－2)__.

[解析]　(1)由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．

①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)

＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

②因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，

所以解得.

③设O为坐标原点，

因为＝－＝3c，

所以＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，

所以M(0,20)．

又因为＝－＝－2b，

所以＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)．

所以N(9,2)．所以＝(9，－18)．

(2)设a＝(x，y)，x<0，y<0，则x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2(舍去)，

或者x＝－4，y＝－2，

即a＝(－4，－2)．

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平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．

(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．

考点三　向量共线的坐标表示及其应用——多维探究

角度1　利用向量共线求参数的值

例3　已知平面向量a＝(2m＋1,3)，b＝(2，m)，且a与b反向，则|b|等于(　B　)

A．　　 B．2

C．　　 D．或2

[解析]　根据题意a∥b知m(2m＋1)－3×2＝0，解得m＝－2或m＝.当m＝时，a＝(4,3)，b＝(2，)，则a＝2b，此时两向量同向，与已知不符，故m＝－2，此时b＝(2，－2)，故|b|＝2.故选B．

角度2　利用向量共线求解综合问题

例4　(2020·湖南“三湘教育联盟”联考)已知向量a＝(sin θ，1)，b＝(－sin θ，0)，c＝(cos θ，－1)，且(2a－b)∥c，则sin 2θ等于__－__.

[解析]　由题意知2a－b＝(3sin θ，2)，

又(2a－b)∥c，∴－3sin θ＝2cos θ，即tan θ＝－，

∴sin 2θ＝＝＝－.

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利用两向量共线解题的技巧

(1)一般地，在求一个与已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其它条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．

(2)如果已知两个向量共线，求某些参数的值，那么利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是：x1y2－x2y1＝0”比较简捷．

〔变式训练2〕

(1)(角度2)(2020·郑州月考)已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝(，1＋sin θ)，若a∥b，则锐角θ＝__45°__.

(2)(角度1)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k的取值范围是__{k|k∈R，且k≠1}__.

[解析]　(1)由a∥b，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝，

所以cos2θ＝，所以cos θ＝或cos θ＝－，

又θ为锐角，所以θ＝45°.故填45°.

(2)若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线．

因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，

＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，

所以1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.

故填{k|k∈R，且k≠1}．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

名师讲坛·素养提升

三点共线的充要条件

　　例5　如图△ABC中，＝，＝2，BF交CE于G，＝x＋y，是x＋y＝(　D　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[分析]　注意到E、G、C三点共线，B、G、F三点共线，利用三点共线的充要条件求解．

[解析]　∵B、G、F三点共线，＝x＋y＝＋y，

∴＋y＝1，①

又E、G、C三点共线，

∴＝x＋y＝x＋，

∴x＋＝1，②

由①、②可得x＝，y＝.∴x＋y＝，故选D．

[引申]　本例中若＝x＋y，则x＋y＝____.

[解析]　＝＋＝＋，

∴x＋y＝.

例6　(2020·山西运城期中)点O是△ABC内部一点，且满足2＋3＋4＝0，则△AOB，△BOC，△COA面积的比为(　A　)

A．4︰2︰3　　 B．2︰3︰4

C．4︰3︰2　　 D．3︰4︰5

[分析]　连CO并延长交AB于D，探求与间的关系可得S△AOB与S△ABC的比，同理可求S△AOC与S△ADC的比，进而得S△AOB︰S△BOC︰S△AOC.

[解析]　延长CO交AB于D.

∵2＋3＋4＝0，

∴2(－)＋3(－)＋4＝0，

∴＝(2＋3)

＝(＋)＝，

(提示∵＋＝1，且D与A、B共线)

∴＝

∴S△AOB＝S△ABC，同理S△COA＝S△ABC

∴S△AOB︰S△BOC︰S△COA＝4︰2︰3，故选A．

另解：(巧妙构图，秒杀面积问题)

□OMQN中＝2，＝3，

＝－＝，

显然2＋3＋4＝0，且O为△PMN的重心．

记S△PON＝S△POM＝S△MON＝S.

∴S△AOB︰S△BOC︰S△COA＝︰︰＝4︰2︰3，故选A．

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设、不共线，且＝λ＋μ，则P、A、B共线的充要条件是λ＋μ＝1.

证明：充分性：∵λ＋μ＝1，∴＝λ＋μ＝(1－μ)＋μ＝＋μ(－)＝＋μ.∴－＝μ.∴＝μ，∴，共线．∵有公共点A，∴A，P，B三点共线．必要性：若P，A，B三点共线，则＝μ＝μ(－)．∴－＝μ－μ.∴＝(1－μ)＋μ.令λ＝1－μ，则＝λ＋μ，其中μ＋λ＝1.

〔变式训练3〕

(1)(2020·山东曲阜模拟)如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　B　)

A．　　 B．　　

C．1　　 D．3

(2)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为(　C　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　(1)解法一：设＝λ(λ>0)，＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ(－)＝(1－λ)＋，因为＝m＋，所以＝，得λ＝，所以m＝1－λ＝，故选B．

解法二：＝m＋＝m＋，∴m＋＝1，∴m＝.

(2)如图，设AB的中点为D.由5＝＋3，得3－3＝2－2，所以＝，所以C，M，D三点共线，且＝，所以△ABM与△ABC公共边AB上的两高之比为3︰5，则△ABM与△ABC的面积比为.