（山东专用）2021版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件学案（含解析）

第二讲　命题及其关系、充分条件与必要条件

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理·双基自测

知识点一　命题及四种命题之间的关系

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.

知识点二　充分条件与必要条件

1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；

(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；

(3)若A＝B，则p是q的充要条件；

(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；

(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；

(6)若AB且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

2．充分条件与必要条件的两个特征：

(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．

(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．

注意：不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．

题组一　走出误区

1．(多选题)下列命题正确的是(　BD　)

A．命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”

B．已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B

C．“α＝β”是“tan α＝tan β”的充分不必要条件

D．“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”

[解析]　A不正确，B、D正确；对于C，当α＝β＝时，tan α、tan β都无意义．因此不能设tan α＝tan β，当tan α＝tan β时，α＝β＋kπ，k∈Z，不一定α＝β，因此是既不充分也不必要条件．故选B、D．

题组二　走进教材

2．(选修2－1P8T3改编)下列命题是真命题的是(　A　)

A．矩形的对角线相等

B．若a>b，c>d，则ac>bd

C．若整数a是素数，则a是奇数

D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题

3．(选修2－1P10T4改编)x2－3x＋2≠0是x≠1的充分不必要条件．

[解析]　x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件．

题组三　考题再现

4．(2019·天津，5分)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　B　)

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

[解析]　由x2－5x<0可得0<x<5.由|x－1|<1可得0<x<2.由于区间(0,2)是(0,5)的真子集，故“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分条件．

5．(2015·山东，5分)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　D　)

A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0

B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0

C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0

D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

[解析]　由原命题和逆否命题的关系可知D正确．

6．(2018·北京，5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是f(x)＝sin_x(答案不唯一).

[解析]　这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，且函数f(x)在[0,2]上不是增函数即可．如f(x)＝sin x，答案不唯一．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一　命题及其关系——自主练透

例1 (1)命题“若a>b，则a2>b2”，能说明该命题为假命题的一组a，b的值依次为1，－2(不唯一).若此命题正确应增加的条件为a>b>0(不唯一).

(2)(多选题)下列命题正确的是(　AC　)

A．“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题

B．“全等三角形面积相等”的否命题

C．“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实数根”的逆否命题

D．若ab是正整数，则a、b都是正整数

(3)(2020·长春模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5，命题β：如果x≥3，那么x≥5，则命题α是命题β的(　A　)

A．否命题  B．逆命题

C．逆否命题  D．否定形式

(4)命题“若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零”的否定形式为若a＋b＝0，则a，b都大于零，否命题为若a＋b≠0，则a，b都大于零.

[解析]　(1)代入特殊值，当a＝1，b＝－2，发现a2<b2，为假命题．当a>b>0时可得a2>b2.

(2)A．“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题为“若x、y互为相反数，则x＋y＝0”，显然是真命题；B．“全等三角形面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”，假命题；C．“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题为“若x2＋x＋q＝0无实根，则q>－1”，x2＋x＋q＝0无实根则Δ＝1－4q<0，即q>，从而q>－1，故C为真命题．(也可由原命题为真得出结论)；D．显然是假命题，如ab＝2时，可能a＝－1，b＝－2，故填A、C．

(3)命题α：如果x<3，那么x<5，

命题β：如果x≥3，那么x≥5，

则命题α是命题β的否命题．

(4)否定形式：若a＋b＝0，则a，b都大于零．否命题：若a＋b≠0，则a，b都大于零．

名师点拨 ☞

(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变．

(2)判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例．

(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

考点二　充分必要条件

考向1　充分条件与必要条件的判断——师生共研

方法1：定义法判断

例2 (2019·浙江，4分)设a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　A　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

[解析]　方法一：因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，由a＋b≤4可得2≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；当ab≤4时，取a＝8，b＝，满足ab≤4，但a＋b>4，所以必要性不成立．所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A．

方法二：在同一坐标系内作出函数b＝4－a，b＝的图象，如图，则不等式a＋b≤4与ab≤4表示的平面区域分别是直线a＋b＝4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b＝及其左下方(第一象限中的部分)，易知当a＋b≤4成立时，ab≤4成立，而当ab≤4成立时，a＋b≤4不一定成立．故选A．

方法2：集合法判断

例3 (2018·天津，4)设x∈R，则“|x－|<”是“x3<1”的(　A　)

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

[解析]　本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断．

由|x－|<得－<x－<，解得0<x<1.

由x3<1得x<1.因为(0,1)(－∞，1)，所以“|x－|<”是“x3<1”的充分而不必要条件．

方法3　等价转化法判断

例4 (1)给定两个条件p，q，若¬p是q的必要不充分条件，则p是¬q的(　A　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

(2)“已知命题p：cosα≠，命题q：α≠”，则命题p是命题q的(　A　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

[解析]　(1)因为¬p是q的必要不充分条件，则q⇒¬p，但¬pq，其逆否命题为p⇒¬q，但¬qp，所以p是¬q的充分不必要条件．

(2) ¬p：cosα＝，¬q：α＝，显然¬q⇒¬p，¬p¬q，∴¬q是¬p的充分不必要条件，从而p是q的充分不必要条件，故选A．

另解：若cosα≠，则α≠2kπ±(k∈Z)，则α也必然不等于，故p⇒q；若α≠，但α＝－时，依然有cosα＝，故qp.所以p是q的充分不必要条件．故选A．

名师点拨 ☞

有关充要条件的判断常用的方法

(1)根据定义判断：①弄清条件p和结论q分别是什么；②尝试p⇒q，q⇒p.若p⇒q，则p是q的充分条件；若q⇒p，则p是q的必要条件；若p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件；若pq，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．

(2)利用集合判断

(3)利用等价转化法：对于带有否定性词语的命题，常用此法，即要判断p是q的什么条件，只需判断¬q是¬p的什么条件．

〔变式训练1〕

(1)指出下列各组中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．

①在△ABC中，p：A＝B，q：sinA＝sinB；

②已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0；

③非空集合A，B中，p：x∈(A∪B)，q：x∈B；

④对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.

(2)(2019·北京，5分)设函数f(x)＝cos x＋bsin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的(　C　)

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

[解析]　(1)①在△ABC中，A＝B⇒sinA＝sinB；反之，若sinA＝sinB，因为A与B不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A＝B，故p是q的充要条件．

②条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p⇒q但qp，故p是q的充分不必要条件．

③显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈(A∪B)，所以p是q的必要不充分条件．

④易知¬p：x＋y＝8，¬q：x＝2且y＝6，显然¬q⇒¬p，但¬p¬q，但¬q是¬p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．

(2)b＝0时，f(x)＝cos x，显然f(x)是偶函数，故“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分条件；f(x)是偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cos x＋bsin x，又cos(－x)＝cos x，sin(－x)＝－sin x，所以cos x－bsin x＝cos x＋bsin x，则2bsin x＝0对任意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f(x)是偶函数”的必要条件．因此“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分必要条件，故选C．

考向2　充要条件的应用——多维探究

角度1　充要条件的探究

例5 (多选题)(2020·江西赣州十四县市高三上期中改编)角A，B是△ABC的两个内角．下列六个条件下，“A>B”的充要条件是(　ABD　)

A．sin A>sin B  B．cos A<cos B

C．tan A>tan B  D．cos2A<cos2B

[解析]　当A>B时，根据“大边对大角”可知，a>b，由于＝，所以sin A>sin B，则A是“A>B”的充要条件；由于0<B<A<π，余弦函数y＝cos x在区间(0，π)内单调递减，所以cos A<cos B，则B是“A>B”的充要条件；当A>B时，若A为钝角，B为锐角，则tan A<0<tan B，则C不是“A>B”的充要条件；当cos2A<cos2B，即1－sin2A<1－sin2B，所以sin2A>sin2B，所以D是“A>B”的充要条件；故选A、B、D．

角度2　利用充要条件求参数的值或取值范围

例6 (2020·山东省实验中学高三诊断)已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0.如果p是q的充分不必要条件，那么实数k的取值范围是(　B　)

A．[2，＋∞)  B．(2，＋∞)

C．[1，＋∞)  D．(－∞，－1]

[解析]　由q：(x＋1)(2－x)<0，可知q：x<－1或x>2.因为p是q的充分不必要条件，所以x≥k⇒x<－1或x>2，即[k，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，故k>2.故选B．

名师点拨 ☞

充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)一定要注意端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．

(3)注意区别以下两种不同说法：①p是q的充分不必要条件，是指p⇒q但qp；②p的充分不必要条件是q，是指q⇒p但pq.

(4)注意下列条件的等价转化：①p是q的什么条件等价于¬q是¬p的什么条件，②p是¬q的什么条件等价于q是¬p的什么条件．

〔变式训练2〕

(1)(角度1)(2020·陕西西安长安一中第二次月考)命题“对任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　B　)

A．a≥4  B．a>4

C．a≥1  D．a>1

(2)(角度2)(2020·福建三明月考)设命题p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　A　)

A．[0，]  B．(0，)

C．(－∞，0]∪[，＋∞)  D．(－∞，0)∪(，＋∞)

[解析]　(1)要使“对任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题，只需a≥4，∴a>4是命题为真命题的充分不必要条件．故选B．

(2)由|4x－3|≤1得≤x≤1，由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝(x－a)[x－(a＋1)]≤0得a≤x≤a＋1，

因为¬p是¬q的必要不充分条件，

所以p是q的充分不必要条件，有得0≤a≤.故选A．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

名师讲坛┃·素养提升

抽象命题间充要条件的判定

例7 已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①r是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④¬p是¬s的必要不充分条件；⑤r是s的充分不必要条件，则正确命题的序号是(　B　)

A．①④⑤  B．①②④

C．②③⑤  D．②④⑤

[分析]　本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法”．

[解析]　由题意得p，显然q⇒r且r⇒s⇒q，即q⇔r，①正确；p⇒r⇒s⇒q且qp，②正确；r⇔q，③错误；由p⇒s知¬s⇒¬p，但sp，∴¬p¬s，④正确；r⇔s，⑤错误．故选B．

名师点拨 ☞

命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然．

〔变式训练3〕

　若p是r的必要不充分条件，q是r的充分条件，则p是q的必要不充分条件．

[解析]　由题意可知q⇒rp，∴p是q的必要不充分条件．