（山东专用）2021版高考数学一轮复习第五章数列第一讲数列的概念与简单表示法学案（含解析）

第五章　数列
第一讲　数列的概念与简单表示法
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理·双基自测

知识点一　数列的有关概念
概念
含义
数列
按照__一定顺序__排列的一列数
数列的项
数列中的__每一个数__
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式__an＝f(n)__表达，这个公式叫做数列{an}的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝__a1＋a2＋…＋an__叫做数列{an}的前n项和
知识点二　数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点__(n，an)__画在平面直角坐标系中
公
式
法
通项
公式
把数列的通项使用__公式__表示的方法
递推
公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法
知识点三　an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝
知识点四　数列的分类


1．数列与函数
数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})的函数，当自变量__从小到大__依次取值时对应的一列函数值．数列的通项公式是相应函数的解析式，它的图象是__一群孤立的点__.
2．常见数列的通项公式
(1)自然数列：1,2,3,4，…，an＝n.
(2)奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1.
(3)偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n.
(4)平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2.
(5)2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n.
(6)乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)．
(7)正整数的倒数列：1，，，，…，an＝.
(8)重复数串列：9,99,999,9 999，…，an＝10n－1.
(9)符号数列：－1,1，－1,1，…或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1.

题组一　走出误区
1．(多选题)下列命题正确的是(　BD　)
A．所有数列的第n项都可以用公式表示出来
B．依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个
C．若an＋1－an>0(n≥2)，则函数{an}是递增数列
D．如果数列{an}的前n项和为Sn，则对于任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn
[解析]　对于A，因为数列是按一定顺序排列的一列数，如我班某次数学测试成绩，按考号从小到大的顺序排列，这个数列肯定没有通项公式，所以错误．
对于B，比如数列1,0,1,0，……的通项公式为：an＝或an＝或an＝，所以正确．
对于C，因为n＝1时，a2与a1不确定大小关系．
对于D，由数列前n项和的定义可知，当n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn，所以正确．故选B、D．
题组二　走进教材
2．(必修5P31T4改编)数列0，－，，－，…的一个通项公式是an＝(　A　)
A．(－1)n＋1·　　 B．(－1)n·
C．(－1)n－1·　　 D．(－1)n·
[解析]　奇数项符号为正，偶数项符号为负，故用(－1)n－1或(－1)n＋1调节，变为，观察发现各项分子项数的是立方数减1，分母是项数的平方数加1，故得an＝(－1)n＋1·.故选A．
3．(必修5P33A组T4改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于(　D　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
[解析]　a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.
4．(必修5P33A组T5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝__5n－4__.

题组三　考题再现
5．(2019·浙江，4分)设a，b∈R，数列{an}满足a1＝a，an＋1＝a＋b，n∈N*，则(　A　)
A．当b＝时，a10>10
B．当b＝时，a10>10
C．当b＝－2时，a10>10
D．当b＝－4时，a10>10
[解析]　当b＝时，因为an＋1＝a＋，所以a2≥，又an＋1＝a＋≥an，故a9≥a2×()7≥×()7＝4，a10>a≥32>10.当b＝时，an＋1－an＝(an－)2，故a1＝a＝时，a10＝，所以a10>10不成立．同理b＝－2和b＝－4时，均存在小于10的数x0，只需a1＝a＝x0，则a10＝x0<10，故a10>10不成立．所以选A．
6．(2018·全国卷Ⅰ，5分)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝__－63__.
[解析]　方法一：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；
当n＝2时，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；
当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；
当n＝5时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；
当n＝6时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32；
所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.
方法二：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63.

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU
考点突破·互动探究
考点一　由数列的前几项求数列的通项公式——自主练透
例1　根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)，，，，，…；
(3)，2，，8，，…；
(4)5,55,555,5555，…；
(5)－1，，－，，－，，….
[解析]　(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(－1)n调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．
(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故数列的一个通项公式为an＝.
(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即，，，，，…，故数列的一个通项公式为an＝.
(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故数列的一个通项公式为an＝(10n－1)．
(5)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因式(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·.
也可写为an＝
名师点拨　☞
由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等．
(2)具体策略：
①分式中分子、分母的特征；
②相邻项的变化特征；
③拆项后的特征；
④各项的符号特征和绝对值特征；
⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；
⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．
注意：并不是每个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一．
考点二　由an与Sn的关系求通项公式——多维探究
角度1　已知Sn求an问题
例2　(1)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n，则此数列的通项公式为an＝__2n－11__.
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，则此数列的通项公式为an＝____.
[解析]　(1)当n＝1时，a1＝S1＝1－10＝－9；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11.
当n＝1时，2×1－11＝－9＝a1，所以an＝2n－11.
故填2n－11.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1.
综上有an＝
故填
角度2　Sn与an的关系问题
例3　已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式为an＝__(－)n－1__.
[解析]　当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，所以a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，所以＝－，所以数列{an}为首项a1＝1，公比q＝－的等比数列，故an＝(－)n－1.　
名师点拨　☞
Sn与an关系问题的求解思路
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
已知Sn求an的一般步骤
(1)当n＝1时，由a1＝S1，求a1的值．
(2)当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表达式．
(3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an.
(4)写出an的完整表达式．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)(2020·福建三明一中期中)已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式(　B　)
A．an＝2n　　 B．an＝
C．an＝2n－1　　 D．an＝2n＋1
(2)(角度2)(2020·辽宁部分重点高中高三联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－1，则{an}的通项公式为(　B　)
A．an＝2n－1　　 B．an＝2n－1
C．an＝2n－1　　 D．an＝2n＋1
[解析]　(1)由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1.当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝故选B．
(2)当n＝1时，S1＝2a1－1＝a1，∴a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.因此an＝2n－1(n≥2)．又n＝1时，2n－1＝1＝a1，∴an＝2n－1.故选B．
考点三　由递推关系求通项公式——多维探究
角度1　形如an＋1＝an＋f(n)，求an
例4　(2020·河南师大附中月考)已知数列{an}满足an＋1＝an＋，a1＝1，则an＝__2－__.
[解析]　由题意知an－an－1＝
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝＋＋…＋＋1
＝＝2－.
角度2　形如an＋1＝anf(n)，求an
例5　(2020·宁夏银川月考)在数列{an}中，a1＝1,3an＋1＝(1＋)2an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为(　A　)
A．an＝　　 B．an＝
C．an＝　　 D．an＝
[解析]　解法一：由已知得＝×
∴an＝××…××a1
＝××××…×××1＝.
解法二：由题意得＝·.又n＝1时，＝1，故数列{}是首项为1，公比为的等比数列．从而＝，即an＝.故选A．
解法三：当n＝1时，选项A为1，B为1，C为，D为1，否定C，当n＝2时，由已知得a2＝，选项A为，B为，D为，否定B，D，故选A．
角度3　形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an
例6　(2020·西北师大附中调研)已知数列{an}满足a1＝－2，且an＋1＝3an＋6，则an＝__3n－1－3__.
[解析]　∵an＋1＝3an＋6，
∴an＋1＋3＝3(an＋3)，
又a1＝－2，∴a1＋3＝1，
∴{an＋3}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＋3＝3n－1，∴an＝3n－1－3.
名师点拨　☞
已知递推关系求通项，一般有三种常见思路
(1)算出前几项，再归纳、猜想．
(2)形如“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列．
(3)递推公式化简整理后，若为an＋1－an＝f(n)型，则采用累加法；若为＝f(n)型，则采用累乘法．
〔变式训练2〕
根据下列条件，写出数列{an}的通项公式：
(1)(角度1)若a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，则an＝__n2－2n＋2__；
(2)(角度2)若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则an＝____；
(3)(角度3)若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则an＝__2×3n－1－1__.
[解析]　(1)∵an＋1＝an＋2n－1，∴当n≥2时，a2－a1＝1，a3－a2＝3，…，an－an－1＝2n－3，
∴an－a1＝＝(n－1)2，∴an＝(n－1)2＋1＝n2－2n＋2，
又当n＝1时，12－2×1＋2＝1，∴n＝1时符合上式．
∴an＝n2－2n＋2.
(2)∵nan－1＝(n＋1)an，∴＝，又a1＝1，∴an＝··…··a1＝···…·＝.
(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，
∴a1＋1＝2，∴{an＋1}是首项为2公比为3的等比数列，
∴an＋1＝2×3n－1，∴an＝2×3n－1－1.
考点四　数列的函数性质——多维探究
角度1　数列的单调性
例7　若数列{an}满足an＝n2＋kn＋4(n∈N*)且{an}是递增数列，则实数k的取值范围为__k>－3__.
[解析]　由数列是一个递增数列，得an＋1>an，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，所以(n＋1)2＋k(n＋1)＋4>n2＋kn＋4，即k>－1－2n，又n∈N*，所以k>－3.
角度2　数列的周期性
例8　(2020·福建福清校际联盟期中联考)已知Sn为数列{an}前n项和，若a1＝，且an＋1＝(n∉N*)，则6S100＝(　A　)
A．425　　 B．428　　
C．436　　 D．437
[分析]　由递推公式逐项求解，探求规律．
[解析]　由数列的递推公式可得：
a2＝＝，a3＝＝3，a4＝＝－2，a5＝＝＝a1，
据此可得数列{an}是周期为4的周期数列，则：6S100＝6×25×(＋＋3－2)＝425.选A．
角度3　数列的最大、小项问题
例9　已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)()n，则数列{an}中的最大项是第__9、10__项．
[解析]　解法一：∵an＋1－an＝(n＋2)()n＋1－(n＋1)()n＝()n×，
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1 ∴该数列中有最大项，为第9、10项，
且a9＝a10＝10×()9.
解法二：根据题意，令(n≥2)，
即解得9≤n≤10.
又n∈N*，∴n＝9或n＝10，
∴该数列中有最大项，为第9、10项，
且a9＝a10＝10×()9.
名师点拨　☞
(1)解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
(2)判断数列单调性的方法：①作差(或商)法；②目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
(3)求数列中最大(小)项的方法：①根据数列的单调性判断；②利用不等式组(或)求出n的值，进而求得an的最值．
〔变式训练3〕
(1)(角度1)已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　D　)
A．(3，＋∞)　　 B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞)　　 D．(0，＋∞)
(2)(角度3)数列{an}的通项公式an＝，则数列{an}中的最小项是(　C　)
A．3　　 B．19　　
C．　　 D．
(3)(角度2)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a2 020等于__0__.
[解析]　(1)因为an＋1－an＝－＝，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N*，an＋1－an＝<0，
所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞)．
(2)令f(x)＝x＋(x>0)，运用基本不等式得f(x)≥2，当且仅当x＝3时等号成立．因为an＝n＋，所以n＋≥2，由于n∈N*，不难发现当n＝9或n＝10时，an＝19最小，故选B．
(3)由已知得a1＝0，a2＝－，a3＝，a4＝0，a5＝－，…，由此可知数列{an}的项是以3为周期重复出现的，而2 020＝3×673＋1，因此a2 020＝a1＝0.

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
逆推数列的通项公式的求法
热点一　an＋1＝(A、B、C为常数)型
例10　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的通项公式为an＝__(n∈N*)__.
[解析]　∵an＋1＝，a1＝1，∴an≠0，
∴＝＋，即－＝，又a1＝1，则＝1，
∴{}是以1为首项，为公差的等差数列，
∴＝＋(n－1)×＝＋，
∴an＝(n∈N*)．
[名师点拨]　形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．
热点二　an＋1＝pan＋f(n)(p为常数)型
例11　在数列{an}中，(1)若a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*，则an＝__4n－1＋n__.
(2)若a1＝1，an＋1＝2an＋3n，n∈N*，则an＝__3n－2n__.
[分析]　观察递推式特征：an＋1＝pan＋f(n)，类似等比数列，故可尝试化为等比数列求解，以(1)为例可设an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝4(an＋λn＋μ)，整理得an＋1＝4an＋3λn＋(3μ－λ)所以，即转化成功．
[解析]　(1)∵an＋1＝4an－3n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，即＝4，又a1＝2，∴a1－1＝1，∴{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列，∴an－n＝4n－1.∴an＝4n－1＋n.
(2)∵an＋1＝2an＋3n，令an＋1＋λ·3n＋1＝2(an＋λ·3n)比较系数得λ＝－1.∴an＋1－3n＋1＝2(an－3n)，即＝2，又a1＝1，∴a1－3＝－2，∴{an－3n}是首项为－2，公比为2的等比数列，∴an－3n＝－2n，∴an＝3n－2n.
另解：∵an＋1＝2an＋3n，∴＝·＋1
∴－3＝(－3)，又a1＝1，∴{－3}是首项为－2，公比为的等比数列，∴－3＝－2()n－1，∴an＝3n－2n.
名师点拨　☞
①形如an＋1＝Pan＋An＋B(P、A、B为常数)的类型，可令an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝P(an＋λn＋μ)，求出λ、μ的值即可知{an＋λn＋μ}为等比数列，进而可求an.
②形如an＋1＝Pan＋Aqn(P、A为常数)的类型．当p≠q时，可令an＋1＋λqn＋1＝p(an＋λqn)，求出λ的值即可知{an＋λqn}是等比数列，进而可求an，当p＝q时可化为＝＋A即－＝A(常数)知{}为等差数列，进而可求an.
〔变式训练4〕
在数列{an}中
(1)a1＝1，an＝(n≥2)，则an＝____；
(2)若a1＝1，an＋1＝2an－3n，n∈N*，则an＝__－5·2n－1＋3n＋3__；
(3)若a1＝1，an＋1＝2an＋3·2n，n∈N*，则an＝__(3n－2)·2n－1__.
[解析]　(1)将an＝两边取倒数，得－＝2，这说明{}是一个等差数列，首项是＝1，公差为2，所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，即an＝.
(2)∵an＋1＝2an－3n，令an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝2(an＋λn＋μ)，则即
∴an＋1－3(n＋1)－3＝2(an－3n－3)
又a1＝1，∴{an－3n－3}是首项为－5，公比为2的等比数列，∴an－3n－3＝－5·2n－1
∴an＝－5·2n－1＋3n＋3.
(3)∵an＋1＝2an＋3·2n，∴－＝3，又a1＝1，
∴{}是首项为1，公差为3的等差数列，
∴＝1＋3(n－1)，∴an＝(3n－2)·2n－1.