（山东专用）2021版高考数学一轮复习考案4第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入综合过关规范限时检测（含解析）

 [考案4]第四章　综合过关规范限时检测(时间：45分钟　满分100分)一、单选题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝(　A　)A．－2　 B．－1C．1　 D．2[解析]　因为复数z＝＋1＝＋1＝＋1－i为纯虚数，所以＋1＝0，且－≠0，解得a＝－2.故选A．2．(2020·武汉市调研考试)已知复数z满足z＋|z|＝3＋i，则z＝(　D　)A．1－i　　 B．1＋iC.－i　　 D．＋i[解析]　设z＝a＋bi，其中a，b∈R，由z＋|z|＝3＋i，得a＋bi＋＝3＋i，由复数相等可得解得故z＝＋i.故选D.3．(2020·江南十校联考)设D是△ABC所在平面内一点，＝2，则(　D　)A．＝－　　 B．＝－C.＝－　　 D．＝－[解析]　＝－＝＋－＝－－＝－.故选D.4．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos m，n＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　B　)A．4　 B．－4C．　 D．－[解析]　由4|m|＝3|n|，可设|m|＝3k，|n|＝4k(k>0)，又n⊥(tm＋n)，所以n·(tm＋n)＝n·tm＋n·n＝t|m||n|·cos m，n＋|n|2＝t×3k×4k×＋(4k)2＝4tk2＋16k2＝0，所以t＝－4.5．(2020·江西省九江市期末)在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，点P满足||＝1，记a＝·，b＝·，c＝·，则a，b，c的大小关系为(　C　)A．a>b>c　　 B．a>c>bC．b>a>c　　 D．b>c<a[解析]　以C为圆心，以CD，CB所在直线为x轴，y轴建立坐标系，则A(－4，－2)，B(0，－2)，D(－4,0)，设P(cos α，sin α)，则a＝(4,0)·(cos α＋4，sin α＋2)＝4cos α＋16，b＝(4,2)·(cos α＋4，sin α＋2)＝4cos α＋2sin α＋20，c＝(0,2)·(cos α＋4，sin α＋2)＝2sin α＋4，∵b－c＝2sin α＋4>0，∴b>a，∵a－c＝4cos α－2sin α＋12＝2cos(α＋φ)＋12>0，∴a>c，∴b>a>c.故选C.6．(2020·四川成都外国语学校月考)设P是△ABC所在平面内的一点，若·(＋)＝2·且||2＝||2－2·，则点P是△ABC的(　A　)A．外心　 B．内心C．重心　 D．垂心[解析]　由·(＋)＝2·，得·(＋－2)＝0，即·[(－)＋(－)]＝0，所以·(＋)＝0.设D为AB的中点，则·2＝0，故·＝0.因为||2＝||2－2·，所以(＋)·(－)＝2·，所以·(＋－2)＝0.设BC的中点为E，同理可得·＝0，所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，所以P是△ABC的外心．故选A．7．对于复数z1，z2，若(z1－i)z2＝1，则称z1是z2的“错位共轭”复数，则复数－i的“错位共轭”复数为(　D　)A．－－i　　 B．－＋iC.＋i　　 D．＋i[解析]　解法一：由(z－i)(－i)＝1，可得z－i＝＝＋i，所以z＝＋i.解法二：(z－i)(－i)＝1且|－i|＝1，所以z－i和－i是共轭复数，即z－i＝＋i，故z＝＋i.故选D.二、多选题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)8．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于(　AB　)A．－　　 B．C．0　　 D．2[解析]　由a∥b知1×2－m2＝0，所以m＝±.故选A、B.9．(2020·山东部分重点中学新高三起点考试)已知复数z＝(2＋i)(a＋2i3)在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值可以是(　CD　)A．－2　　 B．－1C．1　　 D．2[解析]　复数z＝(2＋i)(a＋2i3)＝(2＋i)(a－2i)＝2a＋2＋(a－4)i，其在复平面内对应的点(2a＋2，a－4)在第四象限，则2a＋2>0，且a－4<0，解得－1<a<4，则实数a的取值范围是(－1,4)．故选C、D.10．设向量a＝(k,2)，b＝(1，－1)，则下列叙述错误的是(　CD　)A．若k<－2时，则a与b夹角为钝角B．|a|的最小值为2C．与b共线的单位向量只有一个为(，－)D．若|a|＝2|b|，则k＝±2[解析]　当k<－2时，a·b＝k－2<0，且a与b不共线，故A正确．|a|＝≥2，故B正确．与b共线的单位向量有两个分别为(，－)和(－，)，故C错．对于D，当|a|＝2|b|时，＝2，解得k＝±2，故D错，因此选C、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．(2020·天津二十四中月考)已知向量p＝(2，－3)，q＝(x,6)，且p∥q，则|p＋q|的值为　　.[解析]　∵p∥q，∴x＝－4，∴q＝(－4,6)，∴p＋q＝(－2,3)，∴|p＋q|＝.12．(2020·河南郑州一中摸底)复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，i为虚数单位，若是实数，则实数b的值为__6__.[解析]　由题意设＝a(a∈R)，则＝a，即3－bi＝a－2ai，解得a＝3，b＝6.13．(2020·陕西西安二中测试)已知向量a在b方向上的投影为－1，向量b在a方向上的投影为－，且|b|＝1，则|a－b|＝　　.[解析]　设向量a和b所成的角为θ，由题意得|a|cos θ＝－1，|b|cos θ＝－.∵|b|＝1，∴cos θ＝－，|a|＝2，∴|a－b|2＝7，∴|a－b|＝.14．(2020·重庆一中月考)设非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|b|＝|a|，向量a，b的夹角为135°，则向量a，c的夹角为　90°　.[解析]　通解：∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴a2＋b·a＝－a·c.∵|a|＝|b|且a，b的夹角为135°，∴a·b＝－|a|2，∴a·c＝0，∴a，c的夹角为90°.优解一：如图所示，建立平面直角坐标系，设|a|＝|b|＝2，则a＝(2,0)，b＝(－，)，∵a＋b＋c＝0，∴c＝(0，－2)，∴a·c＝0，∴a，c的夹角为90°.优解二：如图所示，∵|a|＝|b|且a，b的夹角为135°，∴(a＋b)⊥a，又a＋b＝－c，∴a，c的夹角为90°.三、解答题(本大题共2个小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分15分)(2020·湖南怀化重点中学第三次联考)已知向量a＝(1,2)，b＝(cos α，sin α)，设m＝a＋tb(t∈R)．(1)若α＝，求当|m|取最小值时实数t的值；(2)若a⊥b，是否存在实数t，使得向量a－b与向量m的夹角为？若存在，求出实数t的值；若不存在，请说明理由．[解析]　(1)当α＝时，b＝(，)，a·b＝(1,2)·(，)＝.所以|m|＝＝＝＝，所以当t＝－时，|m|取最小值．(2)假设存在满足条件的实数t，则由条件得cos ＝.因为a⊥b，所以a·b＝0，所以(a－b)·(a＋tb)＝a2＋(t－1)a·b－tb2＝5－t，|a－b|＝＝＝，|a＋tb|＝＝＝，所以＝，即t2＋5t－5＝0，且t<5，解得t＝.所以存在t＝满足题意．16．(本小题满分15分)已知平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A(sin x,1)，B(cos x,0)，C(－sin x,2)，点P满足＝.(1)求函数f(x)＝·的对称轴方程；(2)若∥，求以线段OA，OB为邻边的平行四边形的对角线长．[解析]　(1)∵＝＝(cos x－sin x，－1)，＝(2sin x，－1)，f(x)＝2sin x(cos x－sin x)＋1＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)．令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，∴函数f(x)＝·的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.(2)设点P的坐标为(xP，yP)，则＝(xP－cos x，yP)，∵＝，∴cos x－sin x＝xP－cos x，yP＝－1，∴xP＝2cos x－sin x，yP＝－1，∴点P的坐标为(2cos x－sin x，－1)．∵＝(－sin x,2)且∥，∴(－1)×(－sin x)＝2×(2cos x－sin x)，∴＝，∵sin2x＋cos2x＝1，∴cos2x＝，∴|＋|＝＝＝＝，∴|－|＝＝＝＝，故以，为邻边的平行四边形的对角线长分别为，.