高中数学2.绝对值不等式的解法优秀第二课时课时作业

第二课时　绝对值不等式的解法

[基础达标]

1.不等式2<|2x＋3|≤4的解集为

A.

B.

C.

D.

解析　由2<|2x＋3|≤4得－4≤2x＋3<－2或2<2x＋3≤4，解得－≤x<－或－<x≤.故选C.

答案　C

2.集合{x|0<|x－1|<3，x∈Z}的真子集个数为

A.15　　　　  B.31　　　　  C.8　　　  　 D.7

解析　由0<|x－1|<3得－3<x－1<0或0<x－1<3，∴－2<x<1或1<x<4.

又x∈Z，∴x＝－1，0，2，3，故真子集个数为24－1＝15，选A.

答案　A

3.不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0的解集为________.

解析　根据绝对值的几何意义，去掉绝对值号后求解.

当x≤－时，原不等式可化为－1－2x＋2(x－1)＞0，整理得－3＞0，无解.

当－＜x≤1时，原不等式可化为2x＋1＋2(x－1)＞0，整理得4x－1＞0，即x＞，∴＜x≤1.

当x＞1时，原不等式可化为2x＋1－2(x－1)＞0，

整理得3＞0.

此时不等式的解为x＞1.

∴原不等式的解集为∪{x|x＞1}＝.

答案　

4.不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________.

解析　思路一：利用数轴对x进行分类讨论去掉绝对值符号，再解不等式.思路二：借助数轴，利用绝对值的几何意义求解.

解法一　要去掉绝对值符号，需要对x与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分.当x＜－2时，不等式等价于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3；当－2≤x＜1时，不等式等价于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，无解；当x≥1时，不等式等价于x－1＋x＋2≥5，解得x≥2.综上，不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}.

解法二　|x－1|＋|x＋2|表示数轴上的点x到点1和点－2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的x的取值为x≤－3或x≥2，所以不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}.

答案　{x|x≤－3或x≥2}

5.已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x)－2≤x≤1}.

(1)求a的值；

(2)若≤k恒成立，求k的取值范围.

解析　(1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.又f(x)≤3的解集为{x)－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意.

当a＞0时－≤x≤，得a＝2.

(2)记h(x)＝f(x)－2f，

则h(x)＝

所以|h(x)|≤1，因此k≥1.

[能力提升]

1.不等式(1＋x)(1－|x|)＞0的解集是

A.{x|0≤x＜1}　　 　　    B.{x|x＜0且x≠－1}

C.{x|－1＜x＜1}       D.{x|x＜1且x≠－1}

解析　解法一　原不等式等价于不等式组

①或②，

由①式得－1＜x＜1，由②式得x＜－1，

故知原不等式的解集是{x|x＜1且x≠－1}，故选D.

解法二　取x＝0，－2，显然是原不等式的解，故排除A、B、C从而选D.

解法三　函数y＝(1＋x)(1－|x|)的零点为－1，1，在(－∞，－1)，(－1，1)，(1，＋∞)上y的正负号依次为正、正、负，故选D.

答案　D

2.不等式|2x2－1|≤1的解集为

A.{x|－1≤x≤1}       B.{x|－2≤x≤2}

C.{x|0≤x≤2}        D.{x|－2≤x≤0}

解析　解法一　|2x2－1|≤1⇔－1≤2x2－1≤1⇔0≤2x2≤2⇔0≤x2≤1⇔－1≤x≤1.

解法二　从选项中找特殊值2，－2代入不等式中，发现不等式不成立，所以舍去B、C、D，故选A.

答案　A

3.＞0的解集为

A.)

B.)

C.)

D.

答案　C

4.已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上是增函数，则不等式loga|x＋1|>loga|x－3|的解集为

A.{x|x<－1}

B.{x|x<1}

C.{x|x<1，且x≠－1}

D.{x|x>1}

解析　因为a>0，且a≠1，所以2－ax为减函数.

又y＝loga(2－ax)在[0，1]上是增函数，

所以0<a<1，y＝logax为减函数.

所以|x＋1|<|x－3|，且x＋1≠0，x－3≠0.

由|x＋1|<|x－3|，得(x＋1)2<(x－3)2，

即x2＋2x＋1<x2－6x＋9，

解得x<1.又x≠－1，且x≠3，

故原不等式的解集为{x|x<1，且x≠－1}.

答案　C

5.若关于x的不等式>|2a＋1|＋1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是

A.[－1，0]        B.(－1，0)

C.(－1，1)        D.[－1，1]

解析　∵≥2(x≠0)，

∴|2a＋1|＋1<2，

即|2a＋1|<1，

解得－1<a<0.

答案　B

6.设f(x)＝x2－bx＋c，不等式f(x)＜0的解集是(－1，3)，若f(7＋|t|)＞f(1＋t2)，则实数t的取值范围是

A.(－1，2)        B.(－3，3)

C.(2，3)        D.(－1，3)

答案　B

7.不等式>3的解集是________.

答案　

8.若不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|恒成立，则m的取值范围为________.

解析　∵|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，∴不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|恒成立，只需|m－1|≤4，即－3≤m≤5.

答案　[－3，5]

9.不等式|x－1|＋|2x＋1|＞1的解集是________.

解析　原不等式等价于

或或解得x≤－或－＜x＜1或x≥1，所以x∈R.

答案　R

10.若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________.

解析　设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝当x＜－2时，y＝－3x－1＞5；

当－2≤x＜时，y＝－x＋3＞；当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范围为.

答案　

11.设函数f(x)＝|2x－4|＋1.

(1)画出函数y＝f(x)的图象；

(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围.

解析　(1)由于f(x)＝

则函数y＝f(x)的图象如图所示.

(2)由函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象可知，当且仅当a≥或a＜－2时，函数y＝f(x)与函数y＝ax的图象有交点，故不等式f(x)≤ax的解集非空时，a的取值范围为(－∞，－2)∪.

12.已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.

解析　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.

当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；

当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；

当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.

所以f(x)>1的解集为.

(2)由题设可得，

f(x)＝

所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.

由题设得(a＋1)2>6，故a>2.

所以a的取值范围为(2，＋∞).