高中数学人教版新课标A选修4-53.三个正数的算术——几何平均不等式优秀第三课时当堂达标检测题

第三课时　三个正数的算术——几何平均不等式

[基础达标]

1.若实数x、y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是

A.1　　　　　　　　　　    B.2

C.3          D.4

解析　由x2y＝2得xy＝，

∴xy＋x2＝＋x2＝＋＋x2≥3＝3.

当且仅当＝x2，即x＝1时取等号.故选C.

答案　C

2.设x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是

A.(－∞，lg 6]        B.(－∞，3lg 2]

C.[lg 6，＋∞)        D.[3lg 2，＋∞)

解析　∵x＋y＋z＝6，∴6≥3，

∴xyz≤8，∴lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2.故选B.

答案　B

3.若a＞b＞0，则a＋的最小值为

A.6          B.9

C.          D.

解析　a＋＝a－b＋b＋≥3＝6，

当且仅当a－b＝b＝，

即a＝4，b＝2时取等号，故选A.

答案　A

4.函数y＝4sin2x·cos x的最大值为________.

解析　y2＝16sin2x·sin2x·cos2x

＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8＝8×＝，

∴y2≤，当且仅当sin2x＝2cos2x，

即tan x＝±时，取等号.

∴ymax＝.

答案　

5.已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，

求证：≥9.

证明　∵a＋b＝1

∴左边＝＝1＋＋＋

＝1＋＋＋＝3＋＋＋＋

＝3＋＋＋＋

＝5＋2≥5＋2·2＝9＝右边.

当且仅当a＝b时取“＝”号.

∴≥9.

[能力提升]

1.若x>0，则4x＋的最小值是

A.9　　　 　 B.3　 　  C.13　　　　 D.不存在

解析　∵x>0，∴4x＋＝2x＋2x＋≥3，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立.

答案　B

2.若正数x，y满足xy2＝4，则x＋2y的最小值为

A.6     B.3     C.6    D.不存在

解析　∵xy2＝4，x>0，y>0，∴x＝.

∴x＋2y＝＋2y＝＋y＋y≥3＝3.

当且仅当x＝y＝时，等号成立，此时x＋2y的最小值为3.

答案　B

3.已知a，b，c为正数，则＋＋有

A.最小值3        B.最大值3

C.最小值2        D.最大值2

答案　A

4.已知a，b，c∈R＋，x＝，y＝，z＝，则

A.x≤y≤z         B.y≤x≤z

C.y≤z≤x         D.z≤y≤x

答案　B

5.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是

A.V≥π         B.V≤π

C.V≥π         D.V≤π

答案　B

6.已知x∈R＋，有不等式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，….启发我们可以推广为：x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a的值为

A.nn      B.2n     C.n2     D.2n＋1

答案　A

7.已知x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝P，xyz＝S.给出下列命题：

①如果S是定值，那么当且仅当x＝y＝z时，P的值最大；

②如果S是定值，那么当且仅当x＝y＝z时，P的值最小；

③如果P是定值，那么当且仅当x＝y＝z时，S的值最大；

④如果P是定值，那么当且仅当x＝y＝z时，S的值最小.

其中正确的命题为________(写出序号即可).

答案　②③

8.设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是________.

答案　4

9.θ为锐角，y＝sin θcos2θ的最大值是________.

答案　

10.甲、乙两人同时从A地出发走向B地，甲先用的时间以速度p行走，再用的时间以速度q行走，最后用的时间以速度r行走；乙在前的路程用速度p行走，中间的路程用速度q行走，最后的路程用速度r行走(p≠q≠r)，问甲、乙两人谁先到达B地，为什么？

解析　设A，B两地间的距离为s(s>0)，甲从A到B所用的时间为t1，乙从A到B所用的时间为t2，

由题意，得s＝p×＋q×＋r×，

∴t1＝，

t2＝÷p＋÷q＋÷r＝.

∴t2≥s＝>＝t1.

∵p≠q≠r，∴“＝”不成立.

∴t1<t2，甲先到B地.

11.设正实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求＋的最小值.

解析　因为正实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，所以＋＝＋＝1＋＋≥1＋2 ＝7，当且仅当＝，即x＋y＝，y＋z＝时，取等号.所以＋的最小值为7.

12.已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立.

证明　证法一　因为a、b、c均为正数，由平均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①

＋＋≥3(abc)－，②

所以≥9(abc)－.

故a2＋b2＋c2＋

≥3(abc)＋9(abc)－.

又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③

所以原不等式成立.

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立.

当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立.

即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立.

证法二　因为a，b，c均为正数，

由基本不等式得a2＋b2≥2ab，

b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，

所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①

同理＋＋≥＋＋，②

故a2＋b2＋c2＋

≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③

所以原不等式成立。

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立.

即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立.