数学人教版新课标A1.1变化率与导数优秀课时练习

§1.1.1　变化率问题 §1.1.2　导数的概念

[限时50分钟，满分80分]

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．质点运动规律s＝2t2＋5，则在时间(2，2＋Δt)中，相应的平均速度等于

A．8＋2Δt　　　　　　　　　  B．8＋2Δt＋

C．4＋Δt         D．8＋Δt

解析　Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2＋5－(2×22＋5)＝2(Δt)2＋8Δt.

∴＝＝8＋2Δt.

答案　A

2．函数y＝x2－2x在x＝2附近的平均变化率是

A．2          B．Δx

C．Δx＋2         D．1

解析　Δy＝f(2＋Δx)－f(2)

＝(2＋Δx)2－2(2＋Δx)－(4－4)

＝(Δx)2＋2Δx，

∴＝＝Δx＋2.

答案　C

3．设函数y＝f(x)可导，则等于

A．f′(1)         B．3f′(1)

C.f′(1)         D．以上都不对

解析　

＝3 ＝3f′(1)．

答案　B

4．一个物体的运动方程为s＝(2t＋1)2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在1秒末的瞬时速度是

A．10米/秒        B．8米/秒

C．12米/秒        D．6米/秒

解析　∵s＝4t2＋4t＋1，

Δs＝[4(1＋Δt)2＋4(1＋Δt)＋1]－(4×12＋4×1＋1)

＝4(Δt)2＋12Δt，

＝＝4Δt＋12，

∴v＝＝(4Δt＋12)＝12(米/秒)．

答案　C

5．如果函数y＝f(x)＝在点x＝x0处的瞬时变化率是，那么x0的值是

A.          B.

C．1          D．3

解析　函数f(x)＝在x＝x0处的瞬时变化率，

f′(x0)＝＝

＝＝，

∴x0＝.

答案　A

6．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它的瞬时速度为0米/秒的时刻为

A．8秒末         B．6秒末

C．4秒末         D．2秒末

解析　设当t＝t0时该物体瞬时速度为0米/秒，

∵＝

＝2t0＋Δt－，

∴＝2t0－，

由2t0－＝0得t0＝2.

答案　D

二、填空题(每小题5分，共15分)

7．函数y＝－3x2＋6在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率是________．

解析　＝

＝＝－6－3Δx.

答案　－6－3Δx

8．一质点的运动方程为s＝，则t＝3时的瞬时速度为________．

解析　由导数定义及导数的物理意义知

s′＝＝

＝＝－，

∴s′＝－，即t＝3时的瞬时速度为－.

答案　－

9．已知曲线y＝－1上两点A、B，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．

解析　Δy＝－

＝－＝＝.

∴＝＝－，

即k＝＝－.

∴当Δx＝1时，k＝－＝－.

答案　－

三、解答题(本大题共3小题，共35分)

10．(10分)一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2.

(1)求此物体的初速度；

(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；

(3)求t＝0到t＝2的平均速度．

解析　(1)v0＝

＝＝(3－Δt)＝3.

(2)v2＝＝(－Δt－1)＝－1.

(3)＝＝＝1.

11．(12分)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x0)＋2＝g′(x0)的x0值．

解析　由导数的定义知，

f′(x0)＝＝＝2x0，

g′(x0)＝＝＝3x.

因为f′(x0)＋2＝g′(x0)，

所以2x0＋2＝3x，即3x－2x0－2＝0，

解得x0＝或x0＝.

12．(13分)节日期间燃放烟花是中国的传统习惯之一，制造时通常希望它在达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋18，求烟花在t＝2 s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况．

解析　因为＝＝－9.8t－4.9Δt＋14.7，

所以h′(t)＝＝(－9.8t－4.9Δt＋14.7)

＝－9.8t＋14.7，

所以h′(2)＝－4.9，

即在t＝2 s时烟花正以4.9 m/s的速度下降．

由h′(t)＝0得t＝1.5，所以在t＝1.5 s附近，烟花运动的瞬时速度几乎为0，此时达到最高点并爆裂，在1.5 s之前，导数大于0且递减，所以烟花以越来越小的速度上升，在1.5 s之后，导数小于0且绝对值越来越大，所以烟花以越来越大的速度下降，直至落地．