高中数学人教版新课标A选修2-21.1变化率与导数优秀课后测评

§1.1.3　导数的几何意义

[限时50分钟，满分80分]

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是

A．f′(xA)＞f′(xB)　　　　　    B．f′(xA)＜f′(xB)

C．f′(xA)＝f′(xB)        D．不能确定

解析　由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，

结合导数的几何意义知f′(xA)＜f′(xB)，选B.

答案　B

2．曲线y＝x2－2在点处的切线的倾斜角为

A．1           B.

C.           D．－

解析　f′(1)＝

＝

＝(1＋Δx)＝1，

即切线的斜率为1，故切线的倾斜角为.

答案　B

3．若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a等于

A．1           B．2

C．3           D．4

解析　设切点坐标为(x0，1)，

则f′(x0)＝

＝(4x0＋2Δx－4)＝4x0－4＝0，

∴x0＝1，即切点坐标为(1，1)．

∴2－4＋a＝1，即a＝3.

答案　C

4．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为

A．(0，－2)         B．(1，0)

C．(0，0)          D．(1，1)

解析　设点M(x0，y0)，

∴k＝

＝2x0＋1，

令2x0＋1＝3，

∴x0＝1，则y0＝0.故选B.

答案　B

5．曲线y＝x2在点(1，1)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

A.           B.

C．1           D．2

解析　f′(1)＝＝＝(2＋Δx)＝2.

则曲线在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，

即y＝2x－1.

则三角形的面积为S＝×1×＝.

答案　A

6．已知点P在曲线F：y＝x3－x上，且曲线F在点P处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则点P的坐标为

A．(1，1)          B．(－1，0)

C．(－1，0)或(1，0)        D．(1，0)或(1，1)

解析　设点P(x0，y0)，则f′(x0)＝

＝

＝3x－1＝2⇒x0＝±1.

答案　C

二、填空题(每小题5分，共15分)

7．如果函数f(x)在x＝x0处的切线的倾斜角是钝角，那么函数f(x)在x＝x0附近的变化情况是________(填“逐渐上升”或“逐渐下降”)．

解析　由题意知f′(x0)<0，根据导数的几何意义知，f(x)在x＝x0附近的变化情况是“逐渐下降”．

答案　逐渐下降

8．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________．

解析　

＝(aΔx＋2a)＝2a＝2，

∴a＝1，又3＝a×12＋b，∴b＝2，

即＝.

答案　

9．已知曲线y＝的一条切线的斜率为，则切点的坐标为________．

解析　设切点的坐标为(x0，y0)，

因为＝＝x0＋Δx，

当Δx→0时，→x0，而切线的斜率为，

所以x0＝，所以x0＝1，y0＝.

故切点坐标为.

答案　

三、解答题(本大题共3小题，共35分)

10．(10分)已知曲线C：y＝x3.求：

(1)曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；

(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？

解析　(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，

∴切点为P(1，1)．

∵y′＝＝

＝

＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2，

∴y′|＝3.

∴点P处的切线方程为y－1＝3(x－1)，

即3x－y－2＝0.

(2)由

可得(x－1)(x2＋x－2)＝0，

解得x1＝1，x2＝－2.

从而求得公共点为P(1，1)或P(－2，－8)．

故第(1)小题中的切线与曲线C还有其他的公共点．

11．(12分)已知一物体的运动方程是s＝求此物体在t＝1和t＝4时的瞬时速度．

解析　当t＝1时，

＝＝6＋3Δt，

所以s′(1)＝＝(6＋3Δt)＝6.

故当t＝1时的瞬时速度为6.

当t＝4时，

＝＝6＋3Δt，

所以s′(4)＝＝(6＋3Δt)＝6，

故当t＝4时的瞬时速度为6.

12．(13分)已知曲线f(x)＝x2的一条在点P(x0，y0)处的切线，求：

(1)切线平行于直线y＝－x＋2时切点P的坐标及切线方程；

(2)切线垂直于直线x－4y＋5＝0时切点P的坐标及切线方程；

(3)切线的倾斜角为60°时切点P的坐标及切线方程．

解析　f′(x0)＝＝2x0.

(1)因为切线与直线y＝－x＋2平行，

所以2x0＝－1，x0＝－，即P，

所以切线方程为y－＝－，

即4x＋4y＋1＝0.

(2)因为切线与直线x－4y＋5＝0垂直，

所以2x0·＝－1，x0＝－4，即P(－4，16)．

所以切线方程为y－16＝－8(x＋4)，

即8x＋y＋16＝0.

(3)因为切线的倾斜角为60°，

所以切线的斜率为，即2x0＝，x0＝，

所以P，所以切线方程为y－＝，

即4x－4y－3＝0.