高中数学人教版新课标A选修2-21.2导数的计算精品测试题

§1.2.2　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

[限时50分钟，满分80分]

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．下列求导数运算正确的是

A.′＝1＋　　　   B．(log2x)′＝

C．(3x)′＝3xlog3e      D．(x2cos x)′＝－2xsin x

解析　对于A，′＝1－；对于B，由导数公式(logax)′＝知正确，故选B.

答案　B

2．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为

A．1         B．2

C．－1        D．－2

解析　设切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)．

又∵y′＝，∴＝1，即x0＋a＝1，∴y0＝0，x0＝－1，∴a＝2.

答案　B

3．曲线y＝cos在x＝处切线的斜率为

A．1         B．－1

C．2         D．－2

解析　∵y′＝－2sin，∴切线的斜率k＝－2sin＝－2.

答案　D

4．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于

A．e2         B．e

C.         D．ln 2

解析　f′(x)＝x·＋ln x＝1＋ln x，

因为f′(x0)＝2，所以1＋ln x0＝2，

ln x0＝1，x0＝e.

答案　B

5．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则

A．a＝e，b＝－1       B．a＝e，b＝1

C．a＝e－1，b＝1       D．a＝e－1，b＝－1

解析　∵y′＝aex＋ln x＋1，∴k＝y′|x＝1＝ae＋1，

∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，

即y＝(ae＋1)x－1.

∵已知切线方程为y＝2x＋b，

∴即故选D.

答案　D

6．若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于

A．－1或－        B．－1或

C．－或－        D．－或7

解析　设过点(1，0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)，

则切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即

y＝3xx－2x.

又点(1，0)在切线上，代入以上方程得x0＝0或x0＝.

当x0＝0时，直线方程为y＝0.

由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得

a＝－.

当x0＝时，直线方程为y＝x－.

由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1.

答案　A

二、填空题(每小题5分，共15分)

7．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________．

解析　∵y＝2ln(x＋1)，∴y′＝.当x＝0时，y′＝2，

∴曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.

答案　y＝2x

8．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．

解析　y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，

直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.

由题意得解得则a＋b＝－3.

答案　－3

9．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．

解析　∵f(x)＝f′cos x＋sin x，

∴f′(x)＝－f′sin x＋cos x，

∴f′＝－f′sin ＋cos ，

∴f′＝－1，

从而有f＝(－1)cos ＋sin ＝1.

答案　1

三、解答题(本大题共3小题，共35分)

10．(10分)求下列函数的导数：

(1)y＝；(2)y＝cos；

(3)y＝log2(4x＋7)；(4)y＝.

解析　(1)令u＝1－3x，则y＝u－4，

∴y′＝－4u－5·(1－3x)′

＝－4·(1－3x)－5·(－3)＝12(1－3x)－5.

(2)令u＝3x－，则y＝cos u，

∴y′＝(－sin u)·3＝－3sin.

(3)令u＝4x＋7，则y＝log2u，

∴y′＝·(4x＋7)′＝.

(4)令u＝x2＋3x＋1，则y＝2u，

∴y′＝2u(ln 2)·(x2＋3x＋1)′

＝(2x＋3)ln 2·.

11．(12分)已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线．求切线l的方程．

解析　∵f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，∴f(0)＝1.

f′(x)＝2ax－2＋＝，

f′(0)＝－1，

∴切点P的坐标为(0，1)，l的斜率为－1，

∴切线l的方程为x＋y－1＝0.

12．(13分)曲线y＝e2x·cos 3x在(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．

解析　y′＝(e2x)′·cos 3x＋e2x·(cos 3x)′

＝2e2x·cos 3x－3e2x·sin 3x

∴y′|x＝0＝2，∴在点(0，1)处的切线方程为

y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.

设所求直线l的方程为y＝2x＋b，

则＝，∴b＝6或－4.

∴所求直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.