人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课文配套课件ppt

这是一份人教版八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课文配套课件ppt，共30页。PPT课件主要包含了课前预习，复习回顾，垂线段最短，导入新课，斜边大于直角边，思维分析，把A平移到岸边，把B平移到岸边，怎样调整呢，问题解决等内容，欢迎下载使用。
1．掌握利用轴对称解决简单的最短路径问题。2．理解图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。3．通过对这个实际问题的解决，体会数学的应用价值。
1．已知两点A（3，2）和B（1，－2），点P在y轴上且使AP＋BP最短，则点P的坐标是（ ）A．（0， ）B．（0， ）C．（0，－1）D．（0， ）2．在等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　 ）A．7B．7或11C．11D．7或103．已知等腰三角形两边长分别为6cm、2cm，则这个三角形的周长是（　　）A．14cmB．10cmC．14cm或10cmD．12cm4．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（ 2，0 ），（4，0），点C的坐标为（m， m）（m为非负数），则CA＋CB的最小值是（ ）A．6B．C．D．55．已知，如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A，B两处距河岸的距离AC，BD的长分别为700米，500米，且CD的距离为500米，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走（ ）米A．1100B．1200C．1300D．1400
1．C 2．B 3．A 4．C 5．C
2、如图，在灌溉时需要把河AB中的水引到C处，如何挖渠能使渠道最短？
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
PC最短，因为垂线段最短
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？
三角形三边关系：两边之和大于第三边；
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.
连接AB,与直线l相交于一点C.
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想：　对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C． 则点C 即为所求．
问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC = AC +B′C = AB′， ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴　AC +BC＜AC′+BC′．　　即　AC +BC 最短．
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
1.如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
2.利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
3.把桥平移到和A相连.
4.把桥平移到和B相连.
AM+MN+BN长度改变了
把A或B分别向下或上平移一个桥长
那么怎样确定桥的位置呢?
如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.
由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△A１N１B中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B.
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN.
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A，B两地的距离：AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则AB两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，所以桥的位置建在MN处，AB两地的路程最短.
解决最短路径问题的方法
1.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
2.当涉及含有固定线段“桥”的方法是构造平行四边形，从而将问题转化为平行四边形的问题解答.
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.
3.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD=FD′,同理，BE=GE′，由两点之间线段最短可知，GF最小.
关键是将固定线段“桥”平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四形的问题
1．平面直角坐标系xOy中，已知A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－1)三点，D(1，m)是一个动点，当△ACD的周长最小时，则△ABD的面积为（ ）A．B．C．D．2．A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P的位置应在（　　）A．线段AB上 B．线段AB的延长线上C．线段AB的反向延长线上 D．直线l上3．x是数轴上任意一点表示的数，若|x﹣3|+|x+2|的值最小，则x的取值范围是（ ）A．x≥3B．x≤﹣2C．﹣2≤x≤3D．﹣2＜x＜34．下列四种说法：①线段AB是点A与点B之间的距离；②射线AB与射线BA表示同一条射线；③两点确定一条直线；④两点之间线段最短．其中正确的个数是 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（　　）A．750米B．1000米C．1500米D．2000米
6．加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB＝7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于（ ）米A．8B．9C．6D．77．已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α＝（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°8．如图，∠AOB＝30°，内有一点P且OP＝ ，若M、N为边OA、OB上两动点，那么△PMN的周长最小为（ ）A．2 B．6 C．D．10．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，∠A=26°，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点是点A′，则∠AEA′的度数是（　　）A．145°B．152°C．158°D．160°