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2019-2020学年辽宁省朝阳市建平县八年级（下）期末数学试卷
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2019-2020学年辽宁省朝阳市建平县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项代号填入答题纸对应的表格内，不填、填错或填入的代号超过一个，一律得0分）
1．（3分）不等式﹣3x＜﹣2的解集是（ ）
A．x＞ B．x＜﹣ C．x＜ D．x＞﹣
2．（3分）若分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值（ ）
A．不变 B．是原来的3倍
C．是原来的 D．不确定
3．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）多项式6xy+3x2y﹣4x2yz3各项的公因式是（ ）
A．xy B．2xz C．3xy D．3yz
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，若∠MPN＝130°，则∠NMP的度数为（ ）
A．10° B．15° C．25° D．40°
6．（3分）如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
7．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于D，如果AC＝5cm，BC＝4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
8．（3分）若解分式方程＝产生增根，则m＝（ ）
A．1 B．0 C．﹣4 D．﹣5
9．（3分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．若a＞b，则3﹣a＞3﹣b
B．有两个角为60°的三角形是等边三角形
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．如果ab＝0，那么a＝0，b＝0
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是（ ）
A．2+2 B．3+2 C．2+2 D．3+2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上，不必写出解答过程不填、填错，一律得0分）
11．（3分）分解因式：2x2﹣4x+2＝ ．
12．（3分）关于x的不等式组的解为﹣3＜x＜3，则a，b的值分别为 ．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，▱ABCD的周长为40，则S平行四边形ABCD＝ ．
14．（3分）张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，则张明平均每分钟清点图书的数量 本．
15．（3分）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA＝ 度．
16．（3分）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程）
17．（8分）先化简，再求值：÷（﹣）．其中a＝﹣1，b＝+1．
18．（5分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．（7分）解分式方程：﹣1＝．
20．（7分）如图是一种儿童的游乐设施﹣儿童荡板．小明想验证这个荡板上方的四边形是否是平行四边形，现在手头只有一根足够长的绳子，请你帮助他设计一个验证方案，并说明理由．
21．（7分）为满足疫情期间，民众对口罩的需求．某药房购进甲、乙两种口罩，已知每包甲种口罩的价格比每包乙种口罩的价格贵10元，用350元购买甲种口罩的包数恰好与用300元购买乙种口罩的包数相同．
（1）求甲、乙两种口罩每包的价格各是多少元？
（2）计划购买这两种口罩共50包，且投入的费用不超过3200元，那么，最多可购买多少包甲种口罩？
22．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2．
（1）在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2；
（2）计算线段AC在变换到A1C1的过程中扫过区域的面积．
23．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且EF∥AC．求证：点F是AB的中点．
24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP＝ ；DP＝ ；BQ＝ ；CQ＝ ．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
25．（12分）为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：
型号
占地面积
（单位：m2/个）
使用农户数
（单位：户/个）
造价
（单位：万元/个）
A
15
18
2
B
20
30
3
已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2，该村农户共有492户．
（1）满足条件的方案共有几种？写出解答过程；
（2）通过计算判断，哪种建造方案最省钱？
2019-2020学年辽宁省朝阳市建平县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项代号填入答题纸对应的表格内，不填、填错或填入的代号超过一个，一律得0分）
1．（3分）不等式﹣3x＜﹣2的解集是（ ）
A．x＞ B．x＜﹣ C．x＜ D．x＞﹣
【分析】根据解一元一次不等式的方法可以解答本题．
【解答】解：﹣3x＜﹣2，
不等式两边同除以﹣3，得
x＞，
故选：A．
2．（3分）若分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值（ ）
A．不变 B．是原来的3倍
C．是原来的 D．不确定
【分析】用3x、3y分别去代替分式中的x、y，进行计算，再利用分式的性质即可求解．
【解答】解：分别用3x、3y去代替分式中的x、y，那么
＝，
故选：A．
3．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答．
【解答】解：根据中心对称图形的定义，绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．可知A、B、D是中心对称图形；选项C、绕中心旋转180度后所得的图形与原图形不会重合，不是中心对称图形．
故选：C．
4．（3分）多项式6xy+3x2y﹣4x2yz3各项的公因式是（ ）
A．xy B．2xz C．3xy D．3yz
【分析】根据公因式的定义可求解．
【解答】解：6xy+3x2y﹣4x2yz3＝xy（6+3x﹣4xz3），
故多项式6xy+3x2y﹣4x2yz3各项的公因式是xy．
故选：A．
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，若∠MPN＝130°，则∠NMP的度数为（ ）
A．10° B．15° C．25° D．40°
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠PMN的度数．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM＝AB，PN＝DC，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB＝CD，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵∠MPN＝130°，
∴∠PMN＝＝25°．
故选：C．
6．（3分）如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【分析】一个多边形的每一个内角都等于108°，根据内角与相邻的外角互补，因而每个外角是72度．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出多边形的边数．
【解答】解：180﹣108＝72，
多边形的边数是：360÷72＝5．
则这个多边形是五边形．
故选：B．
7．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于D，如果AC＝5cm，BC＝4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【分析】由于AB的垂直平分线交AC于D，所以AD＝BD，而△DBC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，而AC＝5cm，BC＝4cm，由此即可求出△DBC的周长．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△DBC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，
而AC＝5cm，BC＝4cm，
∴△DBC的周长是9cm．
故选：D．
8．（3分）若解分式方程＝产生增根，则m＝（ ）
A．1 B．0 C．﹣4 D．﹣5
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x+4），得
x﹣1＝m，
∵原方程增根为x＝﹣4，
∴把x＝﹣4代入整式方程，得m＝﹣5，
故选：D．
9．（3分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．若a＞b，则3﹣a＞3﹣b
B．有两个角为60°的三角形是等边三角形
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．如果ab＝0，那么a＝0，b＝0
【分析】根据不等式的性质、等边三角形的判定定理、平行四边形的判定、有理数的乘法法则判断即可．
【解答】解：A、若a＞b，则﹣a＜﹣b，
∴3﹣a＜3﹣b，本选项说法是假命题；
B、有两个角为60°的三角形是等边三角形，本选项说法是真命题；
C、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项说法是假命题；
D、如果ab＝0，那么a＝0或b＝0或a、b同时为0，本选项说法是假命题；
故选：B．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是（ ）
A．2+2 B．3+2 C．2+2 D．3+2
【分析】首先考虑到BE所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求BE，可能需要构造直角三角形．由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝60°，故△ACE是等边三角形，可证明△ABE与△CBE全等，可得到∠ABE＝45°，∠AEB＝30°，再证△AFB和△AFE是直角三角形，然后在根据勾股定理求解．
【解答】解：连结CE，设BE与AC相交于点F，如下图所示，
∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ADE重合，
∴∠BAC＝∠DAE＝45°，AC＝AE，
又∵旋转角为60°，
∴∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC＝CE＝AE＝4，
在△ABE与△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE （SSS），
∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∠CEB＝∠AEB＝30°，
∴在△ABF中，∠BFA＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴∠AFB＝∠AFE＝90°，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，
BF＝AF＝AB＝2，
又在Rt△AFE中，∠AEF＝30°，∠AFE＝90°，
FE＝AF＝2，
∴BE＝BF+FE＝2+2，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上，不必写出解答过程不填、填错，一律得0分）
11．（3分）分解因式：2x2﹣4x+2＝ 2（x﹣1）2 ．
【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
【解答】解：2x2﹣4x+2，
＝2（x2﹣2x+1），
＝2（x﹣1）2．
12．（3分）关于x的不等式组的解为﹣3＜x＜3，则a，b的值分别为 ﹣3，3 ．
【分析】先解不等式组，求出其解集，然后根据题中已知的解集，进行比对，从而得出关于a、b的方程组，解此方程组即可求出a、b的值．
【解答】解：解不等式组得，，
因为﹣3＜x＜3，
所以，
①×2﹣②得，3a＝﹣9，a＝﹣3；
代入①得，﹣6+b＝﹣3，b＝3．
故答案为：﹣3，3．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，▱ABCD的周长为40，则S平行四边形ABCD＝ 48 ．
【分析】首先根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，可得AB+BC＝20，再利用其面积的求法S＝BC×AE＝CD×AF，可得4AE＝6CD，列出方程组，求出平行四边形的各边长，再求其面积．
【解答】解：设BC＝x，CD＝y，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵▱ABCD的周长为40，
∴x+y＝20，
∵∠B＝∠D，∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴△ABE∽△ADF，
∴
∵AE＝4，AF＝6，
∴4x＝6y，
得方程组：，
解得：，
∴S平行四边形ABCD＝BC×AE＝12×4＝48．
故答案为：48．
14．（3分）张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，则张明平均每分钟清点图书的数量 20 本．
【分析】设张明平均每分钟清点图书的数量为x，则李强平均每分钟清点图书的数量为x+10，由张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相等这个条件可列分式方程，求解即可．
【解答】解：由题意列方程得＝，
解得x＝20，
经检验x＝20是方程的解．
故答案为：20．
15．（3分）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA＝ 36 度．
【分析】首先求得正五边形内角∠C的度数，然后根据CD＝CB求得∠CDB的度数，然后利用平行线的性质求得∠DFA的度数即可．
【解答】解：∵正五边形的外角为360°÷5＝72°，
∴∠C＝180°﹣72°＝108°，
∵CD＝CB，
∴∠CDB＝36°，
∵AF∥CD，
∴∠DFA＝∠CDB＝36°，
故答案为：36．
16．（3分）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为 ．
【分析】根据矩形的性质求出△AOB的面积等于矩形ABCD的面积的，求出△AOB的面积，再分别求出△ABO1、△ABO2、△ABO3、△ABO4的面积，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，DC∥AB，DC＝AB，
∴S△ADC＝S△ABC＝S矩形ABCD＝×20＝10，
∴S△AOB＝S△BCO＝S△ABC＝×10＝5，
∴S＝S△AOB＝×5＝，
∴S＝S＝，
S＝S＝，
S＝S＝，
∴S＝2S＝2×＝
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程）
17．（8分）先化简，再求值：÷（﹣）．其中a＝﹣1，b＝+1．
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷（﹣）
＝
＝
＝ab，
当a＝﹣1，b＝+1时，原式＝（﹣1）×（+1）＝1．
18．（5分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＜4，
在数轴上表示不等式①②的解集：
所以该不等式的解集为1≤x＜4．
19．（7分）解分式方程：﹣1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：﹣1＝，
方程两边乘（x﹣2）2得：x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，（x﹣2）2≠0．
所以原方程的解为x＝4．
20．（7分）如图是一种儿童的游乐设施﹣儿童荡板．小明想验证这个荡板上方的四边形是否是平行四边形，现在手头只有一根足够长的绳子，请你帮助他设计一个验证方案，并说明理由．
【分析】根据两组对边相等的四边形是平行四边形进行判定即可．
【解答】解：方案：先用绳子测量出四边形ABCD的边AB的长，并在绳子上做上标记，然后再用这根绳子测量出CD的长度做上标记，比较AB与CD的长短，用同样的方法比较BC、AD的长短，如果AB＝CD，BC＝AD，则四边形ABCD是平行四边形．
理由：两组对边对应相等的四边形是平行四边形．
21．（7分）为满足疫情期间，民众对口罩的需求．某药房购进甲、乙两种口罩，已知每包甲种口罩的价格比每包乙种口罩的价格贵10元，用350元购买甲种口罩的包数恰好与用300元购买乙种口罩的包数相同．
（1）求甲、乙两种口罩每包的价格各是多少元？
（2）计划购买这两种口罩共50包，且投入的费用不超过3200元，那么，最多可购买多少包甲种口罩？
【分析】（1）设甲种口罩每包进价x元，则乙种口罩每包进价（x﹣10）元，由“用350元购买甲种口罩的包数恰好与用300元购买乙种口罩的包数相同”列出方程，可求解；
（2）由投入的费用不超过3200元，列出不等式，即可求解．
【解答】（1）解：设甲种口罩每包进价x元，则乙种口罩每包进价（x﹣10）元，
根据题意得：，
解得：x＝70，
经检验：x＝70是所列方程的根，
∴70﹣10＝60（元），
答：甲种口罩每包进价70元，乙种口罩每包进价60元；
（2）解：设购买甲种口罩y包，则购买乙种口罩（50﹣y）包，
根据题意得：70y+60（50﹣y）≤3200，
解得：y≤20，
答：最多可购买20包甲种口罩．
22．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2．
（1）在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2；
（2）计算线段AC在变换到A1C1的过程中扫过区域的面积．
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1，然后利用旋转的性质画出B2、C2得到△A1B2C2为所作；
（2）用一个矩形的面积分别减去4个直角三角形的面积去计算线段AC在变换到A1C1的过程中扫过区域的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1和△A1B2C2为所作；
（2）线段AC在变换到A1C1的过程中扫过区域的面积＝6×5﹣×2×2﹣×2×2﹣×3×4﹣×3×4＝14．
23．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且EF∥AC．求证：点F是AB的中点．
【分析】由AD为角平分线，利用角平分线定义得到一对角相等，再由EF与AC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换可得出∠AEF＝∠BAE，利用等角对等边得到AF＝EF，再由AE与AD垂直，利用垂直的定义及直角三角形的两锐角互余，得到两对角之和为90°，由∠AEF＝∠BAE，利用等角的余角相等可得出∠BEF＝∠ABE，利用等角对等边得到BF＝EF，等量代换得到AF＝BF，即F为AB的中点，得证．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵EF∥AC，
∴∠AEF＝∠CAE，
∴∠AEF＝∠BAE，
∴AF＝EF，
又∵BE⊥AD，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BEF+∠AEF＝90°，
又∠AEF＝∠BAE，
∴∠ABE＝∠BEF，
∴BF＝EF，
∴AF＝BF，
∴F为AB中点．
24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP＝ t ；DP＝ 12﹣t ；BQ＝ 15﹣2t ；CQ＝ 2t ．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
【分析】（1）根据速度、路程以及时间的关系和线段之间的数量关系，即可求出AP，DP，BQ，CQ的长
（2）当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可；
（3）当PD＝CQ时，四边形PDCQ是平行四边形；建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可．
【解答】解：（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t
（2）根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．
∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
（3）由AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，
如图1，∵AD∥BC，∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
25．（12分）为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：
型号
占地面积
（单位：m2/个）
使用农户数
（单位：户/个）
造价
（单位：万元/个）
A
15
18
2
B
20
30
3
已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2，该村农户共有492户．
（1）满足条件的方案共有几种？写出解答过程；
（2）通过计算判断，哪种建造方案最省钱？
【分析】（1）关系式为：A型沼气池占地面积+B型沼气池占地面积≤365；A型沼气池能用的户数+B型沼气池能用的户数≥492；
（2）由（1）得到情况进行分析．
【解答】解：（1）设建造A型沼气池x个，则建造B型沼气池（20﹣x）个，
依题意得：，
解得：7≤x≤9．
∵x为整数∴x＝7，8，9，
所以满足条件的方案有三种．
（2）
解法①：设建造A型沼气池x个时，总费用为y万元，则：
y＝2x+3（20﹣x）＝﹣x+60，
∴y随x增大而减小，
当x＝9时，y的值最小，此时y＝51（万元）．
∴此时方案为：建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个．
解法②：由（1）知共有三种方案，其费用分别为：
方案一：建造A型沼气池7个，建造B型沼气池13个，
总费用为：7×2+13×3＝53（万元）．
方案二：建造A型沼气池8个，建造B型沼气池12个，
总费用为：8×2+12×3＝52（万元）．
方案三：建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个，
总费用为：9×2+11×3＝51（万元）．
∴方案三最省钱．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项代号填入答题纸对应的表格内，不填、填错或填入的代号超过一个，一律得0分）
1．（3分）不等式﹣3x＜﹣2的解集是（ ）
A．x＞ B．x＜﹣ C．x＜ D．x＞﹣
2．（3分）若分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值（ ）
A．不变 B．是原来的3倍
C．是原来的 D．不确定
3．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）多项式6xy+3x2y﹣4x2yz3各项的公因式是（ ）
A．xy B．2xz C．3xy D．3yz
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，若∠MPN＝130°，则∠NMP的度数为（ ）
A．10° B．15° C．25° D．40°
6．（3分）如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
7．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于D，如果AC＝5cm，BC＝4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
8．（3分）若解分式方程＝产生增根，则m＝（ ）
A．1 B．0 C．﹣4 D．﹣5
9．（3分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．若a＞b，则3﹣a＞3﹣b
B．有两个角为60°的三角形是等边三角形
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．如果ab＝0，那么a＝0，b＝0
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是（ ）
A．2+2 B．3+2 C．2+2 D．3+2
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上，不必写出解答过程不填、填错，一律得0分）
11．（3分）分解因式：2x2﹣4x+2＝ ．
12．（3分）关于x的不等式组的解为﹣3＜x＜3，则a，b的值分别为 ．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，▱ABCD的周长为40，则S平行四边形ABCD＝ ．
14．（3分）张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，则张明平均每分钟清点图书的数量 本．
15．（3分）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA＝ 度．
16．（3分）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程）
17．（8分）先化简，再求值：÷（﹣）．其中a＝﹣1，b＝+1．
18．（5分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．（7分）解分式方程：﹣1＝．
20．（7分）如图是一种儿童的游乐设施﹣儿童荡板．小明想验证这个荡板上方的四边形是否是平行四边形，现在手头只有一根足够长的绳子，请你帮助他设计一个验证方案，并说明理由．
21．（7分）为满足疫情期间，民众对口罩的需求．某药房购进甲、乙两种口罩，已知每包甲种口罩的价格比每包乙种口罩的价格贵10元，用350元购买甲种口罩的包数恰好与用300元购买乙种口罩的包数相同．
（1）求甲、乙两种口罩每包的价格各是多少元？
（2）计划购买这两种口罩共50包，且投入的费用不超过3200元，那么，最多可购买多少包甲种口罩？
22．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2．
（1）在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2；
（2）计算线段AC在变换到A1C1的过程中扫过区域的面积．
23．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且EF∥AC．求证：点F是AB的中点．
24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP＝ ；DP＝ ；BQ＝ ；CQ＝ ．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
25．（12分）为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：
型号
占地面积
（单位：m2/个）
使用农户数
（单位：户/个）
造价
（单位：万元/个）
A
15
18
2
B
20
30
3
已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2，该村农户共有492户．
（1）满足条件的方案共有几种？写出解答过程；
（2）通过计算判断，哪种建造方案最省钱？
2019-2020学年辽宁省朝阳市建平县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项代号填入答题纸对应的表格内，不填、填错或填入的代号超过一个，一律得0分）
1．（3分）不等式﹣3x＜﹣2的解集是（ ）
A．x＞ B．x＜﹣ C．x＜ D．x＞﹣
【分析】根据解一元一次不等式的方法可以解答本题．
【解答】解：﹣3x＜﹣2，
不等式两边同除以﹣3，得
x＞，
故选：A．
2．（3分）若分式中的x、y的值都变为原来的3倍，则此分式的值（ ）
A．不变 B．是原来的3倍
C．是原来的 D．不确定
【分析】用3x、3y分别去代替分式中的x、y，进行计算，再利用分式的性质即可求解．
【解答】解：分别用3x、3y去代替分式中的x、y，那么
＝，
故选：A．
3．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答．
【解答】解：根据中心对称图形的定义，绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．可知A、B、D是中心对称图形；选项C、绕中心旋转180度后所得的图形与原图形不会重合，不是中心对称图形．
故选：C．
4．（3分）多项式6xy+3x2y﹣4x2yz3各项的公因式是（ ）
A．xy B．2xz C．3xy D．3yz
【分析】根据公因式的定义可求解．
【解答】解：6xy+3x2y﹣4x2yz3＝xy（6+3x﹣4xz3），
故多项式6xy+3x2y﹣4x2yz3各项的公因式是xy．
故选：A．
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，若∠MPN＝130°，则∠NMP的度数为（ ）
A．10° B．15° C．25° D．40°
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠PMN的度数．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM＝AB，PN＝DC，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB＝CD，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵∠MPN＝130°，
∴∠PMN＝＝25°．
故选：C．
6．（3分）如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【分析】一个多边形的每一个内角都等于108°，根据内角与相邻的外角互补，因而每个外角是72度．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出多边形的边数．
【解答】解：180﹣108＝72，
多边形的边数是：360÷72＝5．
则这个多边形是五边形．
故选：B．
7．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于D，如果AC＝5cm，BC＝4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【分析】由于AB的垂直平分线交AC于D，所以AD＝BD，而△DBC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，而AC＝5cm，BC＝4cm，由此即可求出△DBC的周长．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴△DBC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，
而AC＝5cm，BC＝4cm，
∴△DBC的周长是9cm．
故选：D．
8．（3分）若解分式方程＝产生增根，则m＝（ ）
A．1 B．0 C．﹣4 D．﹣5
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x+4），得
x﹣1＝m，
∵原方程增根为x＝﹣4，
∴把x＝﹣4代入整式方程，得m＝﹣5，
故选：D．
9．（3分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．若a＞b，则3﹣a＞3﹣b
B．有两个角为60°的三角形是等边三角形
C．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D．如果ab＝0，那么a＝0，b＝0
【分析】根据不等式的性质、等边三角形的判定定理、平行四边形的判定、有理数的乘法法则判断即可．
【解答】解：A、若a＞b，则﹣a＜﹣b，
∴3﹣a＜3﹣b，本选项说法是假命题；
B、有两个角为60°的三角形是等边三角形，本选项说法是真命题；
C、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项说法是假命题；
D、如果ab＝0，那么a＝0或b＝0或a、b同时为0，本选项说法是假命题；
故选：B．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则BE的长是（ ）
A．2+2 B．3+2 C．2+2 D．3+2
【分析】首先考虑到BE所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求BE，可能需要构造直角三角形．由旋转的性质可知，AC＝AE，∠CAE＝60°，故△ACE是等边三角形，可证明△ABE与△CBE全等，可得到∠ABE＝45°，∠AEB＝30°，再证△AFB和△AFE是直角三角形，然后在根据勾股定理求解．
【解答】解：连结CE，设BE与AC相交于点F，如下图所示，
∵Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，
∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ADE重合，
∴∠BAC＝∠DAE＝45°，AC＝AE，
又∵旋转角为60°，
∴∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC＝CE＝AE＝4，
在△ABE与△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE （SSS），
∴∠ABE＝∠CBE＝45°，∠CEB＝∠AEB＝30°，
∴在△ABF中，∠BFA＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴∠AFB＝∠AFE＝90°，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，
BF＝AF＝AB＝2，
又在Rt△AFE中，∠AEF＝30°，∠AFE＝90°，
FE＝AF＝2，
∴BE＝BF+FE＝2+2，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上，不必写出解答过程不填、填错，一律得0分）
11．（3分）分解因式：2x2﹣4x+2＝ 2（x﹣1）2 ．
【分析】先提取公因数2，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
【解答】解：2x2﹣4x+2，
＝2（x2﹣2x+1），
＝2（x﹣1）2．
12．（3分）关于x的不等式组的解为﹣3＜x＜3，则a，b的值分别为 ﹣3，3 ．
【分析】先解不等式组，求出其解集，然后根据题中已知的解集，进行比对，从而得出关于a、b的方程组，解此方程组即可求出a、b的值．
【解答】解：解不等式组得，，
因为﹣3＜x＜3，
所以，
①×2﹣②得，3a＝﹣9，a＝﹣3；
代入①得，﹣6+b＝﹣3，b＝3．
故答案为：﹣3，3．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝4，AF＝6，▱ABCD的周长为40，则S平行四边形ABCD＝ 48 ．
【分析】首先根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，可得AB+BC＝20，再利用其面积的求法S＝BC×AE＝CD×AF，可得4AE＝6CD，列出方程组，求出平行四边形的各边长，再求其面积．
【解答】解：设BC＝x，CD＝y，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵▱ABCD的周长为40，
∴x+y＝20，
∵∠B＝∠D，∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴△ABE∽△ADF，
∴
∵AE＝4，AF＝6，
∴4x＝6y，
得方程组：，
解得：，
∴S平行四边形ABCD＝BC×AE＝12×4＝48．
故答案为：48．
14．（3分）张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，则张明平均每分钟清点图书的数量 20 本．
【分析】设张明平均每分钟清点图书的数量为x，则李强平均每分钟清点图书的数量为x+10，由张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相等这个条件可列分式方程，求解即可．
【解答】解：由题意列方程得＝，
解得x＝20，
经检验x＝20是方程的解．
故答案为：20．
15．（3分）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA＝ 36 度．
【分析】首先求得正五边形内角∠C的度数，然后根据CD＝CB求得∠CDB的度数，然后利用平行线的性质求得∠DFA的度数即可．
【解答】解：∵正五边形的外角为360°÷5＝72°，
∴∠C＝180°﹣72°＝108°，
∵CD＝CB，
∴∠CDB＝36°，
∵AF∥CD，
∴∠DFA＝∠CDB＝36°，
故答案为：36．
16．（3分）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为 ．
【分析】根据矩形的性质求出△AOB的面积等于矩形ABCD的面积的，求出△AOB的面积，再分别求出△ABO1、△ABO2、△ABO3、△ABO4的面积，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，DC∥AB，DC＝AB，
∴S△ADC＝S△ABC＝S矩形ABCD＝×20＝10，
∴S△AOB＝S△BCO＝S△ABC＝×10＝5，
∴S＝S△AOB＝×5＝，
∴S＝S＝，
S＝S＝，
S＝S＝，
∴S＝2S＝2×＝
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程）
17．（8分）先化简，再求值：÷（﹣）．其中a＝﹣1，b＝+1．
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷（﹣）
＝
＝
＝ab，
当a＝﹣1，b＝+1时，原式＝（﹣1）×（+1）＝1．
18．（5分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x＜4，
在数轴上表示不等式①②的解集：
所以该不等式的解集为1≤x＜4．
19．（7分）解分式方程：﹣1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：﹣1＝，
方程两边乘（x﹣2）2得：x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，（x﹣2）2≠0．
所以原方程的解为x＝4．
20．（7分）如图是一种儿童的游乐设施﹣儿童荡板．小明想验证这个荡板上方的四边形是否是平行四边形，现在手头只有一根足够长的绳子，请你帮助他设计一个验证方案，并说明理由．
【分析】根据两组对边相等的四边形是平行四边形进行判定即可．
【解答】解：方案：先用绳子测量出四边形ABCD的边AB的长，并在绳子上做上标记，然后再用这根绳子测量出CD的长度做上标记，比较AB与CD的长短，用同样的方法比较BC、AD的长短，如果AB＝CD，BC＝AD，则四边形ABCD是平行四边形．
理由：两组对边对应相等的四边形是平行四边形．
21．（7分）为满足疫情期间，民众对口罩的需求．某药房购进甲、乙两种口罩，已知每包甲种口罩的价格比每包乙种口罩的价格贵10元，用350元购买甲种口罩的包数恰好与用300元购买乙种口罩的包数相同．
（1）求甲、乙两种口罩每包的价格各是多少元？
（2）计划购买这两种口罩共50包，且投入的费用不超过3200元，那么，最多可购买多少包甲种口罩？
【分析】（1）设甲种口罩每包进价x元，则乙种口罩每包进价（x﹣10）元，由“用350元购买甲种口罩的包数恰好与用300元购买乙种口罩的包数相同”列出方程，可求解；
（2）由投入的费用不超过3200元，列出不等式，即可求解．
【解答】（1）解：设甲种口罩每包进价x元，则乙种口罩每包进价（x﹣10）元，
根据题意得：，
解得：x＝70，
经检验：x＝70是所列方程的根，
∴70﹣10＝60（元），
答：甲种口罩每包进价70元，乙种口罩每包进价60元；
（2）解：设购买甲种口罩y包，则购买乙种口罩（50﹣y）包，
根据题意得：70y+60（50﹣y）≤3200，
解得：y≤20，
答：最多可购买20包甲种口罩．
22．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2．
（1）在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2；
（2）计算线段AC在变换到A1C1的过程中扫过区域的面积．
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1，然后利用旋转的性质画出B2、C2得到△A1B2C2为所作；
（2）用一个矩形的面积分别减去4个直角三角形的面积去计算线段AC在变换到A1C1的过程中扫过区域的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1和△A1B2C2为所作；
（2）线段AC在变换到A1C1的过程中扫过区域的面积＝6×5﹣×2×2﹣×2×2﹣×3×4﹣×3×4＝14．
23．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且EF∥AC．求证：点F是AB的中点．
【分析】由AD为角平分线，利用角平分线定义得到一对角相等，再由EF与AC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换可得出∠AEF＝∠BAE，利用等角对等边得到AF＝EF，再由AE与AD垂直，利用垂直的定义及直角三角形的两锐角互余，得到两对角之和为90°，由∠AEF＝∠BAE，利用等角的余角相等可得出∠BEF＝∠ABE，利用等角对等边得到BF＝EF，等量代换得到AF＝BF，即F为AB的中点，得证．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵EF∥AC，
∴∠AEF＝∠CAE，
∴∠AEF＝∠BAE，
∴AF＝EF，
又∵BE⊥AD，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠BEF+∠AEF＝90°，
又∠AEF＝∠BAE，
∴∠ABE＝∠BEF，
∴BF＝EF，
∴AF＝BF，
∴F为AB中点．
24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示：
AP＝ t ；DP＝ 12﹣t ；BQ＝ 15﹣2t ；CQ＝ 2t ．
（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？
（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？
【分析】（1）根据速度、路程以及时间的关系和线段之间的数量关系，即可求出AP，DP，BQ，CQ的长
（2）当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形，建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可；
（3）当PD＝CQ时，四边形PDCQ是平行四边形；建立关于t的一元一次方程方程，解方程求出符合题意的t值即可．
【解答】解：（1）t，12﹣t，15﹣2t，2t
（2）根据题意有AP＝t，CQ＝2t，PD＝12﹣t，BQ＝15﹣2t．
∵AD∥BC，∴当AP＝BQ时，四边形APQB是平行四边形．
∴t＝15﹣2t，解得t＝5．
∴t＝5s时四边形APQB是平行四边形；
（3）由AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∵AD＝12cm，BC＝15cm，
∴PD＝AD﹣AP＝12﹣t，
如图1，∵AD∥BC，∴当PD＝QC时，四边形PDCQ是平行四边形．
即：12﹣t＝2t，
解得t＝4s，
∴当t＝4s时，四边形PDCQ是平行四边形．
25．（12分）为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：
型号
占地面积
（单位：m2/个）
使用农户数
（单位：户/个）
造价
（单位：万元/个）
A
15
18
2
B
20
30
3
已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2，该村农户共有492户．
（1）满足条件的方案共有几种？写出解答过程；
（2）通过计算判断，哪种建造方案最省钱？
【分析】（1）关系式为：A型沼气池占地面积+B型沼气池占地面积≤365；A型沼气池能用的户数+B型沼气池能用的户数≥492；
（2）由（1）得到情况进行分析．
【解答】解：（1）设建造A型沼气池x个，则建造B型沼气池（20﹣x）个，
依题意得：，
解得：7≤x≤9．
∵x为整数∴x＝7，8，9，
所以满足条件的方案有三种．
（2）
解法①：设建造A型沼气池x个时，总费用为y万元，则：
y＝2x+3（20﹣x）＝﹣x+60，
∴y随x增大而减小，
当x＝9时，y的值最小，此时y＝51（万元）．
∴此时方案为：建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个．
解法②：由（1）知共有三种方案，其费用分别为：
方案一：建造A型沼气池7个，建造B型沼气池13个，
总费用为：7×2+13×3＝53（万元）．
方案二：建造A型沼气池8个，建造B型沼气池12个，
总费用为：8×2+12×3＝52（万元）．
方案三：建造A型沼气池9个，建造B型沼气池11个，
总费用为：9×2+11×3＝51（万元）．
∴方案三最省钱．
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