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2019-2020学年辽宁省锦州市凌海市八年级(下)期末数学试卷
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2019-2020学年辽宁省锦州市凌海市八年级(下)期末数学试卷
一、选择题(本大题共8个小题,每小题2分,共16分)
1.(2分)下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.(2分)使分式有意义的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.(2分)如果不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1,那么a满足的条件是( )
A.a>0 B.a<﹣2 C.a>﹣1 D.a<﹣1
4.(2分)如图,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形,通过计算两个图形阴影部分的面积,验证了一个等式,则这个等式是( )
A.a2﹣ab=a(a﹣b) B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 D.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)
5.(2分)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB中点,且AE+EO=5,则平行四边形ABCD的周长为( )
A.20 B.16 C.12 D.8
6.(2分)如图,在△ABC中,AC=BC,∠A=40°,观察图中尺规作图的痕迹,可知∠ACG的度数为( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
7.(2分)某数学兴趣小组开展动手操作活动,设计了如图所示的三种图形,现计划用铁丝按照图形制作相应的造型,则所用铁丝的长度关系是( )
A.甲种方案所用铁丝最长
B.乙种方案所用铁丝最长
C.丙种方案所用铁丝最长
D.三种方案所用铁丝一样长
8.(2分)如图,锐角三角形ABC中,BC>AB>AC,甲、乙两人想找一点P,使得∠BPC与∠A互补,其作法分别如下:
(甲)以A为圆心,AC长为半径画弧交AB于P点,则P即为所求;
(乙)作过B点且与AB垂直的直线l,作过C点且与AC垂直的直线,交l于P点,则P即为所求.
对于甲、乙两人的作法,下列叙述何者正确?( )
A.两人皆正确 B.两人皆错误
C.甲正确,乙错误 D.甲错误,乙正确
二、填空题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分)
9.(3分)分解因式:3x2+6xy+3y2= .
10.(3分)若代数式的值等于零,则x= .
11.(3分)若正多边形的一个外角是45°,则该正多边形的边数是 .
12.(3分)如果y=2x﹣5,那么当y<0时,x .(填写“>”或“<”号)
13.(3分)x2﹣3xy+y2加上 可以得到(x﹣y)2.
14.(3分)直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k1x+b>k2x的解集为 .
15.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D是BC上任意一点,分别作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.如果BC=12,那么DE+DF= .
16.(3分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB=60°,AD平分∠CAB交BC于点D,点D到AB的距离DE=3cm,则线段BC的长为 .
三、计算题(本大题共3个题,每小题6分,共18分)
17.(6分)解不等式组:.
18.(6分)解分式方程:.
19.(6分)先化简,再求值:,其中x=2.
四、作图题(本大题共8分)
20.(8分)如图,在下面的方格图中,每个小正方形的边长为1个单位.
(1)将△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)将△A1B1C1绕点A1逆时针旋转180°得到△A1B2C2,画出△A1B2C2.
五、解答题(本大题共2个题,每小题8分,共16分)
21.(8分)为了防控新冠肺炎疫情,某校积极进行校园环境消毒购买了甲、乙两种消毒液.已知购买的乙种消毒液的瓶数是甲种消毒液瓶数的3倍,且所需的费用不多于1200元,其中甲种消毒液5元/瓶,乙种消毒液15元/瓶,求甲种消毒液最多可购买多少瓶?
22.(8分)某市某生态示范园计划种植一批梨树,原计划总产值30万千克,为了满足市场需求,现决定改良梨树品种,改良后平均每亩产量是原来的1.5倍,总产量比原计划增加了6万千克,种植亩数减少了10亩,则原来平均每亩产量是多少万千克?
六、解答题(本大题共2个题,每小题9分,共18分)
23.(9分)如图,E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点,且BE∥DF,
求证:BF=DE.
24.(9分)如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,且BD=CD,过点A作AM⊥BD于点M过点D作DN⊥AB于点N,且DN=3,在DB的延长线上取一点P,满足∠ABD=∠MAP+∠PAB.
(1)求证:DN=AM;
(2)求AP的长.
2019-2020学年辽宁省锦州市凌海市八年级(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共8个小题,每小题2分,共16分)
1.(2分)下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及轴对称图形的定义即可判断出.
【解答】解:A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误;
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误;
C、∵此图形旋转180°后能与原图形重合,∴此图形是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项正确;
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合,∴此图形是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项错误.
故选:C.
2.(2分)使分式有意义的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
【分析】分式有意义,分母2x﹣1不为零.
【解答】解:根据题意,得
2x﹣1≠0,
解得,x≠;
故选:C.
3.(2分)如果不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1,那么a满足的条件是( )
A.a>0 B.a<﹣2 C.a>﹣1 D.a<﹣1
【分析】根据所给不等式的解集x<1,可知x的系数为负,那么a+1<0,从而可取a的取值.
【解答】解:∵不等式(a+1)x>a+1的解集是x<1,
∴a+1<0,
即a<﹣1.
故选:D.
4.(2分)如图,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形,通过计算两个图形阴影部分的面积,验证了一个等式,则这个等式是( )
A.a2﹣ab=a(a﹣b) B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 D.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)
【分析】用代数式表示粗两个图形阴影部分的面积,即可得出等式.
【解答】解:左图的阴影部分的面积为a2﹣b2,右图的阴影部分的面积为(a+b)(a﹣b),
因此有为a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),
故选:D.
5.(2分)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB中点,且AE+EO=5,则平行四边形ABCD的周长为( )
A.20 B.16 C.12 D.8
【分析】首先证明OE=BC,再由AE+EO=5,推出AB+BC=10即可解决问题.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,
∵AE=EB,
∴OE=BC,
∵AE+EO=5,
∴2AE+2EO=10,
∴AB+BC=10,
∴平行四边形ABCD的周长=2×10=20,
故选:A.
6.(2分)如图,在△ABC中,AC=BC,∠A=40°,观察图中尺规作图的痕迹,可知∠ACG的度数为( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
【分析】由作图可知,CF平分∠ACB,求出∠ACB即可解决问题.
【解答】解:∵CA=CB,
∴∠A=∠B=40°,
∴∠ACB=180°﹣40°﹣40°=100°,
由作图可知,CF平分∠ACB,
∴∠ACG=∠ACB=50°,
故选:C.
7.(2分)某数学兴趣小组开展动手操作活动,设计了如图所示的三种图形,现计划用铁丝按照图形制作相应的造型,则所用铁丝的长度关系是( )
A.甲种方案所用铁丝最长
B.乙种方案所用铁丝最长
C.丙种方案所用铁丝最长
D.三种方案所用铁丝一样长
【分析】分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度,进而得出答案.
【解答】解:由图形可得出:甲所用铁丝的长度为:2a+2b,
乙所用铁丝的长度为:2a+2b,
丙所用铁丝的长度为:2a+2b,
故三种方案所用铁丝一样长.
故选:D.
8.(2分)如图,锐角三角形ABC中,BC>AB>AC,甲、乙两人想找一点P,使得∠BPC与∠A互补,其作法分别如下:
(甲)以A为圆心,AC长为半径画弧交AB于P点,则P即为所求;
(乙)作过B点且与AB垂直的直线l,作过C点且与AC垂直的直线,交l于P点,则P即为所求.
对于甲、乙两人的作法,下列叙述何者正确?( )
A.两人皆正确 B.两人皆错误
C.甲正确,乙错误 D.甲错误,乙正确
【分析】甲:根据作图可得AC=AP,利用等边对等角得:∠APC=∠ACP,由平角的定义可知:∠BPC+∠APC=180°,根据等量代换可作判断;
乙:根据四边形的内角和可得:∠BPC+∠A=180°.
【解答】解:甲:如图1,∵AC=AP,
∴∠APC=∠ACP,
∵∠BPC+∠APC=180°
∴∠BPC+∠ACP=180°,
∴甲错误;
乙:如图2,∵AB⊥PB,AC⊥PC,
∴∠ABP=∠ACP=90°,
∴∠BPC+∠A=180°,
∴乙正确,
故选:D.
二、填空题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分)
9.(3分)分解因式:3x2+6xy+3y2= 3(x+y)2 .
【分析】先利用提取公因式法提取数字3,再利用完全平方公式继续进行分解.
【解答】解:3x2+6xy+3y2,
=3(x2+2xy+y2),
=3(x+y)2
10.(3分)若代数式的值等于零,则x= ﹣3 .
【分析】根据分式值为零的条件可得x+3=0,且x﹣5≠0,再解即可.
【解答】解:由题意得:x+3=0,且x﹣5≠0,
解得:x=﹣3,
故答案为:﹣3.
11.(3分)若正多边形的一个外角是45°,则该正多边形的边数是 8 .
【分析】根据多边形外角和是360度,正多边形的各个内角相等,各个外角也相等,直接用360°÷45°可求得边数.
【解答】解:∵多边形外角和是360度,正多边形的一个外角是45°,
∴360°÷45°=8
即该正多边形的边数是8.
12.(3分)如果y=2x﹣5,那么当y<0时,x < .(填写“>”或“<”号)
【分析】根据y的值,即可列出不等式,解不等式即可求解.
【解答】解:根据题意得2x﹣5<0,
即2x<5,
解得:x<
13.(3分)x2﹣3xy+y2加上 xy 可以得到(x﹣y)2.
【分析】可求(x﹣y)2和x2﹣3xy+y2的差.
【解答】解:∵(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2,
∴x2﹣3xy+y2加上xy可以得到(x﹣y)2.
故应填xy.
14.(3分)直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k1x+b>k2x的解集为 x<﹣1 .
【分析】求关于x的不等式k1x+b>k2x的解集就是求:能使函数y=k1x+b的图象在函数y=k2x的上边的自变量的取值范围.
【解答】能使函数y=k1x+b的图象在函数y=k2x的上边时的自变量的取值范围是x<﹣1.
故关于x的不等式k1x+b>k2x的解集为:x<﹣1.
故答案为:x<﹣1.
15.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D是BC上任意一点,分别作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.如果BC=12,那么DE+DF= 6 .
【分析】根据等腰三角形的性质及内角和定理可求得两底角的度数,再根据直角三角形的性质不难求得DE+DF的值.
【解答】解:∵AB=AC,∠A=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∵DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∴DE=BD,DF=CD.
∵BC=12,
∴DE+DF=BC=6.
故答案为:6.
16.(3分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB=60°,AD平分∠CAB交BC于点D,点D到AB的距离DE=3cm,则线段BC的长为 9cm .
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B,求出∠B=∠BAD=∠DAC=30°,求出AD=BD,AD=2CD,根据角平分线的性质求出CD=DE=3cm,即可得出答案.
【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB=60°,
∴∠B=180°﹣∠C﹣∠CAB=30°,
∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°,
∴∠BAD=∠DAC=BAC=30°,
∴∠B=∠BAD,
∴BD=AD,
∵AD平分∠BAC,∠C=90°,点D到AB的距离DE=3cm,
∴CD=DE=3cm,
∵在Rt△DCA中,∠C=90°,∠DAC=30°,CD=3cm,
∴AD=2CD=6cm,
∴BD=AD=6cm,
∴BC=CD+BD=3cm+6cm=9cm,
故答案为:6cm.
三、计算题(本大题共3个题,每小题6分,共18分)
17.(6分)解不等式组:.
【分析】先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集即可.
【解答】解:,
解不等式①,得x>1,
解不等式②,得x>﹣3,
所以这个不等式组的解集为﹣3<x<1.
18.(6分)解分式方程:.
【分析】两边都乘以x﹣4将分式方程化为整式方程,解整式方程得出x的值,继而检验可得答案.
【解答】解:两边都乘以x﹣4,得:x﹣4+1=3﹣x,
解得x=3,
检验:当x=3时,x﹣4=3﹣4=﹣1≠0,
∴分式方程的解为x=3.
19.(6分)先化简,再求值:,其中x=2.
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后将x=2代入化简后的式子即可解答本题.
【解答】解:
=
=
=
=x+4,
当x=2时,原式=2+4=6.
四、作图题(本大题共8分)
20.(8分)如图,在下面的方格图中,每个小正方形的边长为1个单位.
(1)将△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)将△A1B1C1绕点A1逆时针旋转180°得到△A1B2C2,画出△A1B2C2.
【分析】(1)利用网格特点和平移的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1即可;
(2)利用网格特点和旋转的性质画出点B1、C1的对应点B2、C2即可.
【解答】解:(1)如图,△A1B1C1为所作;
(2)如图,△A1B2C2为所作.
五、解答题(本大题共2个题,每小题8分,共16分)
21.(8分)为了防控新冠肺炎疫情,某校积极进行校园环境消毒购买了甲、乙两种消毒液.已知购买的乙种消毒液的瓶数是甲种消毒液瓶数的3倍,且所需的费用不多于1200元,其中甲种消毒液5元/瓶,乙种消毒液15元/瓶,求甲种消毒液最多可购买多少瓶?
【分析】根据题意列出不等式,解答即可得到结论.
【解答】解:设甲种消毒液可购买m瓶,则购买的乙种消毒液的瓶数为3m瓶,
根据题意得,5m+15×3m≤1200,
解答:m≤24,
答:甲种消毒液最多能再购买24瓶.
22.(8分)某市某生态示范园计划种植一批梨树,原计划总产值30万千克,为了满足市场需求,现决定改良梨树品种,改良后平均每亩产量是原来的1.5倍,总产量比原计划增加了6万千克,种植亩数减少了10亩,则原来平均每亩产量是多少万千克?
【分析】设原来平均每亩产量是x万千克,则改良后平均每亩产量是1.5x万千克,根据种植亩数=总产量÷平均亩产量结合改良后比改良前种植亩数减少了10亩,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论.
【解答】解:设原来平均每亩产量是x万千克,则改良后平均每亩产量是1.5x万千克,
依题意,得:﹣=10,
解得:x=,
经检验,x=是原方程的解,且符合题意.
答:原来平均每亩产量是万千克.
六、解答题(本大题共2个题,每小题9分,共18分)
23.(9分)如图,E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点,且BE∥DF,
求证:BF=DE.
【分析】由平行四边形的性质和已知条件证明△CEB≌△AFD,所以可得BE=DF,进而证明四边形BFED是平行四边形,即BF=DE.
【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,AD∥CB,
∴∠BCE=∠DAF
又∵BE∥DF,
∴∠BEC=∠DFA
在△CEB和△AFD中,
∠BCE=∠DAF,∠BEC=∠DFA,BC=DA
∴△CEB≌△AFD(AAS)
∴BE=DF
故BFED为平行四边形.
∴BF=DE.
24.(9分)如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,且BD=CD,过点A作AM⊥BD于点M过点D作DN⊥AB于点N,且DN=3,在DB的延长线上取一点P,满足∠ABD=∠MAP+∠PAB.
(1)求证:DN=AM;
(2)求AP的长.
【分析】(1)根据BD=CD,AB=CD,可得BD=BA,再根据AM⊥BD,DN⊥AB,即可得到DN=AM;
(2)由DN=AM=3,依据∠ABD=∠MAP+∠PAB,∠ABD=∠P+∠BAP,即可得到△APM是等腰直角三角形,进而得到AP=AM=6.
【解答】解:(1)证明:∵BD=CD,AB=CD,
∴BD=BA,
又∵AM⊥BD,DN⊥AB,
∴DN=AM;
(2)由(1)得:DN=AM=3,
又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB,∠ABD=∠P+∠BAP,
∴∠P=∠PAM,
∴△APM是等腰直角三角形,
∴AP=AM=6.
一、选择题(本大题共8个小题,每小题2分,共16分)
1.(2分)下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.(2分)使分式有意义的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.(2分)如果不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1,那么a满足的条件是( )
A.a>0 B.a<﹣2 C.a>﹣1 D.a<﹣1
4.(2分)如图,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形,通过计算两个图形阴影部分的面积,验证了一个等式,则这个等式是( )
A.a2﹣ab=a(a﹣b) B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 D.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)
5.(2分)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB中点,且AE+EO=5,则平行四边形ABCD的周长为( )
A.20 B.16 C.12 D.8
6.(2分)如图,在△ABC中,AC=BC,∠A=40°,观察图中尺规作图的痕迹,可知∠ACG的度数为( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
7.(2分)某数学兴趣小组开展动手操作活动,设计了如图所示的三种图形,现计划用铁丝按照图形制作相应的造型,则所用铁丝的长度关系是( )
A.甲种方案所用铁丝最长
B.乙种方案所用铁丝最长
C.丙种方案所用铁丝最长
D.三种方案所用铁丝一样长
8.(2分)如图,锐角三角形ABC中,BC>AB>AC,甲、乙两人想找一点P,使得∠BPC与∠A互补,其作法分别如下:
(甲)以A为圆心,AC长为半径画弧交AB于P点,则P即为所求;
(乙)作过B点且与AB垂直的直线l,作过C点且与AC垂直的直线,交l于P点,则P即为所求.
对于甲、乙两人的作法,下列叙述何者正确?( )
A.两人皆正确 B.两人皆错误
C.甲正确,乙错误 D.甲错误,乙正确
二、填空题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分)
9.(3分)分解因式:3x2+6xy+3y2= .
10.(3分)若代数式的值等于零,则x= .
11.(3分)若正多边形的一个外角是45°,则该正多边形的边数是 .
12.(3分)如果y=2x﹣5,那么当y<0时,x .(填写“>”或“<”号)
13.(3分)x2﹣3xy+y2加上 可以得到(x﹣y)2.
14.(3分)直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k1x+b>k2x的解集为 .
15.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D是BC上任意一点,分别作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.如果BC=12,那么DE+DF= .
16.(3分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB=60°,AD平分∠CAB交BC于点D,点D到AB的距离DE=3cm,则线段BC的长为 .
三、计算题(本大题共3个题,每小题6分,共18分)
17.(6分)解不等式组:.
18.(6分)解分式方程:.
19.(6分)先化简,再求值:,其中x=2.
四、作图题(本大题共8分)
20.(8分)如图,在下面的方格图中,每个小正方形的边长为1个单位.
(1)将△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)将△A1B1C1绕点A1逆时针旋转180°得到△A1B2C2,画出△A1B2C2.
五、解答题(本大题共2个题,每小题8分,共16分)
21.(8分)为了防控新冠肺炎疫情,某校积极进行校园环境消毒购买了甲、乙两种消毒液.已知购买的乙种消毒液的瓶数是甲种消毒液瓶数的3倍,且所需的费用不多于1200元,其中甲种消毒液5元/瓶,乙种消毒液15元/瓶,求甲种消毒液最多可购买多少瓶?
22.(8分)某市某生态示范园计划种植一批梨树,原计划总产值30万千克,为了满足市场需求,现决定改良梨树品种,改良后平均每亩产量是原来的1.5倍,总产量比原计划增加了6万千克,种植亩数减少了10亩,则原来平均每亩产量是多少万千克?
六、解答题(本大题共2个题,每小题9分,共18分)
23.(9分)如图,E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点,且BE∥DF,
求证:BF=DE.
24.(9分)如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,且BD=CD,过点A作AM⊥BD于点M过点D作DN⊥AB于点N,且DN=3,在DB的延长线上取一点P,满足∠ABD=∠MAP+∠PAB.
(1)求证:DN=AM;
(2)求AP的长.
2019-2020学年辽宁省锦州市凌海市八年级(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共8个小题,每小题2分,共16分)
1.(2分)下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及轴对称图形的定义即可判断出.
【解答】解:A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误;
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误;
C、∵此图形旋转180°后能与原图形重合,∴此图形是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项正确;
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合,∴此图形是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项错误.
故选:C.
2.(2分)使分式有意义的x的取值范围是( )
A. B. C. D.
【分析】分式有意义,分母2x﹣1不为零.
【解答】解:根据题意,得
2x﹣1≠0,
解得,x≠;
故选:C.
3.(2分)如果不等式(a+1)x>a+1的解集为x<1,那么a满足的条件是( )
A.a>0 B.a<﹣2 C.a>﹣1 D.a<﹣1
【分析】根据所给不等式的解集x<1,可知x的系数为负,那么a+1<0,从而可取a的取值.
【解答】解:∵不等式(a+1)x>a+1的解集是x<1,
∴a+1<0,
即a<﹣1.
故选:D.
4.(2分)如图,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形,通过计算两个图形阴影部分的面积,验证了一个等式,则这个等式是( )
A.a2﹣ab=a(a﹣b) B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 D.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)
【分析】用代数式表示粗两个图形阴影部分的面积,即可得出等式.
【解答】解:左图的阴影部分的面积为a2﹣b2,右图的阴影部分的面积为(a+b)(a﹣b),
因此有为a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),
故选:D.
5.(2分)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB中点,且AE+EO=5,则平行四边形ABCD的周长为( )
A.20 B.16 C.12 D.8
【分析】首先证明OE=BC,再由AE+EO=5,推出AB+BC=10即可解决问题.
【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,
∵AE=EB,
∴OE=BC,
∵AE+EO=5,
∴2AE+2EO=10,
∴AB+BC=10,
∴平行四边形ABCD的周长=2×10=20,
故选:A.
6.(2分)如图,在△ABC中,AC=BC,∠A=40°,观察图中尺规作图的痕迹,可知∠ACG的度数为( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
【分析】由作图可知,CF平分∠ACB,求出∠ACB即可解决问题.
【解答】解:∵CA=CB,
∴∠A=∠B=40°,
∴∠ACB=180°﹣40°﹣40°=100°,
由作图可知,CF平分∠ACB,
∴∠ACG=∠ACB=50°,
故选:C.
7.(2分)某数学兴趣小组开展动手操作活动,设计了如图所示的三种图形,现计划用铁丝按照图形制作相应的造型,则所用铁丝的长度关系是( )
A.甲种方案所用铁丝最长
B.乙种方案所用铁丝最长
C.丙种方案所用铁丝最长
D.三种方案所用铁丝一样长
【分析】分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度,进而得出答案.
【解答】解:由图形可得出:甲所用铁丝的长度为:2a+2b,
乙所用铁丝的长度为:2a+2b,
丙所用铁丝的长度为:2a+2b,
故三种方案所用铁丝一样长.
故选:D.
8.(2分)如图,锐角三角形ABC中,BC>AB>AC,甲、乙两人想找一点P,使得∠BPC与∠A互补,其作法分别如下:
(甲)以A为圆心,AC长为半径画弧交AB于P点,则P即为所求;
(乙)作过B点且与AB垂直的直线l,作过C点且与AC垂直的直线,交l于P点,则P即为所求.
对于甲、乙两人的作法,下列叙述何者正确?( )
A.两人皆正确 B.两人皆错误
C.甲正确,乙错误 D.甲错误,乙正确
【分析】甲:根据作图可得AC=AP,利用等边对等角得:∠APC=∠ACP,由平角的定义可知:∠BPC+∠APC=180°,根据等量代换可作判断;
乙:根据四边形的内角和可得:∠BPC+∠A=180°.
【解答】解:甲:如图1,∵AC=AP,
∴∠APC=∠ACP,
∵∠BPC+∠APC=180°
∴∠BPC+∠ACP=180°,
∴甲错误;
乙:如图2,∵AB⊥PB,AC⊥PC,
∴∠ABP=∠ACP=90°,
∴∠BPC+∠A=180°,
∴乙正确,
故选:D.
二、填空题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分)
9.(3分)分解因式:3x2+6xy+3y2= 3(x+y)2 .
【分析】先利用提取公因式法提取数字3,再利用完全平方公式继续进行分解.
【解答】解:3x2+6xy+3y2,
=3(x2+2xy+y2),
=3(x+y)2
10.(3分)若代数式的值等于零,则x= ﹣3 .
【分析】根据分式值为零的条件可得x+3=0,且x﹣5≠0,再解即可.
【解答】解:由题意得:x+3=0,且x﹣5≠0,
解得:x=﹣3,
故答案为:﹣3.
11.(3分)若正多边形的一个外角是45°,则该正多边形的边数是 8 .
【分析】根据多边形外角和是360度,正多边形的各个内角相等,各个外角也相等,直接用360°÷45°可求得边数.
【解答】解:∵多边形外角和是360度,正多边形的一个外角是45°,
∴360°÷45°=8
即该正多边形的边数是8.
12.(3分)如果y=2x﹣5,那么当y<0时,x < .(填写“>”或“<”号)
【分析】根据y的值,即可列出不等式,解不等式即可求解.
【解答】解:根据题意得2x﹣5<0,
即2x<5,
解得:x<
13.(3分)x2﹣3xy+y2加上 xy 可以得到(x﹣y)2.
【分析】可求(x﹣y)2和x2﹣3xy+y2的差.
【解答】解:∵(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2,
∴x2﹣3xy+y2加上xy可以得到(x﹣y)2.
故应填xy.
14.(3分)直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k1x+b>k2x的解集为 x<﹣1 .
【分析】求关于x的不等式k1x+b>k2x的解集就是求:能使函数y=k1x+b的图象在函数y=k2x的上边的自变量的取值范围.
【解答】能使函数y=k1x+b的图象在函数y=k2x的上边时的自变量的取值范围是x<﹣1.
故关于x的不等式k1x+b>k2x的解集为:x<﹣1.
故答案为:x<﹣1.
15.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,D是BC上任意一点,分别作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.如果BC=12,那么DE+DF= 6 .
【分析】根据等腰三角形的性质及内角和定理可求得两底角的度数,再根据直角三角形的性质不难求得DE+DF的值.
【解答】解:∵AB=AC,∠A=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∵DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∴DE=BD,DF=CD.
∵BC=12,
∴DE+DF=BC=6.
故答案为:6.
16.(3分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB=60°,AD平分∠CAB交BC于点D,点D到AB的距离DE=3cm,则线段BC的长为 9cm .
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B,求出∠B=∠BAD=∠DAC=30°,求出AD=BD,AD=2CD,根据角平分线的性质求出CD=DE=3cm,即可得出答案.
【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB=60°,
∴∠B=180°﹣∠C﹣∠CAB=30°,
∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°,
∴∠BAD=∠DAC=BAC=30°,
∴∠B=∠BAD,
∴BD=AD,
∵AD平分∠BAC,∠C=90°,点D到AB的距离DE=3cm,
∴CD=DE=3cm,
∵在Rt△DCA中,∠C=90°,∠DAC=30°,CD=3cm,
∴AD=2CD=6cm,
∴BD=AD=6cm,
∴BC=CD+BD=3cm+6cm=9cm,
故答案为:6cm.
三、计算题(本大题共3个题,每小题6分,共18分)
17.(6分)解不等式组:.
【分析】先求出每个不等式的解集,再求出不等式组的解集即可.
【解答】解:,
解不等式①,得x>1,
解不等式②,得x>﹣3,
所以这个不等式组的解集为﹣3<x<1.
18.(6分)解分式方程:.
【分析】两边都乘以x﹣4将分式方程化为整式方程,解整式方程得出x的值,继而检验可得答案.
【解答】解:两边都乘以x﹣4,得:x﹣4+1=3﹣x,
解得x=3,
检验:当x=3时,x﹣4=3﹣4=﹣1≠0,
∴分式方程的解为x=3.
19.(6分)先化简,再求值:,其中x=2.
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后将x=2代入化简后的式子即可解答本题.
【解答】解:
=
=
=
=x+4,
当x=2时,原式=2+4=6.
四、作图题(本大题共8分)
20.(8分)如图,在下面的方格图中,每个小正方形的边长为1个单位.
(1)将△ABC向右平移6个单位得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)将△A1B1C1绕点A1逆时针旋转180°得到△A1B2C2,画出△A1B2C2.
【分析】(1)利用网格特点和平移的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1即可;
(2)利用网格特点和旋转的性质画出点B1、C1的对应点B2、C2即可.
【解答】解:(1)如图,△A1B1C1为所作;
(2)如图,△A1B2C2为所作.
五、解答题(本大题共2个题,每小题8分,共16分)
21.(8分)为了防控新冠肺炎疫情,某校积极进行校园环境消毒购买了甲、乙两种消毒液.已知购买的乙种消毒液的瓶数是甲种消毒液瓶数的3倍,且所需的费用不多于1200元,其中甲种消毒液5元/瓶,乙种消毒液15元/瓶,求甲种消毒液最多可购买多少瓶?
【分析】根据题意列出不等式,解答即可得到结论.
【解答】解:设甲种消毒液可购买m瓶,则购买的乙种消毒液的瓶数为3m瓶,
根据题意得,5m+15×3m≤1200,
解答:m≤24,
答:甲种消毒液最多能再购买24瓶.
22.(8分)某市某生态示范园计划种植一批梨树,原计划总产值30万千克,为了满足市场需求,现决定改良梨树品种,改良后平均每亩产量是原来的1.5倍,总产量比原计划增加了6万千克,种植亩数减少了10亩,则原来平均每亩产量是多少万千克?
【分析】设原来平均每亩产量是x万千克,则改良后平均每亩产量是1.5x万千克,根据种植亩数=总产量÷平均亩产量结合改良后比改良前种植亩数减少了10亩,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论.
【解答】解:设原来平均每亩产量是x万千克,则改良后平均每亩产量是1.5x万千克,
依题意,得:﹣=10,
解得:x=,
经检验,x=是原方程的解,且符合题意.
答:原来平均每亩产量是万千克.
六、解答题(本大题共2个题,每小题9分,共18分)
23.(9分)如图,E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点,且BE∥DF,
求证:BF=DE.
【分析】由平行四边形的性质和已知条件证明△CEB≌△AFD,所以可得BE=DF,进而证明四边形BFED是平行四边形,即BF=DE.
【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,AD∥CB,
∴∠BCE=∠DAF
又∵BE∥DF,
∴∠BEC=∠DFA
在△CEB和△AFD中,
∠BCE=∠DAF,∠BEC=∠DFA,BC=DA
∴△CEB≌△AFD(AAS)
∴BE=DF
故BFED为平行四边形.
∴BF=DE.
24.(9分)如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,且BD=CD,过点A作AM⊥BD于点M过点D作DN⊥AB于点N,且DN=3,在DB的延长线上取一点P,满足∠ABD=∠MAP+∠PAB.
(1)求证:DN=AM;
(2)求AP的长.
【分析】(1)根据BD=CD,AB=CD,可得BD=BA,再根据AM⊥BD,DN⊥AB,即可得到DN=AM;
(2)由DN=AM=3,依据∠ABD=∠MAP+∠PAB,∠ABD=∠P+∠BAP,即可得到△APM是等腰直角三角形,进而得到AP=AM=6.
【解答】解:(1)证明:∵BD=CD,AB=CD,
∴BD=BA,
又∵AM⊥BD,DN⊥AB,
∴DN=AM;
(2)由(1)得:DN=AM=3,
又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB,∠ABD=∠P+∠BAP,
∴∠P=∠PAM,
∴△APM是等腰直角三角形,
∴AP=AM=6.
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