初中数学沪科版九年级上册第23章 解直角三角形综合与测试同步测试题

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【专题概述】


求锐角的三角函数值除用定义直接求解外,我们还可以采用设参数、等角转换、添作辅助线的方法求解.


【专题训练】


类型1 巧设参数求锐角三角函数值


当直接求三角函数值较困难,我们可以设参数x,用含x的代数式表示相应的边,然后运用三角函数的定义求解.


1.若a,b,c是△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,且a∶b∶c=1∶2∶3,则cs B的值为( )


A.63B.33C.22D.24


2.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin B=23,则tan B= .


3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点E,EF⊥AB于点F,F恰好是AB的三等分点(AF>BF).


(1)求证:AC=AF;


(2)求tan ∠CAE的值.




















类型2 利用等角转换求锐角三角函数值


当直接求一个锐角的三角函数值比较困难时,我们可以用它相等的角进行转化,然后用教材上的定义求解.


4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1.6,BC=1.2,CD⊥AB,垂足为D,则tan ∠BCD的值是 .





5.如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sin α= .





类型3 借助网格求锐角三角函数值


解答此类问题时,先利用勾股定理求出格点线段的长,再根据三角函数的定义求解.


6.如图所示,在4×8的矩形网格中,每个小正方形的边长都为1,△ABC的三个顶点都在格点上,则tan ∠BAC的值为( )





A.12B.1C.2D.22





7.如图,在正方形网格中,∠AOB如图放置,则cs ∠AOB的值为( )





A.255B.2


C.12D.55


8.如图,△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上,则sin∠ACB的值为 .





类型4 巧添辅助线求锐角三角函数值


求半角的三角函数值,通常是延长线段构造等腰三角形得到半角关系;求2倍角的三角函数值,通常作线段的垂直平分线得到2倍的角,再根据三角函数的定义求解.


9.如图,AD是△ABC的中线,tan B=15,cs C=22,AC=2.


(1)求BC的长;


(2)求∠ADC的正弦值.
































10.小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣,进行了一些研究.


(1)初步尝试:我们知道:tan 60°= ,tan 30°= .


发现结论:tan A 2tan 12∠A.(填“=”或“≠”)


(2)实践探究:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,求tan12∠A的值.小明想构造包含12∠A的直角三角形:延长CA至D,使得DA=AB,连接BD,所以得到∠D=12∠A,即转化为求∠D的正切值.


请按小明的思路进行余下的求解.





(3)拓展延伸:如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,tan A=13.


①tan 2A= ;


②求tan 3A的值.





参考答案


1. (B)


2. 255


3.解:(1)∵∠C=90°,∴EC⊥AC.


∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,∴EC=EF.


在Rt△ACE和Rt△AFE中,EC=EF,AE=AE,


∴Rt△ACE≌Rt△AFE,∴AC=AF.


(2)∵F是AB的一个三等分点(AF>BF),


∴设BF=x,AF=2x,∴AC=2x,AB=3x.


在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC=AB2-AC2=(3x)2-(2x)2=5x.


∵tan B=ACBC=2x5x=25,∴在Rt△EFB中,EF=BF·tan B=2x5,∴CE=EF=2x5,∴tan ∠CAE=CEAC=55.


4. 34


5. 55


6. (A)


7. (D)


8. 55


9.解:(1)作AH⊥BC于点H.


在Rt△ACH中,∵cs C=CHAC=22,AC=2,


∴CH=1,AH=AC2-CH2=1,


在Rt△ABH中,∵tan B=AHBH=15,


∴BH=5,∴BC=BH+CH=6.


(2)∵BD=CD,∴CD=3,DH=2,AD=AH2+DH2=5.


在Rt△ADH中,sin ∠ADH=AHAD=55.


∴∠ADC的正弦值为55.


10. (1) 3 33


发现结论: ≠


解:(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,


∴AB=AC2+BC2=5,∴AD=AB=5,


∴∠D=∠ABD,∴∠BAC=2∠D,CD=AD+AC=2+5,∴tan 12∠A=tan ∠D=15+2=5-2.


(3)①提示:如图,作AB的垂直平分线交AC于点E,连接BE.∴∠BEC=2∠A,AE=BE,∠A=∠ABE.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,tan A=13,∴BC=1,AB=10.设AE=x,∴EC=3-x.在Rt△BCE中,x2=(3-x)2+1,解得x=53,即AE=BE=53,EC=43,∴tan 2A=tan ∠BEC=BCEC=34.





②如图,作BM交AC于点M,使∠MBE=∠EBA,∴∠BMC=∠A+∠MBA=3∠A.


设EM=y,∴CM=EC-EM=43-y.


∵∠MBE=∠EBA,∴△ABM∽△BEM,∴ABBM=BEEM,即ABBM=AEEM,即10BM=53y,∴BM=3105y.


在Rt△MBC中,BM2=CM2+BC2,即3105y2=43-y2+1,整理,得117y2+120y-125=0,


解得y1=2539,y2=-53(不合题意,舍去),


即EM=2539,CM=43-2539=913.


∴tan 3A=tan ∠BMC=BCCM=1913=139.