九年级上册第21章 二次函数与反比例函数综合与测试课时练习

这是一份九年级上册第21章 二次函数与反比例函数综合与测试课时练习，共5页。

【专题概述】


二次函数的综合应用是安徽省中考的高频考点,主要是与代数、几何、实际问题情境三个方面相结合考查.


【专题训练】


类型1 二次函数与代数综合


二次函数与代数相结合的常见题型:求抛物线与坐标轴的交点坐标;结合抛物线的位置判断系数a,b,c的取值范围;利用抛物线与x轴的交点情况判断判别式的取值范围;二次函数上动点问题等.掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.


1.已知二次函数y=x2-(m+2)x-m-5(m为常数).


(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有两个不同公共点;


(2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?























类型2 二次函数与几何综合


二次函数与几何相结合考查的题型:三角形、四边形的某一个或多个顶点在抛物线上,求该几何图形的顶点坐标、面积(最值)等.解答此类问题的关键是结合二次函数的性质及相应的几何图形的性质,一般是构造直角三角形求解.


2.如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).





(1)求a,b的值;


(2)C是该二次函数图象上A,B两点之间的一个动点,横坐标为x(2































3.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-3,0)和B(0,3).





(1)求此抛物线和直线AB的函数表达式.


(2)P是直线AB上方的抛物线上一个动点(不与点A,B重合),过点P作x轴的垂线,


垂足为F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D.动点P在什么位置时,△PDE的面积最大?求出面积的最大值,并求出此时点P的坐标.





























类型3 利用二次函数解决实际问题


二次函数的实际应用常考的题型有:几何图形面积最优化问题、销售利润最优化问题;桥梁涵洞问题;体育运动问题;方案设计问题.利用二次函数解决实际问题时,要注意数形结合,建立平面直角坐标系,构建二次函数模型,应用二次函数的性质来解决实际问题.


(1)销售利润问题


4.某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:





(1)求y与x之间的函数表达式;


(2)设商品每天的总利润为W元,求W与x之间的函数表达式(利润=收入-成本);


(3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多少元时获得最大利润,最大利润是多少?
































(2)体育问题


5.如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与点O的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距点O的水平距离为18 m.


(1)当h=2.6时,求y与x的关系式.(不要求写出自变量x的取值范围)


(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由.


(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.





























(3)分段函数问题


6.某超市以每件20元的价格新进一批商品,经市场调研发现:该商品每天的销售量y(件)与销售价格x(元/件,20≤x≤60)的关系如图所示.





(1)试确定y与x之间的函数表达式(写出自变量的取值范围);


(2)若超市一天销售该商品的利润为w元,写出w(元)与商品的售价x(元/件)之间的函数表达式;


(3)求(2)中当销售价格x定为多少时,一天的利润w最大,最大利润是多少?








参考答案


1.解:(1)当y=0时,x2-(m+2)x-m-5=0.


Δ=[-(m+2)]2-4(-m-5)=m2+8m+24=(m+4)2+8,无论m取何值,(m+4)2+8>0,


所以关于x的一元二次方程x2-(m+2)x-m-5=0总有两个不相等的实数根,


所以不论m为何值,该函数的图象与x轴总有两个不同公共点.


(2)当x=0时,y=-m-5,即该函数的图象与y轴交点的纵坐标是-m-5.


当-m-5>0时,解得m<-5,即m<-5时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方.


2.解:(1)a=-12,b=3.


(2)过点A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CA,CB,CD,过点C作CE⊥AD,CF⊥x轴,垂足分别为E,F.


S△OAD=12OD·AD=12×2×4=4;


S△ACD=12AD·CE=12×4×(x-2)=2x-4;


S△BCD=12BD·CF=12×4×-12x2+3x=-x2+6x.


∴S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x-4-x2+6x=-x2+8x,∴S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2

∵S=-x2+8x=-(x-4)2+16,


∴当x=4时,四边形OACB的面积S有最大值,最大值为16.


3.解:(1)所求抛物线的函数表达式为y=-x2-2x+3.


所求直线AB的函数表达式为y=x+3.


(2)∵A(-3,0),B(0,3),∴OA=OB=3,∴△AOB是等腰直角三角形,∴∠BAO=45°.


∵PF⊥x轴,∴∠AEF=90°-45°=45°,


又∵PD⊥AB,∴△PDE是等腰直角三角形,∴PE越大,△PDE的面积越大.


设点P(m,-m2-2m+3),∴点E(m,m+3),∴PE=-m2-2m+3-(m+3)=-m+322+94(-3

∵-1<0,∴抛物线开口向下,


∴当m=-32时,PE有最大值94,此时△PDE的面积最大,最大面积为12PD2=14PE2=14×942=8164,此时点P的坐标为-32,154.


4.解:(1)y=-2x+200(40≤x≤80).


(2)根据题意,得W=y·(x-40)=(-2x+200)(x-40)=-2x2+280x-8000(40≤x≤80).


(3)由(2)可知W=-2(x-70)2+1800,所以当40≤x≤70时,利润W随着x的增大而增大;当70

所以当x=70时,利润W取得最大值,最大值为1800元.


5.解:(1)当h=2.6时,y=a(x-6)2+2.6,


∵点(0,2)在该抛物线上,∴2=a(0-6)2+2.6,解得a=-160,∴y与x的关系式是y=-160(x-6)2+2.6.


(2)球能越过球网,球会出界.


理由:当x=9时,y=-160×(9-6)2+2.6=2.45>2.43,∴球能越过球网.


当y=0时,-160(x-6)2+2.6=0,解得x1=6+239>18,x2=6-239(舍去),∴球会出界.


(3)∵点(0,2)在y=a(x-6)2+h的图象上,∴2=a(0-6)2+h,a=2-h36,函数可写成y=2-h36(x-6)2+h.


由球能越过球网,得x=9时,y=2-h4+h>2.43, ①


由球不出边界,得x=18时,y=8-3h≤0, ②


联立①②解得h≥83,∴h的取值范围是h≥83.


6.解:(1)y=20x-200 (20≤x≤30),-10x+700 (30

(2)当20≤x≤30时,w=(x-20)(20x-200)=20x2-600x+4000;


当30

综上,w=20x2-600x+4000 (20≤x≤30),-10x2+900x-14000 (30

(3)当20≤x≤30时,w=20x2-600x+4000=20(x-15)2-500,抛物线开口向上.x>15时,y随x的增大而增大,又∵20≤x≤30,∴当x=30时,w最大值=20×(30-15)2-500=4000;


当30

综上所述,当定价为45元/件时,一天的利润w最大,最大值为6250元.


售价x(元/千克)
50
60
70
销售量y(千克)
100
80
60