四川省宜宾市叙州区第二中学校2021届高三上学期开学考试 数学（理）（word版含答案）
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理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合，，则
A． B．
C． D．
2．已知复数满足(是虚数单位)，则复数的模
A． B．
C． D．
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
A．64 B．72 C．80 D．112
4．在数列中，，，若，则
A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知函数是奇函数，且，则
A． B． C． D．
6．如图所示，在中，，若，，则
A． B．
C． D．
7．小明在期中考后,想急迫地核对答案,于是他来到数学组办公室,寻找出卷的老师。此时办公室正好有四位老师,他们发现小明不认识他们中的任何一位,于是他们每人说了一句话:
甲说:“我这学期还没出过考试卷呢！”乙说：“丁出的这次考卷！”丙说:“是乙出的试卷！”
丁说:“出卷的不是我！”他们告诉小明,只有一位老师说了假话,而且出卷老师就在其中,那么请问到底是谁出的期中试卷
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．设等比数列的公比为，前项和为，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．在中，角，，的对边分别为，，，已知，的面积为，且，则的值为
A．4+2 B．4﹣2 C．1 D．1
10．已知和直线，抛物线上动点到的距离为，则的最小值是
A． B． C． D．
11．已知直线与圆：相交于，两点，若为正三角形，则实数的值为
A． B． C．或 D．或
12．已知函数，，若，其中，则的最大值为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的二项展开式中第三项和第四项的二项式系数最大，则各项系数和为_________
14．若点，关于直线l对称，那么直线l的方程为________.
15．已知函数．若函数在定义域内不是单调函数，则实数的取值范围是__________．
16．给出以下四个命题：
①若，则；
②已知直线与函数，的图像分别交于点，则的最
大值为；
③若数列为单调递增数列，则取值范围是；
④已知数列的通项，前项和为，则使的的最小值为12.
其中正确命题的序号为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）已知等比数列满足，数列满足，且为等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18．（12分）金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：
| 愿意 | 不愿意 |
男生 | 60 | 20 |
女士 | 40 | 40 |
（1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；
（2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为，写出的分布列，并求．
附：，其中．
0.05 | 0.01 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
19．（12分）如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，平面平面，，四边形为平行四边形，且.
（1）求证：；
（2）若，，直线与平面所
成角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20．（12分）在直角坐标系中（为坐标原点），已知两点，，且三角形的内切圆为圆，从圆外一点向圆引切线，为切点。
（1）求圆的标准方程．
（2）已知点，且，试判断点是否总在某一定直线上，若是，求出直线的方程；若不是，请说明理由．
（3）已知点在圆上运动，求的最大值和最小值．
21．已知函数在处的切线与直线平行．
(1)求实数的值，并判断函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，，且，求证：．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）设是曲线上的一个动眯，当时，求点到直线的距离的最小值；
（2）若曲线上所有的点都在直线的右下方，求实数的取值范围.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数，.
（1）若，，求不等式的解集；
（2）若，且的最小值为2，求的最小值.
2020年四川省叙州区第二中学高三开学考试
理科数学参考答案
1．D 2．B 3．C 4．C 5．A 6．C 7．B 8．C 9．D 10．C 11．D 12．B
13． 14． 15． 16．①②
17．（1）设的公比为，，
，，
（2）设的公差为，，
，，，解得，
，，
18．（1）∵的观测值，
有的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．
（2）根据分层抽样方法得：男生有人，女生有人，
选取的人中，男生有人，女生有人．
则的可能取值有，
，，
，，
的分布列为：
．
19．（1）过作交于，连接，由平面平面，得平面，因此.
，，，，，
由已知得为等腰直角三角形，
因为，又，，
平面，.
（2），平面，平面，平面，
平面平面，.
由（1）可得，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题设可得，进而可得，，，，，.
设平面的法向量，则，，可取.
设平面的法向量，则，，可取.
则.二面角的余弦值为.
20：（）设圆与，，的切点为、、，连结、、，
显然有四边形为正方形，
设圆半径为，
则，
，
，
∴，∴，，∴．
（），
，
，
，
化简有，
即满足，
∴在定直线上，
（）设，，
由几何意义可知表示到点距离平方，
点在圆内最大值为，最小值为．
21．（1）函数的定义域：，，解得，
，
令，解得，故在上是单调递减；
令，解得，故在上是单调递增.
（2）由为函数的两个零点，得
两式相减，可得 即，，
因此， 令，由，得.
则， 构造函数，
则所以函数在上单调递增，故，
即，可知.故命题得证.
22．（1）由，得到
，
直线普通方程为：
设，则点到直线的距离：
当时，
点到直线的距离的最小值为
（2）设曲线上任意点，由于曲线上所有的点都在直线的右下方，
对任意恒成立
，其中，.
从而由于，解得：即：
23．（1）由题意得，，
①当时，原不等式可化为，即，
故；
②当时，原不等式可化为，即，
故；
③当时，原不等式可化为，即，
故；
综上得不等式的解集为：.
（2）因为，
当且仅当时，取到最小值，即，
因为，故，，
所以
.
当且仅当，且，
即，或，时，等号成立.
所以的最小值为4.
