四川省阆中中学2021届高三上学期开学考试 数学（理）（word版含答案）

四川省阆中中学高2018级2020年秋入学考试

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1．    设集合，，则

A．          B． C． D．

2． 若（其中是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于

A．第一象限    B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.  为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)

分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程

度的是

A.x1，x2，…，xn的平均数 B.x1，x2，…，xn的标准差

C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位数

4.  某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e

＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0  ℃的保鲜时间是192

小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是

A．16小时         B．20小时       C．24小时          D．28小时

5.  椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为

A.              B.            C.            D.

6.  已知向量a＝(x，)，b＝(x，－)，若(2a＋b)⊥b，则|a|＝

A．1              B.            C.             D．2

7.  在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝

A．4            B.           C.             D．2

8.  将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体

的侧视图为

9.  已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　              )

A.               B.               C.            D.

10. 已知圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)对称，则＋

的最小值是

A．2             B.                C．4           D.

11. 焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连

构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为

A.                B.                 C.           D.

12. 已知，则

A.                  B.

C.                 D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知点Q(2,0)，点P(x，y)的坐标满足条件则|PQ|的最小值是________

14. 若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.

15. 已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面

上，则这个球的体积等于__________________

16．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程=0有实数解，则称点(，)为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，

则=__________________

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1.

(1)证明：数列{an}是等比数列；

(2)设bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Tn.

18. 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在

[29.94,30.06)的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内

径尺寸，得结果如下表：

甲厂：

乙厂：

（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；

（2）由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“两个

 分厂生产的零件的质量有差异”。

19. 如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2.

（1）求证：当点E在棱AB上移动时，D1E⊥A1D；

（2）在棱AB上是否存在点E，使二面角D1­EC­D的平面角为30°？若存在，求出

AE的长；若不存在，请说明理由．

20. 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P，左、右焦点分

别为F1，F2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的内切圆半径为，求

 以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．

21. 设f(x)＝.

（1）若函数f(x)在(a，a＋1)上有极值，求实数a的取值范围；

（2）若关于x的方程f(x)＝x2－2x＋k有实数解，求实数k的取值范围．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做

的第一题计分.

[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

21. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，

直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；

（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.

[选修4—5：不等式选讲]（10分）

23. 设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.

（1）当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；

（2）若f(x)≤1，求a的取值范围.

四川省阆中中学高2018级2020年秋入学考试试题

理科数学答案

一.选择题（每题5分，共60分）

二.填空题（每题5分，共20分）

13.               14.          15.            16.0

17. 解：

(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，所以a1＝1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，

所以an＝2an－1，

所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．

(2)由(1)知，an＝2n－1，所以bn＝(2n－1)×2n－1，

所以Tn＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，①

2Tn＝1×2＋3×22＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，②

①－②，得－Tn＝1＋2×(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)×2n

＝1＋2×－(2n－1)×2n＝(3－2n)×2n－3，

所以Tn＝(2n－3)×2n＋3.

18. [解]　(1)甲厂抽查的500件产品中有360件优质品，从而估计甲厂生产的零件的优质品率为×100%＝72%；

乙厂抽查的500件产品中有320件优质品，从而估计乙厂生产的零件的优质品率为×100%＝64%.

(2)完成的2×2列联表如下：

由表中数据计算得，

K2＝≈7.353＞6.635，

所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.

19. 解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，C(0,2,0)，A1(1，0,1)，D1(0,0,1)．

设E(1，y0,0)(0≤y0≤2)．

(1)证明：因为＝(1，y0，－1)，＝(－1,0，－1)，

则·＝(1，y0，－1)·(－1,0，－1)＝0，

所以⊥，即D1E⊥A1D.

(2)假设在棱AB上存在点E，使二面角D1­EC­D的平面角为30°.

因为＝(－1,2－y0,0)，＝(0,2，－1)，

设平面D1EC的一个法向量为n1＝(x，y，z)，

则即

取y＝1，则n1＝(2－y0,1,2)是平面D1EC的一个法向量．

易知平面ECD的一个法向量为n2＝＝(0,0,1)，要使二面角D1­EC­D的平面角为30°，

则cos 30°＝|cosn1，n2|＝

＝＝，解得y0＝2－或y0＝2＋(不合题意，舍去)．

所以当AE＝2－时，二面角D1­EC­D的平面角为30°.

20. 解：(1)由＝，得a＝2c，所以a2＝4c2，b2＝3c2，

将点P的坐标代入椭圆方程得c2＝1，故所求椭圆方程为＋＝1.

(2)由(1)可知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，

代入椭圆方程，整理得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，显然判别式大于0恒成立，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△AF2B的内切圆半径为r0，

则有y1＋y2＝，y1y2＝，r0＝，

＝r0(|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＋|AF2|)＝r0·4a＝×8×＝，

所以＝，解得t2＝1，

因为所求圆与直线l相切，所以半径r＝＝，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.

21. (1)因为f′(x)＝－，当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故函数f(x)的极大值点为x＝1，所以即0＜a＜1，故所求实数a的取值范围是(0,1)．

(2)方程f(x)＝x2－2x＋k有实数解，即f(x)－x2＋2x＝k有实数解．

设g(x)＝f(x)－x2＋2x，则g′(x)＝2(1－x)－.

接下来，需求函数g(x)的单调区间，所以需解不等式g′(x)≥0及g′(x)≤0，因而需解方程g′(x)＝0.但此方程不易求解，所以我们可以先猜后解．

因为g′(1)＝0，且当0＜x＜1时，g′(x)＞0，当x＞1时，g′ (x)＜0，所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．

所以g(x)max＝g(1)＝2.当x→0时，g(x)→－∞；当x→＋∞时，g(x)→－∞，所以函数g(x)的值域是(－∞，2]，所以所求实数k的取值范围是(－∞，2]．

22. 解：(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，

则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0.

由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R).

(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，

设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，

∴＋＝＝＝.

23. 解：(1)当a＝1时，f(x)＝

当x＜－1时，由2x＋4≥0，解得－2≤x＜－1；

当－1≤x≤2时，显然满足题意；

当x＞2时，由－2x＋6≥0，解得2＜x≤3，

故f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}.

(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立.

故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.    由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.

所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).