初中数学第四章 图形的相似综合与测试优秀单元测试巩固练习

这是一份初中数学第四章 图形的相似综合与测试优秀单元测试巩固练习，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题


1．若eq \f(m＋n,n)=eq \f(5,2)，则eq \f(m,n)等于( )


A.eq \f(5,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(2,5) D.eq \f(3,2)


2．若两个相似多边形的面积之比为14，则它们的周长之比为( )


A．14 B．12 C．21 D．41


3．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD=3，BD=6，AE=2，则AC的长为( )





A．4 B．5 C．6 D．8


4．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为eq \f(1,3)，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为( )





A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)


5．如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是( )





A．AB2=BC·BD B．AB2=AC·BD


C．AB·AD=BD·BC D．AB·AD=AD·CD


6．如图，为估算某河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE=20 m，CE=10 m，CD=20 m，则河的宽度AB等于( )





A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m


7．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与△ABC相似的是( )





8．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于( )





A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.25


9．如图，在△ABC中，AB=AC=18，BC=12，正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD=AG，DG=6，则点F到BC的距离为( )





A．1 B．2 C．12eq \r(2)－6 D．6eq \r(2)－6


10．如图，在钝角三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分 ∠AEB交AB于点M，取BC的中点D，AC的中点N，连接DN，DE，DF.





下列结论：①EM=DN；②S△CND=eq \f(1,3)S四边形ABDN；③DE=DF；④DE⊥DF.


其中正确结论的个数为( )


A．1 B．2 C．3 D．4


二、填空题


11．假期，爸爸带小明去A地旅游，小明想知道A地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500 000的地图上测得所居住的城市距A地32 cm，则小明所居住的城市与A地的实际距离为________．


12．已知eq \f(a,5)=eq \f(b,7)=eq \f(c,8)，且3a－2b＋c=9，则2a＋4b－3c的值为________．


13．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC.若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD(AD=AB)、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为____________．





14．如图，已知D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，DE∥BC，且S△ADES四边形DBCE=18，那么AEAC=________．





15．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则eq \f(BE,EC)的值是________．


(第15题)


16．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5 m，测得AB=2 m，BC=14 m，则楼高CD为________．





17．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．





18．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2，…，以此类推，则Sn=________.(用含n的式子表示，n为正整数)











三、解答题


19．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．
































20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2)．


(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；


(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘－2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；


(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比．(不写解答过程，直接写出结果)

















21．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G.


(1)求证：△ADE≌△CFE；


(2)若GB=2，BC=4，BD=1，求AB的长．


























22．如图，一条河的两岸BC与DE互相平行，两岸各有一排景观灯(图中黑点代表景观灯)，每排相邻两景观灯的间隔都是10 m，在与河岸DE的距离为16 m的A处(AD⊥DE)看对岸BC，看到对岸BC上的两个景观灯的灯杆恰好被河岸DE上两个景观灯的灯杆遮住．河岸DE上的两个景观灯之间有1个景观灯，河岸BC上被遮住的两个景观灯之间有4个景观灯，求这条河的宽度．



































23．如图，在矩形ABCD中，已知AB=24，BC=12，点E沿BC边从点B开始向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C开始向点D以每秒4个单位长度的速度运动．如果E，F同时出发，用t(0≤t≤6)秒表示运动的时间．


请解答下列问题：


(1)当t为何值时，△CEF是等腰直角三角形？


(2)当t为何值时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似？




















24．如图，E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE=CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.


(1)求证：△ADE≌△DCF.


(2)若E是CD的中点，求证：Q为CF的中点．


(3)连接AQ，设S△CEQ=S1，S△AED=S2，S△EAQ=S3，在(2)的条件下，判断S1＋S2=S3是否成立？并说明理由．





























参考答案


1.D


2.B


3．C 点拨：因为DE∥BC，所以AE∶AC=AD∶AB=3∶9=1∶3，则AC=6.


4．A


5．A 点拨：因为△ABC∽△DBA，所以eq \f(AB,DB)=eq \f(BC,BA)=eq \f(AC,DA).所以AB2=BC·BD，AB·AD=AC·DB.


6．B 点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC=∠DCE=90°.


又∵∠AEB=∠DEC，


∴△ABE∽△DCE.


∴eq \f(AB,DC)=eq \f(BE,CE)，即eq \f(AB,20)=eq \f(20,10).


∴AB=40 m.


7．A


8．B 点拨：由∠ABC=90°，CF⊥BE，易证△ABE∽△FCB.


∴eq \f(AB,BE)=eq \f(CF,BC).由AE=eq \f(1,2)×3=1.5，AB=2，易得BE=2.5，∴eq \f(2,2.5)=eq \f(CF,3).∴CF=2.4.





9．D 点拨：如图，过点A作AM⊥BC于点M，交DG于点N，延长GF交BC于点H.


∵AB=AC，AD=AG，∴AD∶AB=AG∶AC.


又∠BAC=∠DAG，


∴△ADG∽△ABC.


∴∠ADG=∠B.


∴DG∥BC.∴AN⊥DG.


∵四边形DEFG是正方形，


∴FG⊥DG.∴FH⊥BC.


∵AB=AC=18，BC=12，


∴BM=eq \f(1,2)BC=6.


∴AM=eq \r(AB2－BM2)=12eq \r(2).


∵eq \f(AN,AM)=eq \f(DG,BC)，即eq \f(AN,12\r(2))=eq \f(6,12)，∴AN=6eq \r(2).∴MN=AM－AN=6eq \r(2).∴FH=MN－GF=6eq \r(2)－6.故选D.


10．D 点拨：∵△ABE是等腰直角三角形，EM平分∠AEB，


∴EM是AB边上的中线．∴EM=eq \f(1,2)AB.


∵点D，点N分别是BC，AC的中点，


∴DN是△ABC的中位线．∴DN=eq \f(1,2)AB，DN∥AB.∴EM=DN.①正确．


由DN∥AB，易证△CDN∽△CBA.∴eq \f(S△CND,S△CAB)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(DN,AB)))eq \s\up12(2)=eq \f(1,4).∴S△CND=eq \f(1,3)S四边形ABDN.②正确．





如图，连接DM，FN，则DM是△ABC的中位线，∴DM=eq \f(1,2)AC，DM∥AC.


∴四边形AMDN是平行四边形．∴∠AMD=∠AND.


易知∠ANF=90°，∠AME=90°，∴∠EMD=∠DNF.


∵FN是AC边上的中线，∴FN=eq \f(1,2)AC.∴DM=FN.∴△DEM≌△FDN.


∴DE=DF，∠FDN=∠DEM.③正确．


∵∠MDN＋∠AMD=180°，


∴∠EDF=∠MDN－(∠EDM＋∠FDN)=180°－∠AMD－(∠EDM＋∠DEM)


=180°－(∠AMD＋∠EDM＋∠DEM)=180°－(180°－∠AME)=180°－(180°－90°)=90°.


∴DE⊥DF.④正确．故选D.


11.160 km 点拨：设小明所居住的城市与A地的实际距离为x km，


根据题意可列比例式为eq \f(1,500 000)=eq \f(32,x×105)，解得x=160.


12．14 点拨：由eq \f(a,5)=eq \f(b,7)=eq \f(c,8)，可设a=5k，b=7k，c=8k.


∵3a－2b＋c=9，


∴3×5k－2×7k＋8k=9，


∴k=1.∴2a＋4b－3c=10k＋28k－24k=14k=14.


13．S1=S2 点拨：∵点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC，


∴BC2=AC·AB，又∵S1=BC2，S2=AC·AD=AC·AB，∴S1=S2.


14．1∶3


15.eq \f(\r(3),3) 点拨：由∠B=45°，∠BAC=90°，可知AC=AB，由∠D=30°，∠ACD=90°，可知CD=eq \r(3)AC，


则CD=eq \r(3)AB.即eq \f(AB,CD)=eq \f(1,\r(3))=eq \f(\r(3),3).易知△ABE∽△DCE，∴eq \f(BE,EC)=eq \f(AB,CD)=eq \f(\r(3),3).


16．12 m


17.eq \f(16,3)或3


点拨：∵∠ABC=∠FBP=90°，∴∠ABP=∠CBF.


当△MBC∽△ABP时，BM∶AB=BC∶BP，得BM=4×4÷3=eq \f(16,3)；


当△CBM∽△ABP时，BM∶BP=CB∶AB，得BM=4×3÷4=3.


18.eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(n) 点拨：在正三角形ABC中，AB1⊥BC，


∴BB1=eq \f(1,2)BC=1.在Rt△ABB1中，AB1=eq \r(AB2－BB12)=eq \r(22－12)=eq \r(3)，


根据题意可得△AB2B1∽△AB1B，记△AB1B的面积为S，


∴eq \f(S1,S)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))eq \s\up12(2).∴S1=eq \f(3,4)S.同理可得S2=eq \f(3,4)S1，S3=eq \f(3,4)S2，S4=eq \f(3,4)S3，….


又∵S=eq \f(1,2)×1×eq \r(3)=eq \f(\r(3),2)，∴S1=eq \f(3,4)S=eq \f(\r(3),2)×eq \f(3,4)，


S2=eq \f(3,4)S1=eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(2)，S3=eq \f(3,4)S2=eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(3)，S4=eq \f(3,4)S3=eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(4)，…，Sn=eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(n).


19.解：因为四边形ABCD∽四边形EFGH，所以∠H=∠D=95°，


则∠α=360°－95°－118°－67°=80°.


再由x∶7=12∶6，解得x=14.


20．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．


(2)如图，△A2B2C2即为所求．


(3)S△A1B1C1∶S△A2B2C2=1∶4.





21．(1)证明：∵AB∥FC，∴∠A=∠ECF.又∵∠AED=∠CEF，且DE=FE，∴△ADE≌△CFE.


(2)解：∵AB∥FC，


∴∠GBD=∠GCF，∠GDB=∠F.


∴△GBD∽△GCF.∴eq \f(GB,GC)=eq \f(BD,CF).∴eq \f(2,2＋4)=eq \f(1,CF).∴CF=3.


由(1)得△ADE≌△CFE.∴AD=CF=3，


∴AB=AD＋BD=3＋1=4.





22．解：由题意可得DE∥BC，


所以eq \f(AD,AB)=eq \f(AE,AC).


又因为∠DAE=∠BAC，


所以△ADE∽△ABC.


所以eq \f(AD,AB)=eq \f(DE,BC)，即eq \f(AD,AD＋DB)=eq \f(DE,BC).


因为AD=16 m，BC=50 m，DE=20 m，


所以eq \f(16,16＋DB)=eq \f(20,50).所以DB=24 m.


所以这条河的宽度为24 m.


23．解：(1)由题意可知BE=2t，CF=4t，CE=12－2t.


因为△CEF是等腰直角三角形，∠ECF是直角，所以CE=CF.


所以12－2t=4t，解得t=2.


所以当t=2时，△CEF是等腰直角三角形．


(2)根据题意，可分为两种情况：


①若△EFC∽△ACD，则eq \f(EC,AD)=eq \f(FC,CD)，所以eq \f(12－2t,12)=eq \f(4t,24)，解得t=3，


即当t=3时，△EFC∽△ACD.


②若△FEC∽△ACD，则eq \f(FC,AD)=eq \f(EC,CD)，所以eq \f(4t,12)=eq \f(12－2t,24)，解得t=1.2，


即当t=1.2时，△FEC∽△ACD.


因此，当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．


24．(1)证明：由AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，得△ADE≌△DCF.


(2)证明：因为四边形AEHG是正方形，所以∠AEH=90°.


所以∠QEC＋∠AED=90°.


又因为∠AED＋∠EAD=90°，


所以∠QEC=∠EAD.


又因为∠C=∠ADE=90°，


所以△ECQ∽△ADE.


所以eq \f(CQ,DE)=eq \f(EC,AD).


因为E是CD的中点，所以EC=DE=eq \f(1,2)CD=eq \f(1,2)AD.所以eq \f(EC,AD)=eq \f(1,2).


因为DE=CF，所以eq \f(CQ,DE)=eq \f(CQ,CF)=eq \f(1,2).即Q是CF的中点．


(3)解：S1＋S2=S3成立．


理由：因为△ECQ∽△ADE，


所以eq \f(CQ,DE)=eq \f(QE,AE).所以eq \f(CQ,QE)=eq \f(CE,AE).


又因为∠C=∠AEQ=90°，


所以△ECQ∽△AEQ.


所以△AEQ∽△ECQ∽△ADE.


所以eq \f(S1,S3)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(EQ,AQ)))eq \s\up12(2)，eq \f(S2,S3)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AE,AQ)))eq \s\up12(2).所以eq \f(S1,S3)＋eq \f(S2,S3)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(EQ,AQ)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AE,AQ)))eq \s\up12(2)=eq \f(EQ2＋AE2,AQ2).


在Rt△AEQ中，由勾股定理，得EQ2＋AE2=AQ2，


所以eq \f(S1,S3)＋eq \f(S2,S3)=1，即S1＋S2=S3.